初2104根式方程組的解法

1、第2104講 根式方程（組）的解法一、知識(shí)和方法要點(diǎn)l 如果方程（組）含有根式，且根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)，則稱這樣的方程（組）為根式方程（組）或稱這樣的方程（組）為無理方程（組）。根式方程（組）有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，例如，在用代數(shù)法解直角（斜）三角形時(shí)，所列出的方程（組）就可能是根式方程（組）。解根式方程（組）的基本思想是通過去根號(hào)將其轉(zhuǎn)化為整式方程來解。l 化根式方程（組）為整式方程的基本方法1）平方法：采用將方程的兩邊平方的手段，去掉根號(hào)；2）配方法：采用配方的手段，或利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)或?qū)⑴浞降牡讛?shù)整體解出去；3）共軛根式法：利用共軛根式的性質(zhì)，去掉根號(hào)；4）換元法：用新變?cè)w代替根式，去掉根號(hào)；

2、5）不等式排除法：利用不等式排除不是方程的解的實(shí)數(shù)，從而確定方程的解。l 在解根式方程（組）時(shí)，由于要去掉根號(hào)，將方程的兩邊平方，這樣，使解出的解是另一個(gè)方程的解（方程的解可能是方程的解，也可能是方程的解），故有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這樣的根稱為根式方程（組）的增根。l 在解根式方程（組）時(shí)的注意事項(xiàng)1）在將根式方程（組）轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)，為減少不必要的計(jì)算，應(yīng)根據(jù)原根式方程（組）的特點(diǎn)，采用相應(yīng)的化簡(jiǎn)方法和技巧；2）解根式方程（組）時(shí)，驗(yàn)根是必不可少的步驟；3）解含字母系數(shù)的根式方程（組）時(shí)，應(yīng)對(duì)字母系數(shù)進(jìn)行討論。二、典型題例選講例1 設(shè)a，b是有理數(shù)，且滿足等式，則的值是（ ）。A.

3、2 B. 4 C. 6 D. 8（2006年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試試題；根式方程；有理數(shù)和無理數(shù)性質(zhì)）【分析】 題中的條件a，b是有理數(shù)建議我們利用有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)解題。首先應(yīng)將右邊的復(fù)合二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)?！窘獯稹?選B。因?yàn)?，由?shí)數(shù)性質(zhì)得 。所以，。【評(píng)注】 利用有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)解題。例2 解方程：。（解根式方程；平方法）【分析】 這是一個(gè)關(guān)于x的根式方程。通常的方法是：通過將方程的兩邊平方的手段，去掉根號(hào)，把方程變成整式方程來解。【解答】 移項(xiàng) ，兩邊平方得 ，整理得 ，再兩邊平方得 ，即 ，解之得 。經(jīng)檢驗(yàn)是增根，是原方程的根。所以，原方程的解為?！驹u(píng)注】 解分式方程（組）時(shí)，驗(yàn)

4、根是必不可少的步驟。例3 設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足，求x，y，z的值。（解根式方程；配方法）【分析】 將條件式看成根式方程，由于要從一個(gè)方程解出三個(gè)未知數(shù)x，y，z，故可考慮采用配方法進(jìn)行解題?！窘獯稹?移項(xiàng) ，配方得 ，故 ，解得 。經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解?！驹u(píng)注】 與有理方程類似，可通過配方法解多個(gè)未知數(shù)方程。例4 求所有的實(shí)數(shù)，使得。 （解根式方程；平方法，配方法）【分析】 本題要求解一個(gè)關(guān)于x的根式方程，如果通過將方程的兩邊平方的手段，去掉根號(hào)，方程將變得復(fù)雜，第二步采用配方，簡(jiǎn)化運(yùn)算?！窘獯稹?移項(xiàng) ，兩邊平方得 ，整理得 ，兩邊除以x，得 ，配方得 ，于是 ，兩邊乘以x，得 ，解之得 。

5、注意到，所以。經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解?！驹u(píng)注】 解答中利用二次方程的求根公式求根。例5 解方程：。 （解根式方程；配方法，分解因式法）【分析】 觀察到，首先考慮將方程移項(xiàng)后進(jìn)行配方，然后再分解因式使方程得到化簡(jiǎn)，最后按常規(guī)解法，兩邊平方去掉根號(hào)化為整式方程來解?！窘獯稹?將方程化為 ，第一個(gè)括號(hào)配方得 ，分解因式得 ，于是 。兩邊平方后，解得。經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根。【評(píng)注】 解答中利用二次方程的求根公式求根。例6 解方程：。（解根式方程；配方法，分解因式）【分析】 這是一個(gè)關(guān)于x的根式方程。觀察方程的特點(diǎn)，由根號(hào)內(nèi)的式子的系數(shù)與根號(hào)外的式子的系數(shù)的關(guān)聯(lián)性，采用換元法解題。【解答】 將方程變形 ，

6、兩邊配方得 ，于是 。1）由前一個(gè)方程得 ，分解因式得 ，于是 ，解之得 。2）由后一個(gè)方程得 ，此方程無解。經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根?！驹u(píng)注】 解答中第一次兩邊配方，精彩。例7 解方程：。（解根式方程；共軛根式法）【分析】 因?yàn)?，可將方程的分母?jiǎn)單地去掉。又因?yàn)?，?jù)此可較簡(jiǎn)單地解出方程的根?！窘獯稹?將方程變形為 ，即 ， （1）因?yàn)?，故得?（2）（1）、（2）兩式相減得 ，即 ，兩邊平方得 ，解之得 。經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根?！驹u(píng)注】 解答中利用共軛根式的性質(zhì)簡(jiǎn)化了運(yùn)算。例8 解方程：。（解根式方程；換元法）【分析】 這是一個(gè)關(guān)于x的根式方程。觀察方程的特點(diǎn)，由根號(hào)內(nèi)的式子的系數(shù)與根號(hào)外的式

7、子的系數(shù)的關(guān)聯(lián)性，采用換元法解題。【解答】 令，則原方程變?yōu)?，分解因式 ，解之得 （舍去），于是 ，即 ，分解因式得 ，解之得 ，經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根?！驹u(píng)注】 當(dāng)解出y后，就考慮將小于零的y舍去，減少計(jì)算量。例9 解方程：。（解根式方程；換元法）【分析】 這是一個(gè)關(guān)于x的根式方程。觀察方程的特點(diǎn)，由根號(hào)內(nèi)的式子的系數(shù)與根號(hào)外的式子的系數(shù)的關(guān)聯(lián)性，采用換元法解題?！窘獯稹?令，則，代入原方程得 ，兩邊立方得 ，即 ，于是 ，第二個(gè)方程即 ，解之得 。還原得 。經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根?！驹u(píng)注】 當(dāng)解出y后，就考慮將小于零的y舍去，減少計(jì)算量。例10 解方程：。（解根式方程；換元法）【分析】

8、這是一個(gè)關(guān)于x的根式方程。觀察方程的特點(diǎn)，由根號(hào)內(nèi)的式子的系數(shù)與根號(hào)外的式子的系數(shù)的關(guān)聯(lián)性，采用換元法解題?！窘獯稹?左邊通分得 ，即 ，于是 ，解之得 ，經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根?！驹u(píng)注】 解答中方程兩邊開6次方，應(yīng)得。例11 解方程：。（解根式方程；不等式排除法）【分析】 觀察得此方程的根必為正數(shù)，且是它的一個(gè)根，如果能夠說明任意的實(shí)數(shù)x必不是此方程的根，即可確定原方程只有一個(gè)實(shí)根。【解答】 易知此方程的根必為正數(shù)，且是它的一個(gè)根。1）如果，則，即，于是 ，表明x不是方程的根。2）如果，則，即，于是 ，表明x不是方程的根。綜上所述，方程只有一個(gè)根。【評(píng)注】 這種間接解方程的方法值得注意。例1

9、2 解關(guān)于x的方程。（含字母系數(shù)根式方程，討論）【分析】 將原方程兩邊平方，并化簡(jiǎn)得，由此得，但必須注意下一步應(yīng)該將此解代入方程驗(yàn)證，才能得到正確的解答?！窘獯稹?將原方程兩邊平方，并化簡(jiǎn)得 ，由此得 ，解之得 。1）當(dāng)時(shí)，即只有時(shí)才是方程的解；2）當(dāng)時(shí)，即只有時(shí)才是方程的解。所以，當(dāng)時(shí)，方程的解為，當(dāng)時(shí)，方程的解為。【評(píng)注】 解含字母系數(shù)的根式方程（組）時(shí)，應(yīng)對(duì)字母系數(shù)進(jìn)行討論。例13 解方程組：。（解根式方程組，換元法）【分析】 這是一個(gè)關(guān)于x的根式方程組。觀察方程組的特點(diǎn)，采用換元法解題，令，將方程組變?yōu)檎椒匠?。【解答?令，不妨設(shè)，則原方程組變?yōu)?，因?yàn)?，?。解方程組 ，解之得 。經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根。所以，原方程組的解為?！驹u(píng)注】 先作有序界定，再將解得的解輪換，得到全部解。例14 解方程組。（解根式方程組，消元法）【分析】 觀察方程的右邊的特點(diǎn)，由于可以消去x，故將兩方程相乘，消去x得，由此先解出y。【解答】得： ，兩邊平方得 ，解之得 。代入得 ，兩邊平方得 ，解之得 。經(jīng)經(jīng)驗(yàn)，是原方程組的解。【評(píng)注】 解根式方程組的基本思想還是消元。三、同步練習(xí)題1. 設(shè)正整數(shù)a，m，n滿足，求a，m，n的值。