初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)整數(shù)解

1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)（54）整數(shù)解一、內(nèi)容提要1. 求方程或不等式的整數(shù)解，就是求適合等式或不等式的未知數(shù)的整數(shù)值，包括判斷無(wú)整數(shù)解.2. 求整數(shù)解常用的性質(zhì)、法則：.數(shù)的運(yùn).算性質(zhì)：整數(shù)整數(shù)整數(shù)，整數(shù)整數(shù)整數(shù)，整數(shù)×整數(shù)整數(shù)，整數(shù)的自然數(shù)次冪整數(shù),整數(shù)÷（這個(gè)整數(shù)的約數(shù)）整數(shù).整系數(shù)的方程ax2+bx+c=0(a0)只有當(dāng)b24ac是完全平方數(shù)時(shí)，才有整數(shù)根.有時(shí)用韋達(dá)定理x1+x2與x1x1 都是整數(shù)，來(lái)確定整數(shù)解，但必須檢驗(yàn)（因?yàn)樗鼈冎皇钦麛?shù)解必要條件）.運(yùn)用二元一次方程求整數(shù)解（見(jiàn)第10講）. .用列舉法.3. 判定方程或不等式?jīng)]有整數(shù)解，常用反證法.即設(shè)

2、有整數(shù)解之后，把整數(shù)按某一模m分類，逐一推出矛盾.二、例題例1.求下列方程的正整數(shù)解： xy+x+y=5； x2+y21991.解：先寫(xiě)成關(guān)于x的方程，（y+1）x=5y. x=.當(dāng)y+1取6的約數(shù)±1,±2,±3,±6時(shí)，x的值是整數(shù).10，且x>0, y>0, 1<y+1<6 . y=1或y=2.原方程有正整數(shù)解； 或. 又解：把左邊寫(xiě)成積的形式：x(y+1)+y+1=5+1, (y+1)(x+1)=6.61×62×3，而正整數(shù)y+1>1, x+1>1. 或解得 ；或.要等式成立，x, y必須是

3、一奇一偶，設(shè)x=2a, y=2b1 (a,b都是正整數(shù)).左邊x2+y2（2a）2+(2b1)2=4(a2+a+b2b)+1. a, b不論取什么整數(shù)值，左邊的數(shù)都是除以4余1，而右邊1991是除以4余3.等式永遠(yuǎn)不能成立. 原方程沒(méi)有正整數(shù)解.例2. 一個(gè)正整數(shù)加上38或129都是完全平方數(shù)，求這個(gè)正整數(shù). 若把正整數(shù)改為整數(shù)呢？解：設(shè)這個(gè)正整數(shù)為x，根據(jù)題意，得 (a,b 都是正整數(shù)).(2)(1)：b2a2=91 . (b+a)(ba)=91， 91=1×91=7×13 且b+a>ba. 或 解得，； 或.由方程(1)知 a>, 由方程(2)知 b>

4、.只有適合. x=a238=1987. 答(略).如果改為整數(shù) ，則兩組的解都適合. 另一個(gè)解是：x=a238=938=29.例3. 一個(gè)自然數(shù)與3的和是5的倍數(shù)，與3的差是6的倍數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)的最小值是多少？ 解法一：用列舉法 與3的和是5的倍數(shù)的自然數(shù)有：2，7，12，17，22，27，與3的差是6的倍數(shù)的自然數(shù)有：3，9， 15，22，27， 符合條件的 最小自然數(shù)是27.解法二：設(shè)所求自然數(shù)為x,那么 (a,b都是自然數(shù)). x= 5a3=6b+3, a= , a, b都是自然數(shù)， b+1是5的倍數(shù)， 其最小值是b=4. x=6b+3=27. 例4. m取什么整數(shù)值時(shí)，方程 mx2+

5、(m22)x(m+2)=0有整數(shù)解？解：設(shè)方程兩個(gè)整數(shù)根為x1, x2. 那么它們的和、積都是整數(shù).根據(jù)韋達(dá)定理： x1和 x2都是整數(shù)，m是2的約數(shù)， 即m=±1，±2.這只是整數(shù)解的必要條件，而不是充分條件，故要代入檢驗(yàn).當(dāng)m=1時(shí)，原方程為x2x3=0, 沒(méi)有整數(shù)解；當(dāng)m=1 時(shí)，原方程為x2x1=0, 沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)m=2 或m=2 時(shí)，方程有整數(shù)解. 答：當(dāng)m=2或 m=2時(shí)，方程 mx2+(m22)x(m+2)=0有整數(shù)解.例5.已知：n是正整數(shù)，且9n2+5n+26的值是兩個(gè)相鄰正整數(shù)的積.求：n的值.解：設(shè)9n2+5n+26m(m+1)， m為正整數(shù).m2+

6、m(9n2+5n)=26. （ 把左邊化為積的形式，先配方再分解因式）（m+）2(3n+)2=26+, (m+3n+)( m+3n)=25，去分母并整理得：（3m+9n+4）(3m9n1)=230. 2301×2302×1155×4610×23，且3m+9n3m9n.；或；或；或.解方程組，正整數(shù)的值只有n=2或n=6.例6.已知：方程x22(m+1)x+m2=0有兩個(gè)整數(shù)根，且12m<60.求：m的整數(shù)值.解：要使一元二次方程有整數(shù)解，必須為完全平方數(shù).2（m+1）24m2=8m+4=4(2m+1).即當(dāng)2m+1 是完全平方數(shù)時(shí)，方程有整數(shù)解.1

7、2<m<60, 25<2m+1<121，完全平方數(shù).2m+1=36,49,64,81,100. 則2m=35,48,63,80,99. m 的整數(shù)值，只有24，40.檢驗(yàn)：當(dāng)m=24 時(shí)，有整數(shù)解32，18； 當(dāng)m=40時(shí)，有整數(shù)解50，32.答：當(dāng)m=24或 m=40時(shí)，方程x22(m+1)x+m2=0有兩個(gè)整數(shù)根.三、練習(xí)541. 已知x2y2=1991,則x,y的正整數(shù)解是.2. 方程x2+(y+1)2=5的整數(shù)解有.3. 已知x1,x2,x3,x2000都是正整數(shù)，寫(xiě)出下列方程的一組整數(shù)解：x1+x2=x1x2 的一組解為：. x1+x2+x3=x1x2x3 的

8、一組解為：.x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4 的一組解為：.x1+x2+x3+x2000=x1x2x3x2000 的一組解為：.4. 已知100x(x+1) 150，則整數(shù)x=_.5. 已知x200<2300, 則正整數(shù)x=_.6. 如果x,y都是正整數(shù)，且0<x<10，0y9，那么 它們的和、差的范圍是：0<x+y<_, _<xy<_.7. 已知 且A+B+C+D=100，則x=.8. 已知被除數(shù)是100以內(nèi)的自然數(shù)，在和( )填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使如下帶余除法的運(yùn)算成立：÷9. 已知a+2=b2=c×2=d÷2 且a

9、+b+c+d=1989. 則a=_，b=_，c=_，d=_.10. 若a,b,c,d是互不相等的整數(shù)，且 abcd=4. 則a+b+c+d=_.11. 求下列方程的整數(shù)解： 2x+2y=xy ； 2x+10y=1991.12. m取什么整數(shù)值時(shí)，下列方程有正整數(shù)解？ (x1)=4x ； m2x218mx+72=x26x.13. 已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都是整數(shù)值，且周長(zhǎng)與面積的數(shù)值相同，求這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬.14. 方程(xa)(x8)1=0有兩個(gè)整數(shù)根，求a的值.15. 已知a,b是自然數(shù)且互質(zhì)，試問(wèn)關(guān)于x的方程：x2abx+(a+b)=0 是否有自然數(shù)解(兩解都是自然數(shù))如果有，把它求出來(lái)，如果沒(méi)有請(qǐng)給予證明.16. 兩個(gè)自然數(shù)的和比積小1000，其中一個(gè)是完全平方數(shù)，求這兩個(gè)自然數(shù).練習(xí)54參考答案：1.x=994,y=993 2.有8個(gè)解. 32，2 1，2，31，1，2，4 x1=x2=x3= x1998=1， x1999=2，x2000=20004. 10 11，11，12 5. 1，2 6. 0<x+y<19 ,