非線性控制系統(tǒng)的相平面分析法

1、7-5 非線性控制系統(tǒng)的相平面分析法 相平面法在分析非線性系統(tǒng)時是很有用處的。但是，我們在介紹非線性系統(tǒng)的分析方法之前，先討論一下相平面法在分析線性二階系統(tǒng)中的應(yīng)用是很有好處的。因為許多非線性元件特性一般都可分段用線性方程來表示，所以非線性控制系統(tǒng)也可以用分段線性系統(tǒng)來近似。一、線性控制系統(tǒng)的相平面分析1、階躍響應(yīng) 設(shè)線性二階控制系統(tǒng)如圖7-38所示。若系統(tǒng)開始處于平衡狀態(tài)。試求系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下，在平面上的相軌跡。建立系統(tǒng)微分方程式，由圖示系統(tǒng)可得 因為，代入上式得 （7-31）對于時，因此上式可寫成 （7-32）方程（7-32）與（7-22）式相仿。因為假設(shè)系統(tǒng)開始處于平衡狀態(tài)，所以誤差

2、信號的初始條件是和。平面上的相軌跡起始于點，而收斂于原點(系統(tǒng)的奇點)。當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根是共軛復(fù)數(shù)根，并且位于左半平面時，其相軌跡如圖7-39(a)所示。根據(jù)平面上的相軌跡就可方便的求得平面上系統(tǒng)輸出的相軌跡，如圖7-39(b)所示。由圖7-39可見，欠阻尼情況下系統(tǒng)的最大超調(diào)量及系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時的誤差為零。因為平面相軌跡最終到原點，即奇點；所以在平面上相軌跡最終到達(dá)的穩(wěn)態(tài)值，則奇點坐標(biāo)為。2、斜坡響應(yīng) 對于斜坡輸入；當(dāng)時，的導(dǎo)數(shù)及。因此，方程（7-31）可以寫成 或 令，代入上式，則有 （7-33）在平面上，方程（7-33）給出了相平面圖與在平面上方程（7-32）給出的相平面圖是相同的。應(yīng)當(dāng)指

3、出，特征方程式的根確定了奇點的性質(zhì)，在平面上的奇點的位置是坐標(biāo)原點，而在平面上奇點坐標(biāo)為點。又因為我們假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為平衡狀態(tài)。所以誤差信號的初始值，。如果式（7-33）的特征根是處于左半平面的共軛復(fù)數(shù)根時，則在平面上的相軌跡為如圖7-40所示。由上面分析可以看出，圖7-38所示系統(tǒng)，對于斜坡輸入時的相軌跡，除整個相軌跡圖形向右平移之外，其他與階躍輸入時完全相同。另外，當(dāng)系統(tǒng)在斜坡輸入時，相軌跡最終不是到原點而是卷入奇點。這表示系統(tǒng)在斜坡輸入時呈現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)誤差為。二、非線性控制系統(tǒng)的相平面分析當(dāng)非線性元件靜特性可以用分段直線來表示時，這樣的非線性系統(tǒng)就可以用幾個分段線性系統(tǒng)來描述。這時，整個相

4、平面可以劃分成若干個區(qū)域，其中每一個區(qū)域相應(yīng)于一個單獨的線性工作狀態(tài)。相應(yīng)地每一個區(qū)域都有一個奇點，不過這個奇點有時可能不一定在本區(qū)域之內(nèi)，而是在其它區(qū)域。如果奇點位于本區(qū)域之內(nèi)，則稱為實奇點；如果奇點位于本區(qū)域之外，那么該區(qū)內(nèi)的相軌跡就永遠(yuǎn)不可能到達(dá)該點，因此，稱這樣的奇點為虛奇點。具有分段線性特性的二階系統(tǒng)，一般只有一個實奇點，因此與具有實奇點的區(qū)域相鄰接的所有區(qū)域都將具有虛奇點。每一個奇點的位置和性質(zhì)，都取決于相應(yīng)區(qū)域的運動方程。每一個區(qū)域的相平面圖均表示一個相應(yīng)線性系統(tǒng)的相平面圖。有了這些相平面圖以后，只要在區(qū)域的邊界線上，把相應(yīng)的相軌跡連接起來，就可構(gòu)成整個系統(tǒng)的完整的相軌跡。下面舉

5、例說明具體做法。1、具有非線性增益的控制系統(tǒng) 設(shè)如圖7-41(a)所示的非線性控制系統(tǒng)，圖中表示的方塊是一個非線性放大器，其靜特性如圖7-41(b)所示，當(dāng)誤差信號的數(shù)值大于或小于時，放大器的增益分別等于1或小于1，即 （7-34）可見，系統(tǒng)在大誤差信號時，具有大的增益；而在小誤差信號時，增益也小。因為圖7-40(a)所示系統(tǒng)是分段線性的。所以可以把它看成是兩個線性系統(tǒng)的組合，其相應(yīng)的相軌跡也由兩個線性系統(tǒng)的相軌跡組合而成。具體做法如下：假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為靜止平衡狀態(tài)。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，寫出變量與之間的微分方程為由于，代入上式得 （7-35）設(shè)系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下，在平面上作相應(yīng)的相軌跡。對

6、于單位階躍輸入，當(dāng)時，所以式（7-35）成為 （7-36）上式即為非線性系統(tǒng)在單位階躍作用下的誤差微分方程。將式（7-34）代入式（7-36）得下列兩個線性微分方程： （7-36a） (7-36b)在下面的分析中，假設(shè)方程（7-36a）為欠阻尼的運動方程，其特征根為具有負(fù)實部的共軛復(fù)數(shù)根，對應(yīng)的相軌跡如圖7-42(a)所示，奇點（0，0）為穩(wěn)定焦點。假設(shè)方程(7-36b）為過阻尼的運動方程，相應(yīng)的特征根為兩個負(fù)實根，相軌跡如圖7-42(b)所示，奇點(0，0)為穩(wěn)定節(jié)點。根據(jù)方程（7-36a）和(7-36b）所確定的相應(yīng)區(qū)域，將圖7-42(a)和圖7-42(b)組合在一起就可得到圖7-41所示

7、非線性系統(tǒng)的相軌跡圖，如圖7-43所示。圖中系統(tǒng)參數(shù)為：，和。 由圖7-43可知，相平面被分割成三個區(qū)域：在直線和限定的區(qū)域內(nèi)對應(yīng)著方程(7-36b）,而在這個區(qū)域以外相軌跡由方程(7-36a)確定。相軌跡起始于點，該點由初始條件，確定。從點出發(fā)的相軌跡，首先沿7-42(a)所示相軌跡運動，并“企圖”收斂到穩(wěn)定焦點（虛奇點，坐標(biāo)原點）。然而，當(dāng)相點（描述點）運動到點，即到達(dá)本區(qū)域的邊界線線上時，若繼續(xù)運動將越出邊界而進(jìn)入新的區(qū)域。因此，相軌跡將在點發(fā)生轉(zhuǎn)換，B點是上一區(qū)域的終點，同時也是下一區(qū)域的起點。從B點開始直至再發(fā)生下一次轉(zhuǎn)換為止，相點將沿圖7-42(b)所示相跡運動而企圖收斂到穩(wěn)定節(jié)點

8、。但是在點，系統(tǒng)又一次發(fā)生轉(zhuǎn)換，相軌跡趨向于收斂虛奇點（穩(wěn)定焦點）。同樣，當(dāng)相點到達(dá)點時又將發(fā)生轉(zhuǎn)換如此反復(fù)繼續(xù)下去，直至最后相軌跡進(jìn)入?yún)^(qū)域，不再越出并最終收斂到穩(wěn)定節(jié)點，即實奇點(0,0)為止。可見，非線性系統(tǒng)的整個相軌跡為，如圖7-43的實線所示。顯然，系統(tǒng)在階躍輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為零。圖7-43中用虛線描繪的相軌跡為圖7-44所示欠阻尼二階系統(tǒng)在單位階躍作用下的相軌跡圖。比較這兩條相軌跡，可見前者所對應(yīng)的階躍響應(yīng)特性比后者要好。首先收斂速度快，即系統(tǒng)速度性提高了，其次，超調(diào)量小。對于較小的階躍輸入，響應(yīng)甚至是無超調(diào)的。對于中等大小的階躍輸入，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)具有一次超調(diào)。對于大的階躍輸入，雖然

9、在系統(tǒng)的響應(yīng)曲線中可能出現(xiàn)超調(diào)和反向超調(diào)，但其超調(diào)量肯定比圖7-44所示的線性系統(tǒng)要小。圖7-41所示系統(tǒng)在典型階躍輸入時的誤差響應(yīng)曲線如圖7-45。2、繼電系統(tǒng)在圖7-41所示非線性隨動系統(tǒng)中，將放大器換成繼電器，并假定繼電器具有理想的繼電特性，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-46所示。理想繼電器特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 （7-37） 假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為靜止平衡狀態(tài)。繼電系統(tǒng)運動方程為 對于階躍輸入，當(dāng)時，有，所以上式為 （7-38）將式(7-37)代入上式得方程組 顯然，兩個方程均為線性微分方程。因為繼電特性是由兩條直線段組成，所以兩條直線段內(nèi)繼電系統(tǒng)的特性仍為線性的，只是在繼電器切換時才表現(xiàn)出非線性特性。將

10、代入（7-38）式，則有 或 對上式兩邊進(jìn)行積分得相軌跡方程 由假設(shè)條件：，代入上式可得 （7-39）代入值則有 根據(jù)上兩式可作出繼電系統(tǒng)的相軌跡如圖7-47所示。由圖可見，相軌跡起始于點，在的區(qū)域內(nèi)按方程（7-39a）變化，到達(dá)軸點時，繼電器切換，相軌跡方程按方程(7-39b)變化。這樣依次進(jìn)行，最后趨于坐標(biāo)原點（0，0），得系統(tǒng)完整的相軌跡如圖7-47。另外由圖可見，相軌跡轉(zhuǎn)換均在縱軸上，這種直線稱為開關(guān)線，它表示繼電器工作狀態(tài)的轉(zhuǎn)換。3、速度反饋對繼電系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響 設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-48所示，圖中。這時理想繼電特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 （7-40）系統(tǒng)運動方程為 對于階躍輸入，當(dāng)時，上

11、式為 （7-41）將式（7-40）代入式（7-41）得方程組 上式方程組與方程比較，可見它們完全相同，不同之處僅是方程所對應(yīng)的區(qū)域不同。根據(jù)方程可知，具有速度反饋的繼電系統(tǒng)的相跡方程為 由上兩式邊界條件可得開關(guān)線方程為 （7-43）根據(jù)開關(guān)線方程及相軌跡方程可作出系統(tǒng)的相軌跡，如圖7-49所示。將此相軌跡圖與圖7-47比較，可看出兩者主要是開關(guān)線不同。未接入速度反饋時，開關(guān)線為的虛軸；在接入速度反饋后，開關(guān)線逆時針轉(zhuǎn)了一個角度。由于開關(guān)線逆時針方向轉(zhuǎn)動的結(jié)果，相軌跡將提前進(jìn)行切換，這樣就使得系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時間縮短，系統(tǒng)的動態(tài)性能得到改善。由于開關(guān)線轉(zhuǎn)角隨著速度反饋強(qiáng)度的增大而增大，因此，當(dāng)時，系統(tǒng)性能將隨著速度反饋強(qiáng)度的增大而得到改善。綜上所述，相平面法一般可解決下列問題：（1）相平面上可以清晰地表示出系統(tǒng)在各種初始條件下的所有可能的運動；（2）相平面上可用奇點來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（3）相平面上可用極限環(huán)來分析系統(tǒng)的自振穩(wěn)定性；（4）由相軌跡可以求出系統(tǒng)的瞬