江蘇揚州中學2024-2025學年數(shù)學高二下期末經典試題含解析

江蘇揚州中學2024-2025學年數(shù)學高二下期末經典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（2017新課標全國卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A． B．C． D．2．等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，且4≤S2≤6，15≤S4≤21，則a2的取值范圍為（）A． B． C． D．3．某研究機構對兒童記憶能力和識圖能力進行統(tǒng)計分析，得到如下數(shù)據：記憶能力識圖能力由表中數(shù)據，求得線性回歸方程為，,若某兒童的記憶能力為12時，則他的識圖能力約為()A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．104．已知m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若m，n沒有公共點，則B．若，，則C．若，則D．若，則5．若拋物線,過其焦點的直線與拋物線交于兩點,則的最小值為()A．6 B． C．9 D．6．已知直線（為參數(shù)）與曲線的相交弦中點坐標為，則等于（）A． B． C． D．7．已知集合，則（）A． B． C． D．8．設函數(shù)f(x)＝axA．193 B．163 C．139．某中學高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監(jiān)考，則不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．742510．已知，且，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．11．復數(shù),則對應的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．設集合，，，則圖中陰影部分所表示的集合是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中項的系數(shù)為_____．14．已知函數(shù),若對任意,存在,，則實數(shù)的取值范圍為_____.15．已知點，，若直線上存在點，使得，則稱該直線為“型直線”.給出下列直線：（1）；（2）；（3）；（4）其中所有是“型直線”的序號為______.16．某地一農業(yè)科技實驗站，對一批新水稻種子進行試驗，已知這批水稻種子的發(fā)芽率為0.8，出芽后的幼苗成活率為0.9，在這批水稻種子中，隨機地抽取一粒，則這粒水稻種子能成長為幼苗的概率為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求AM與平面A1MD所成角的正弦值．18．（12分）已知直線的方程為，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系．（1）求直線與圓的交點的極坐標；（2）若為圓上的動點，求到直線的距離的最大值．19．（12分）已知橢圓：，過點作傾斜角互補的兩條不同直線，，設與橢圓交于、兩點，與橢圓交于，兩點.（1）若為線段的中點，求直線的方程；（2）記，求的取值范圍.20．（12分）已知，命題對任意，不等式恒成立；命題存在，使得成立.(1)若為真命題，求的取值范圍；(2)若為假，為真，求的取值范圍.21．（12分）在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過40分的選手將直接被淘汰，成績在內的選手可以參加復活賽，如果通過，也可以參加第二輪比賽．（1）已知成績合格的200名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖，求a的值及估計這200名參賽選手的成績平均數(shù)；（2）根據已有的經驗，參加復活賽的選手能夠進入第二輪比賽的概率為，假設每名選手能否通過復活賽相互獨立，現(xiàn)有3名選手進入復活賽，記這3名選手在復活賽中通過的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望．22．（10分）如圖，圓柱的軸截面是，為下底面的圓心，是母線，.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問題，其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.2、B【解析】

首先設公差為，由題中的條件可得和，利用待定系數(shù)法可得，結合所求的范圍及不等式的性質可得.【詳解】設公差為，由，得，即；同理由可得.故可設，所以有，所以有，解得，即，因為，.所以，即.故選：B.本題主要考查不等式的性質及等差數(shù)列的運算，利用不等式求解范圍時注意放縮的尺度，運算次數(shù)越少，范圍越準確.3、B【解析】試題分析：當時考點：回歸方程4、D【解析】

由空間中點、線、面位置關系的判定與性質依次對選項進行判斷，由此得到答案?！驹斀狻績蓷l直線沒有公共點有平行和異面兩種情形，故A，B錯；對于C，還存在的情形：由線面垂直的性質可得D對，故選D．本題考查學生對空間中點、線、面的位置關系的理解與掌握，重點考查學生的空間想象能力，屬于中檔題。5、B【解析】分析：設直線方程為，聯(lián)立方程組得出A，B兩點坐標的關系，根據拋物線的性質得出關于A，B兩點坐標的式子，使用基本不等式得出最小值.詳解：拋物線的焦點，設直線方程為，聯(lián)立方程組，得，設，則，，由拋物線的性質得，.故選：B.點睛：本題考查了拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.6、A【解析】

根據參數(shù)方程與普通方程的互化，得直線的普通方程為，由極坐標與直角坐標的互化，得曲線普通方程為，再利用“平方差”法，即可求解．【詳解】由直線（為參數(shù)），可得直線的普通方程為，由曲線，可得曲線普通方程為，設直線與橢圓的交點為，，則，，兩式相減，可得.所以，即直線的斜率為，所以，故選A．本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及中點弦問題的應用，其中解答中熟記互化公式，合理應用中點弦的“平方差”法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．7、C【解析】

利用對數(shù)函數(shù)的單調性對集合化簡得x|0＜x＜1}，然后求出A∩B即可．【詳解】＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{1}，故選：C考查對數(shù)不等式的解法，以及集合的交集及其運算．8、D【解析】

由題，求導，將x=-1代入可得答案.【詳解】函數(shù)f(x)的導函數(shù)f'(x)=3ax解得a=10故選D本題考查了函數(shù)的求導，屬于基礎題.9、A【解析】

根據題意，分兩步進行：先確定8個是自己的班主任老師監(jiān)考的班級，然后分析剩余的4個班級的監(jiān)考方案，計算可得其情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】某中學高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監(jiān)考，首先確定8個是自己的班主任老師監(jiān)考的班級，有種，而剩余的4個班級全部不能有本班的班主任監(jiān)考，有種；由分步計數(shù)原理可得，共種不同的方案；故選：A.本題解題關鍵是掌握分步計數(shù)原理和組合數(shù)計算公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.10、C【解析】

分析：由推導出，從而，由此能求出向量在向量方向上的投影.詳解：，且，，，向量在向量方向上的投影為，故選C.點睛：本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.11、A【解析】

先求得的共軛復數(shù)，由此判斷出其對應點所在象限.【詳解】依題意，對應點為，在第一象限，故選A.本小題主要考查共軛復數(shù)的概念，考查復數(shù)對應點所在象限，屬于基礎題.12、A【解析】

陰影部分所表示的集合為：.【詳解】由已知可得，陰影部分所表示的集合為：.故選：A.本題主要考查集合的運算，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9【解析】

將二項式表示為，然后利用二項式定理寫出其通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，再代入通項即可得出項的系數(shù)。【詳解】，所以，的展開式通項為，令，得，所以，展開式中項的系數(shù)為，故答案為：。本題考查二項式中指定項的系數(shù)，考查二項式展開式通項的應用，這類問題的求解一般要將展開式的通項表示出來，通過建立指數(shù)有關的方程來求解，考查運算能力，屬于中等題。14、【解析】

利用導數(shù)求函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的最小值，把對任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2）轉化為g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1有解．【詳解】解：由f（x）＝ex﹣x，得f′（x）＝ex﹣1，當x∈（﹣1，0）時，f′（x）＜0，當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，0）上單調遞減，在（0，1）上單調遞增，∴f（x）min＝f（0）＝1．對任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2），即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1，函數(shù)g（x）＝x2﹣bx+4的對稱軸為x＝．當≤3，即b≤6時，g（x）在（3，4）上單調遞增，g（x）＞g（3）＝13﹣3b，由13﹣3b≤1，得b≥4，∴4≤b≤6；當≥4，即b≥2時，g（x）在（3，4）上單調遞減，g（x）＞g（4）＝20﹣4b，由20﹣4b≤1，得b≥，∴b≥2；當3＜＜4，即6＜b＜2時，g（x）在（3，4）上先減后增，，由≤1，解得或b，∴6＜b＜2．綜上，實數(shù)b的取值范圍為[4，+∞）．故答案為：[4，+∞）．本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的單調性以及最值的求法，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，考查計算能力，是中檔題．15、(1)(3)(4)【解析】

由題可得若則是在以,為焦點,的橢圓上.故“型直線”必與橢圓相交,再判斷直線與橢圓是否相交即可.【詳解】由題可得若則是在以,為焦點,的橢圓上.故“型直線”需與橢圓相交即可.易得.左右頂點為,上下頂點為對(1),過,滿足條件對(2),設橢圓上的點,則到直線的距離,.若,則無解.故橢圓與直線不相交.故直線不滿足.對(3),與橢圓顯然相交,故滿足.對(4),因為過,故與橢圓相交.故滿足.故答案為：(1)(3)(4)本題主要考查了橢圓的定義與新定義的問題,判斷直線與橢圓的位置關系可設橢圓上的點求點與直線的距離,分析是否可以等于0即可.屬于中等題型.16、0.72【解析】

運用相互獨立事件的概率公式直接求解即可.【詳解】設事件表示水稻種子的發(fā)芽,事件為出芽后的幼苗成活,因此,所以這粒水稻種子能成長為幼苗的概率為.故答案為：本題考查了相互獨立事件的概率公式,考查了數(shù)學運算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

要證線面平行，先證線線平行建系，利用法向量求解?！驹斀狻浚?）連接ME，BC∵M，E分別為B1B，BC的中點∴又∵∴A1DCB1是平行四邊形∴∴∴NDEM是平行四邊形∴NM∥DE又NM平面C1DE∴NM∥平面C1DE(2)由題意得DE與BC垂直，所以DE與AD垂直：以D為原點，DA，DE，DD1三邊分別為x，y，z軸，建立空間坐標系O-xyz則A（2，0，0），A1（2，0，4），M（1，，2）設平面A1MD的法向量為則∴解得又∴∴AM與平面A1MD所成角的正弦值.要證線面平行，可證線線平行或面面平行。求線面所成角得正弦值，可用幾何法做出線面角，再求正弦值；或者建立空間直角坐標系，利用法向量求解。18、(1)對應的極坐標分別為，(2)【解析】

（I）由圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），利用cos2θ+sin2θ=1化為普通方程，與直線方程聯(lián)立解得交點坐標，利用可得極坐標．（II）圓心（0，2）到直線l的距離為d1，可得P到直線l的距離d的最大值為d1+r．【詳解】解：（I）直線:,圓:聯(lián)立方程組,解得或對應的極坐標分別為,.（II）設,則,當時,取得最大值.本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）【解析】

（1）設直線l1的方程為y﹣1=k（x﹣1），根據韋達定理和中點坐標公式即可求出直線的斜率k，問題得以解決，（2）根據弦長公式分別求出|AB|，|CD|，再根據基本不等式即可求出．【詳解】（1）設直線的斜率為，方程為，代入中，∴.∴.判別式.設，，則.∵中點為，∴，則.∴直線的方程為，即.（2）由（1）知.設直線的方程為.同理可得.∴.∴.令，則，.在，分別單調遞減，∴或.故或.即.圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．20、(1)；(2)【解析】

（1）由題得，解不等式即得解；（2）先由題得，由題得，中一個是真命題，一個是假命題，列出不等式組，解不等式組得解.【詳解】(1)對任意，不等式恒成立，當，由對數(shù)函數(shù)的性質可知當時，的最小值為，，解得.因此，若為真命題時，的取值范圍是.(2)存在，使得成立，.命題為真時，，且為假，或為真，，中一個是真命題，一個是假命題.當真假時，則解得；當假真時，，即.綜上所述，的取值范圍為.本題主要考查指數(shù)對數(shù)函數(shù)