偏最小二乘回歸是一種新型的多元統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析方法它與

1、偏最小二乘回歸是一種新型的多元統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析方法，它與1983年由伍德和阿巴諾等人首次提出。近十年來(lái)，它在理論、方法和應(yīng)用方面都得到了迅速的發(fā)展。密西根大學(xué)的弗耐爾教授稱偏最小二乘回歸為第二代回歸分析方法。偏最小二乘回歸方法在統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中的重要性主要的有以下幾個(gè)方面：（1）偏最小二乘回歸是一種多因變量對(duì)多自變量的回歸建模方法。（2）偏最小二乘回歸可以較好地解決許多以往用普通多元回歸無(wú)法解決的問題。在普通多元線形回歸的應(yīng)用中，我們常受到許多限制。最典型的問題就是自變量之間的多重相關(guān)性。如果采用普通的最小二乘方法，這種變量多重相關(guān)性就會(huì)嚴(yán)重危害參數(shù)估計(jì)，擴(kuò)大模型誤差，并破壞模型的穩(wěn)定性。變量多重相關(guān)問

2、題十分復(fù)雜，長(zhǎng)期以來(lái)在理論和方法上都未給出滿意的答案，這一直困擾著從事實(shí)際系統(tǒng)分析的工作人員。在偏最小二乘回歸中開辟了一種有效的技術(shù)途徑，它利用對(duì)系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行分解和篩選的方式，提取對(duì)因變量的解釋性最強(qiáng)的綜合變量，辨識(shí)系統(tǒng)中的信息與噪聲，從而更好地克服變量多重相關(guān)性在系統(tǒng)建模中的不良作用。（3）偏最小二乘回歸之所以被稱為第二代回歸方法，還由于它可以實(shí)現(xiàn)多種數(shù)據(jù)分析方法的綜合應(yīng)用。偏最小二乘回歸=多元線性回歸分析+典型相關(guān)分析+主成分分析由于偏最小二乘回歸在建模的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化，因此，可以在二維平面圖上對(duì)多維數(shù)據(jù)的特性進(jìn)行觀察，這使得偏最小二乘回歸分析的圖形功能十分強(qiáng)大。在一次偏

3、最小二乘回歸分析計(jì)算后，不但可以得到多因變量對(duì)多自變量的回歸模型，而且可以在平面圖上直接觀察兩組變量之間的相關(guān)關(guān)系，以及觀察樣本點(diǎn)間的相似性結(jié)構(gòu)。這種高維數(shù)據(jù)多個(gè)層面的可視見性，可以使數(shù)據(jù)系統(tǒng)的分析內(nèi)容更加豐富，同時(shí)又可以對(duì)所建立的回歸模型給予許多更詳細(xì)深入的實(shí)際解釋。一、 偏最小二乘回歸的建模策略原理方法1.1建模原理設(shè)有 q個(gè)因變量和p自變量。為了研究因變量和自變量的統(tǒng)計(jì)關(guān)系,我們觀測(cè)了n個(gè)樣本點(diǎn),由此構(gòu)成了自變量與因變量的數(shù)據(jù)表X=和.Y=。偏最小二乘回歸分別在X與Y中提取出成分 和 (也就是說(shuō), 是 的線形組合, 是 的線形組合).在提取這兩個(gè)成分時(shí),為了回歸分析的需要,有下列兩個(gè)要求

4、:(1) 和應(yīng)盡可能大地?cái)y帶他們各自數(shù)據(jù)表中的變異信息;(2) 與 的相關(guān)程度能夠達(dá)到最大。這兩個(gè)要求表明，和 應(yīng)盡可能好的代表數(shù)據(jù)表X和Y,同時(shí)自變量的成分 對(duì)因變量的成分 又有最強(qiáng)的解釋能力。在第一個(gè)成分和 被提取后，偏最小二乘回歸分別實(shí)施X 對(duì) 的回歸以及 Y對(duì) 的回歸。如果回歸方程已經(jīng)達(dá)到滿意的精度，則算法終止；否則,將利用 X被解釋后的殘余信息以及Y 被 解釋后的殘余信息進(jìn)行第二輪的成分提取。如此往復(fù)，直到能達(dá)到一個(gè)較滿意的精度為止。若最終對(duì) X共提取了 m個(gè)成分，偏最小二乘回歸將通過實(shí)施 對(duì)， 的回歸,然后再表達(dá)成關(guān)于原變量， 的回歸方程,k=1,2,q 。1.2計(jì)算方法推導(dǎo)為了數(shù)

5、學(xué)推導(dǎo)方便起見,首先將數(shù)據(jù)做標(biāo)準(zhǔn)化處理。X 經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理后的數(shù)據(jù)矩陣記為=(，)，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理后的數(shù)據(jù)矩陣記為=(，)。第一步 記是的第一個(gè)成分，是的第一個(gè)軸，它是一個(gè)單位向量，既|=1。記是的第一個(gè)成分，=。 是的第一個(gè)軸，并且|=1。如果要，能分別很好的代表X與Y中的數(shù)據(jù)變異信息，根據(jù)主成分分析原理，應(yīng)該有Var()maxVar()max另一方面，由于回歸建模的需要，又要求對(duì)有很大的解釋能力，有典型相關(guān)分析的思路，與的相關(guān)度應(yīng)達(dá)到最大值，既r（，）max因此，綜合起來(lái)，在偏最小二乘回歸中，我們要求與的協(xié)方差達(dá)到最大，既Cov(，)=r(，) max正規(guī)的數(shù)學(xué)表述應(yīng)該是求解下列優(yōu)化問題，既

6、s.t 因此，將在|=1和|=1的約束條件下，去求()的最大值。如果采用拉格朗日算法，記s= (1) (1)對(duì)s分別求關(guān)于，和的偏導(dǎo)并令之為零，有 = =0 (1 -2) = =0 (1-3) =(1)=0 (1-4) =(1)=0 (1-5)由式(1-2)(1-5),可以推出記,所以,正是優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)值.把式(1-2)和式(1-3)寫成 (1-6) (1-7)將式(1-7)代入式(1-6),有 (1-8) 同理,可得 (1-9) 可見,是矩陣的特征向量,對(duì)應(yīng)的特征值為.是目標(biāo)函數(shù)值,它要求取最大值,所以, 是對(duì)應(yīng)于矩陣最大特征值的單位特征向量.而另一方面, 是對(duì)應(yīng)于矩陣最大特征值的單位

7、特征向量.求得軸和后,即可得到成分 然后,分別求和對(duì),的三個(gè)回歸方程 (1-10) (1-11) (1-12)式中,回歸系數(shù)向量是 (1-13) (1-14) (1-15)而,分別是三個(gè)回歸方程的殘差矩陣.第二步 用殘差矩陣和取代和,然后,求第二個(gè)軸和以及第二個(gè)成分,有 = = 是對(duì)應(yīng)于矩陣最大特征值的特征值, 是對(duì)應(yīng)于矩陣最大特征值的特征向量.計(jì)算回歸系數(shù) 因此,有回歸方程 如此計(jì)算下去,如果的秩是,則會(huì)有 （1-16） （1-17）由于,均可以表示成的線性組合,因此,式(1-17)還可以還原成關(guān)于的回歸方程形式，即 k=1,2,q是殘差距陣的第k列。1.3交叉有效性下面要討論的問題是在現(xiàn)有

8、的數(shù)據(jù)表下,如何確定更好的回歸方程。在許多情形下,偏最小二乘回歸方程并不需要選用全部的成分進(jìn)行回歸建模,而是可以象在主成分分析一樣,采用截尾的方式選擇前m 個(gè)成分,僅用這m 個(gè)后續(xù)的成分就可以得到一個(gè)預(yù)測(cè)性較好的模型。事實(shí)上,如果后續(xù)的成分已經(jīng)不能為解釋提供更有意義的信息時(shí),采用過多的成分只會(huì)破壞對(duì)統(tǒng)計(jì)趨勢(shì)的認(rèn)識(shí),引導(dǎo)錯(cuò)誤的預(yù)測(cè)結(jié)論。在多元回歸分析一章中,我們?cè)谡{(diào)整復(fù)測(cè)定系數(shù)的內(nèi)容中討論過這一觀點(diǎn)。下面的問題是怎樣來(lái)確定所應(yīng)提取的成分個(gè)數(shù)。在多元回歸分析中,曾介紹過用抽樣測(cè)試法來(lái)確定回歸模型是否適于預(yù)測(cè)應(yīng)用。我們把手中的數(shù)據(jù)分成兩部分:第一部分用于建立回歸方程,求出回歸系數(shù)估計(jì)量,擬合值以及

9、殘差均方和;再用第二部分?jǐn)?shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)點(diǎn),代入剛才所求得的回歸方程,由此求出。一般地,若有,則回歸方程會(huì)有更好的預(yù)測(cè)效果。若 ,則回歸方程不宜用于預(yù)測(cè)。在偏最小二乘回歸建模中,究竟應(yīng)該選取多少個(gè)成分為宜,這可通過考察增加一個(gè)新的成分后,能否對(duì)模型的預(yù)測(cè)功能有明顯的改進(jìn)來(lái)考慮。采用類似于抽樣測(cè)試法的工作方式,把所有n個(gè)樣本點(diǎn)分成兩部分:第一部分除去某個(gè)樣本點(diǎn)的所有樣本點(diǎn)集合(共含n-1個(gè)樣本點(diǎn)),用這部分樣本點(diǎn)并使用h個(gè)成分?jǐn)M合一個(gè)回歸方程;第二部分是把剛才被排除的樣本點(diǎn)代入前面擬合的回歸方程,得到在樣本點(diǎn)上的擬合值。對(duì)于每一個(gè)=1,2,n,重復(fù)上述測(cè)試,則可以定義的預(yù)測(cè)誤差平方和為,有 (1-1

10、8)定義Y的預(yù)測(cè)誤差平方和為,有 (1-19)顯然,如果回歸方程的穩(wěn)健性不好,誤差就很大,它對(duì)樣本點(diǎn)的變動(dòng)就會(huì)十分敏感,這種擾動(dòng)誤差的作用,就會(huì)加大的值。另外,再采用所有的樣本點(diǎn),擬合含h 個(gè)成分的回歸方程。這是,記第個(gè)樣本點(diǎn)的預(yù)測(cè)值為,則可以記的誤差平方和為,有 (1-20)定義Y的誤差平方和為,有 (1-21)一般說(shuō)來(lái),總是有大于,而則總是小于。下面比較和。是用全部樣本點(diǎn)擬合的具有h-1個(gè)成分的方程的擬合誤差; 增加了一個(gè)成分,但卻含有樣本點(diǎn)的擾動(dòng)誤差。如果h個(gè)成分的回歸方程的含擾動(dòng)誤差能在一定程度上小于(h-1)個(gè)成分回歸方程的擬合誤差,則認(rèn)為增加一個(gè)成分,會(huì)使預(yù)測(cè)結(jié)果明顯提高。因此我們

11、希望的比值能越小越好。在SIMCA-P軟件中,指定即時(shí),增加成分就是有益的;或者反過來(lái)說(shuō),當(dāng)時(shí),就認(rèn)為增加新的成分,對(duì)減少方程的預(yù)測(cè)誤差無(wú)明顯的改善作用.另有一種等價(jià)的定義稱為交叉有效性。對(duì)每一個(gè)變量,定義 (1-22)對(duì)于全部因變量Y,成分交叉有效性定義為 (1-23)用交叉有效性測(cè)量成分對(duì)預(yù)測(cè)模型精度的邊際貢獻(xiàn)有如下兩個(gè)尺度。(1) 當(dāng)時(shí), 成分的邊際貢獻(xiàn)是顯著的。顯而易見, 與是完全等價(jià)的決策原則。(2) 對(duì)于k=1,2,q,至少有一個(gè)k,使得這時(shí)增加成分,至少使一個(gè)因變量的預(yù)測(cè)模型得到顯著的改善,因此,也可以考慮增加成分是明顯有益的。明確了偏最小二乘回歸方法的基本原理、方法及算法步驟后

12、，我們將做實(shí)證分析。附 錄function w=maxdet(A)%求矩陣的最大特征值v,d=eig(A);n,p=size(d);d1=d*ones(p,1);d2=max(d1);i=find(d1=d2);w=v(:,i);%function c,m,v=norm1(C)%對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理n,s=size(C);for i=1:n for j=1:s c(i,j)=(C(i,j)-mean(C(:,j)/sqrt(cov(C(:,j); endend m=mean(C);for j=1:s v(1,j)=sqrt(cov(C(:,j);end%function t,q,w,wh,f0

13、,FF=fun717(px,py,C) % px自變量的輸入個(gè)數(shù) % py輸入因變量的個(gè)數(shù)。 % C輸入的自變量和因變量組成的矩陣 % t提取的主成分 % q為回歸系數(shù)。 % w最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。 % wh處理后的特征向量 % f0回歸的標(biāo)準(zhǔn)化的方程系數(shù) % FF原始變量的回歸方程的系數(shù)c=norm1(C); %norm1為標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù)y=c(:,px+1:px+py); %截取標(biāo)準(zhǔn)化的因變量E0=c(:,1:px);F0=c(:,px+1:px+py);A=E0'*F0*F0'*E0;w(:,1)=maxdet(A); %求最大特征向量t(:,1)=E0*w(:,1)

14、; %提取主成分 E(:,1:px)=E0-t(:,1)*(E0'*t(:,1)/(t(:,1)'*t(:,1)' % 獲得回歸系數(shù) p(:,1:px)=(E0'*t(:,1)/(t(:,1)'*t(:,1)' for i=0:px-2B(:,px*i+1:px*i+px)=E(:,px*i+1:px*i+px)'*F0*F0'*E(:,px*i+1:px*i+px); w(:,i+2)=maxdet(B(:,px*i+1:px*i+px); % maxdet為求最大特征值的函數(shù) t(:,i+2)=E(:,px*i+1:px*i+

15、px)*w(:,i+2); p(:,px*i+px+1:px*i+2*px)=(E(:,px*i+1:px*i+px)'*t(:,i+2)/(t(:,i+2)'*t(:,i+2)' E(:,px*i+px+1:px*i+2*px)=E(:,px*i+1:px*i+px)-t(:,i+2)*(E(:,px*i+1:px*i+px)'*t(:,i+2)/(t(:,i+2)'*t(:,i+2)' end for s=1:px q(:,s)=p(1,px*(s-1)+1:px*s)' end n,d=size(q); for h=1:px iw=

16、eye(d); for j=1:h-1 iw=iw*(eye(d)-w(:,j)*q(:,j)'); end wh(:,h)=iw*w(:,h); endfor j=1:py zr(j,:)=(regress1(y(:,j),t)' %求回歸系數(shù)endfor j=1:px fori=1:py %生成標(biāo)準(zhǔn)化變量的方程的系數(shù)矩陣 w1=wh(:,1:j); zr1=(zr(i,1:j)' f0(i,:,j)=(w1*zr1)' end normxy,meanxy,covxy=norm1(C); %normxy標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)矩陣 %meanxy每一列的均值 %covx

17、y每一列的方差 ccxx=ones(py,1)*meanxy(1,1:px); ccy=(covxy(1,px+1:px+py)'*ones(1,px); ccx=ones(py,1)*(covxy(1,1:px); ff=ccy.*f0(:,:,j)./ccx; fff=-(sum(ccy.*ccxx.*f0(:,:,j)./ccx)')-meanxy(1,px+1:px+py)' FF(:,:,j)=fff,ff; %生成原始變量方程的常數(shù)項(xiàng)和系數(shù)矩陣 end%function r,Rdyt,RdYt,RdYtt,Rdytt,VIP=fun8y(px,py,c) X

18、=c(:,1:px); Y=c(:,px+1:px+py); x=norm1(X); y=norm1(Y); t,q,w=fun717(px,py,X,Y); r1=corrcoef(y,t); r=r1(py+1:px+py,1:py)' Rdyt=r.2; RdYt=mean(Rdyt) for m=1:px RdYtt(1,m)=sum(RdYt(1,1:m)'); end for j=1:py for m=1:py Rdytt(j,m)=sum(Rdyt(j,1:m)'); end end for j=1:px for m=1:px Rd(j,m)=RdYt(1

19、,1:m)*(w(j,1:m).2)'); end end for j=1:px VIP(j,:)=sqrt(px*ones(1,px)./RdYtt).*Rd(j,:); end%function r,Rdxt,RdXt,RdXtt,Rdxtt=fun8x(px,py,c) X=c(:,1:px); Y=c(:,px+1:px+py); x=norm1(X); y=norm1(Y); t,q,w=fun717(px,py,X,Y); r1=corrcoef(x,t); r=r1(px+1:px+px,1:px)' Rdxt=r.2; RdXt=mean(Rdxt); for

20、m=1:px RdXtt(1,m)=sum(RdXt(1,1:m)'); end for j=1:px for m=1:px Rdxtt(j,m)=sum(Rdxt(j,1:m)'); end end % for j=1:px % for m=1:px % Rd(j,m)=RdXt(1,1:m)*(w(j,1:m).2)'); % end % end % for j=1:px % VIP(j,:)=sqrt(px*ones(1,px)./RdYtt).*Rd(j,:); % end%function t,u=TU(px,py,C) %t提取的自變量的主成分 %u 提取的

21、因變量的主成分c=norm1(C);y=c(:,px+1:px+py);E0=c(:,1:px);F0=c(:,px+1:px+py);A=E0'*F0*F0'*E0;w(:,1)=maxdet(A);t(:,1)=E0*w(:,1);B=F0'*E0*E0'*F0;cc(:,1)=maxdet(B);u(:,1)=F0*cc(:,1);%function drew(px,py,c) X=c(:,1:px); Y=c(:,px+1:px+py); line,l=size(Y); t,q,w,wh,f0,FF=fun717(px,py,c); YY=X*FF(:,

22、2:px+1,3)'+ones(line,1)*FF(:,1,3)' subplot(1,1,1,1) bar(f0(:,:,3) title(' 直方圖') legend('SG','TZBFB','FHL','JK','HPZD','JPZD','TZ','ZG','GPK') grid on plot(YY(:,4),Y(:,4),'+'); lsline for i=1:py v=mod(i,4); d=(i-v)