伴生橢圓雙曲線的有趣性質(zhì)11

1、伴生橢圓雙曲線的有趣性質(zhì)江西省贛縣教師進(jìn)修學(xué)校（341100) 馬躍進(jìn) （mayuejin60） 廣東省深圳市石巖公學(xué)高中部 （518108 ） 康 宇 ()2010年廣東與重慶的高考數(shù)學(xué)理科試題第20題順次如下：1.一條雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn). （1）求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程式； （2）若過點(diǎn)的兩條直線和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)，且。求的值.2.已知以原點(diǎn)O為中心,為右焦點(diǎn)的雙曲線的離心率為.()求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及漸近線方程;圖1()如圖1,已知點(diǎn)的直線 的直線的交點(diǎn)E在雙曲線上, 直線MN與雙曲線的兩條漸近線分別交于G,H兩點(diǎn),求的值. 不難發(fā)現(xiàn)，上述兩道試題

2、均涉及到橢圓與雙曲線這一對特殊圓錐曲線的性質(zhì)問題.那么這一對特殊圓錐曲線之間到底存在何種內(nèi)在的聯(lián)系？經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)如下一些命題，寫在下面，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.命題1 （1）若點(diǎn)在橢圓上,關(guān)于x軸對稱,則直線交點(diǎn)M的軌跡為雙曲線；（2）若點(diǎn)在雙曲線上,關(guān)于x軸對稱,則直線交點(diǎn)M的軌跡為橢圓.證明 (1)如圖2設(shè)則圖2且直線直線 上面兩式相乘得 由得.代入化簡得交點(diǎn)M的軌跡為對于（2）的證明仿上可證.命題1揭示了特定橢圓與雙曲線之間的一種相生相伴的內(nèi)在關(guān)系,使得從表面上并無直接聯(lián)系的這兩種特定的圓錐曲線聯(lián)系起來，因此我們不妨把橢圓與雙曲線稱之為伴生橢圓雙曲線.命題2 已知點(diǎn)是雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一

3、點(diǎn), 過點(diǎn)作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為直線與雙曲線兩條漸近線相交于兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則圖3(1) 直線與雙曲線相切；(2)；(3)證明 (1)如圖3，設(shè)是橢圓的兩條切線,直線AB的方程為 由故直線與雙曲線相切.(2)由即故(2)O到直線AB的距離由而故(3)成立.綜上可知，命題2成立.命題3 如圖1,已知點(diǎn)是橢圓上異于x軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為直線與雙曲線兩條漸近線相交于兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則(1)直線與橢圓相切；(2)；圖4(3). 證明 (1)如圖4，設(shè)是雙曲線的兩條切線,直線AB的方程為 直線與橢圓相切.(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為 的中點(diǎn)為由得 由得 即重合(3)設(shè)即 從而，

4、 故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即P點(diǎn)為在y軸上的頂點(diǎn)時(shí)，為取等號成立.命題3成立.圖5命題4 如圖5，直線l與橢圓相交于不同兩點(diǎn)且與雙曲線相切于點(diǎn),過兩點(diǎn)與相切的直線分別為相交于點(diǎn),則點(diǎn)在雙曲線上,且關(guān)于x軸對稱.證明 (1)設(shè)則直線的方程是解方程組得又解方程組得其中, 可得顯然點(diǎn)在雙曲線上,且關(guān)于x軸對稱.故命題4成立.仿上可證明命題5 如圖6,直線l與雙曲線相交于不同兩點(diǎn)且與橢圓相切于點(diǎn),過兩點(diǎn)與相切的直線分別為相交于點(diǎn),則點(diǎn)在雙曲線上,且關(guān)于x軸對稱.圖6最后，應(yīng)用上述伴生橢圓雙曲線的性質(zhì),給出本文開頭兩道高考題的簡明解答：對于問題1（1），利用命題1，即知欲求的軌跡方程式為.對于問題2()，利用命題2有由已知得,分別是與橢圓相切于不同兩點(diǎn)M,N的切線.由于是一對伴生曲線橢圓雙曲線, 由命題2,所