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文檔簡介
1、2010年浙江省高中數(shù)學競賽試卷一、選擇題(本大題共有10小題,每題只有一個正確答案,將正確答案的序號填入題干后的括號里,多選、不選、錯選均不得分,每題5分,共50分)1 化簡三角有理式的值為( ) A. 1 B. C. D. 1+2 若,則是的( )A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件3 集合P=,則集合為()A. B. C. D. 4 設(shè),為兩個相互垂直的單位向量。已知=,=,=r+k.若PQR為等邊三角形,則k,r的取值為( ) A B C D5 在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=BB1,則CA1與C1B所成的角的大小是( )A6
2、0° B75° C90° D105° 6 設(shè),分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列,且,則以下結(jié)論正確的是( )A. B. C. D. 7 若的二項式展開式中系數(shù)最大的項為( ) A第8項 B. 第9項 C. 第8項和第9項 D. 第11項8 設(shè),則下述關(guān)系式正確的是( )。 A B. C. D. 9 下面為某一立體的三視圖,則該立體的體積為( )正視圖: 半徑為1的半圓以及高為1的矩形側(cè)視圖: 半徑為1的圓以及高為1的矩形俯視圖: 半徑為1的圓A. B. C. D. 10. 設(shè)有算法如下:如果輸入A=144, B=39,則輸出的結(jié)果是( )A. 144 B. 3
3、C. 0 D. 12二、填空題(本大題共有7小題,將正確答案填入題干后的橫線上,每空7分,共49分)11. 滿足方程所有實數(shù)解為 。12. 函數(shù)的最小正周期為 . 13. 設(shè)P是圓上一動點,A點坐標為。當P在圓上運動時,線段PA的中點M的軌跡方程為 .14. 設(shè)銳角三角形ABC的邊BC上有一點D,使得AD把ABC分成兩個等腰三角形,試求ABC的最小內(nèi)角的取值范圍為 。15. 設(shè)z是虛數(shù),且,則z的實部取值范圍為 .16. 設(shè)。如果對任何,都有,則k的最小值為 .17. 設(shè),。當函數(shù)的零點多于1個時,在以其最小零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值為 .三、解答題(本大題共有3小題,每題17分,
4、共51分)18. 設(shè)數(shù)列,問:(1)這個數(shù)列第2010項的值是多少;(2)在這個數(shù)列中,第2010個值為1的項的序號是多少.19. 設(shè)有紅、黑、白三種顏色的球各10個?,F(xiàn)將它們?nèi)糠湃爰住⒁覂蓚€袋子中,要求每個袋子里三種顏色球都有,且甲乙兩個袋子中三種顏色球數(shù)之積相等。問共有多少種放法。20. 已知橢圓,以(0,1)為直角頂點,邊AB、BC與橢圓交于兩點B、C。若ABC面積的最大值為,求的值。四、附加題:(本大題共有2小題,每題25分,共50分。)21. 設(shè)D,E,F(xiàn)分別為ABC的三邊BC,CA,AB上的點。記。證明:。22. (1)設(shè),平面上的點如其坐標都是整數(shù),則稱之為格點。今有曲線過格點
5、(n,m),記對應(yīng)的曲線段上的格點數(shù)為N。證明:。(2) 進而設(shè)a是一個正整數(shù),證明:。(注表示不超過x的最大整數(shù))參考答案1、解答為 A。 。2、解答為 B。p成立,所以p 成立,推不出q一定成立。3、解答:D。 畫數(shù)軸,由絕對值的幾何意義可得,。4、解答C. ,即。5、解答:C。建立空間直角坐標系,以所在的直線為軸,在平面上垂直于 的直線為軸,所在的直線為軸。則,。6、解答:A。7、解答:D. ,r=10,第11項最大。8、解答: D。函數(shù)為偶函數(shù),在(0,)上,為減函數(shù),而,所以。9、解答:C. 根據(jù)題意,該立體圖為圓柱和一個1/4的球的組合體。10、解答 B (1)A=144,B=39
6、,C=27:(2)A=39,B=27,C=12:(3)A=27,B=12,C=3:(4)A=12,B=3,C=0。所以A=3。11、解答 變形得,解得。12、解答 。13、解答 設(shè)M的坐標為,因為P點在圓上,所以 所以P點軌跡為。14、解答 如圖,(1)AD=AC=BD;(2)DC=AC,AD=BD。ACDB(1)ACDB(2)在(1)中,設(shè)最小的角為x,則2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30<x<45;在(2)中,設(shè)最小的角為x,則3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以2
7、2.5<x<3015、解答 設(shè)當,無解;當。16、解答 分子,所以k的最小值為。17、解答 因為函數(shù)為偶函數(shù),由對稱性以及圖象知道,在以其最小零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值0或q。18、解(1)將數(shù)列分組:因為1+2+3+62=1953;1+2+3+63=2016,所以數(shù)列的第2010項屬于第63組倒數(shù)第7個數(shù),即為。 - 10分(2)由以上分組可以知道,每個奇數(shù)組中出現(xiàn)一個1,所以第2010個1出現(xiàn)在第4019組,而第4019組中的1位于該組第2010位,所以第2010個值為1的項的序號為(1+2+3+4018)+2010=809428。 - 17分19、解:設(shè)甲袋中的紅
8、、黑、白三種顏色的球數(shù)為,則有,且 (*1)- 5分即有 。 (*2)于是有 。因此中必有一個取5。不妨設(shè),代入(*1)式,得到。 -10分此時,y可取1,2,8,9(相應(yīng)地z取 9,8,2,1),共9種放法。同理可得y=5或者z=5時,也各有9種放法,但有時二種放法重復。因此可得共有9×32 = 25種放法。 -17分20、解: 不妨設(shè)的方程,則的方程為。由得: 由得: 從而有于是 。令,有 - 10分因為 時等號成立。因此當 - 14分令 - 17分21、證明 由 -5分 。 - 10分所以, =。 -20分因此,等號成立,當且僅當,D與C重合,或E與A重合,或F與B重合。 - 25分22、證明 (1)考慮區(qū)域且該區(qū)域上的格點為nm個。又該區(qū)域由區(qū)域E:以及區(qū)域
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