非線性薛定諤方程的五種差分格式_圖文

1、第26卷第3期暨南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版 Vol . 27No . 32006年6月Journal of J inan University (Natural Science Jun . 2006非線性薛定諤方程的五種差分格式王秀鳳, 陳輝, 范德輝, 張傳林(暨南大學(xué)數(shù)學(xué)系, 廣東廣州510632摘要給出了非線性薛定諤方程的5種差分格式, 穩(wěn)定性和收斂性. .關(guān)鍵詞薛定諤方程; 數(shù)值穩(wěn)定性; 局部截斷誤差中圖分類號O0241. 6文獻(xiàn)標(biāo)識碼A ( -0341-09F i ve d es li ear Schr d i n ger equa ti onXiu 2feng, CHE N Hui,

2、F AN De 2hui, ZHANG Chuan 2lin(Depart m ent of Mathe matics, J inan University, Guangzhou 510632, China AbstractFive kinds of difference for mats of nonlinear Schr dinger equati on have been p resented .The analysis of l ocal truncati on err or, stability and convergence of thesesche mes have been g

3、ained . Their truncati on err or and s peeds have als o been compared with nu merical experi m ents .Key wordsSchr inger equati on; nu merical stability; l ocal truncati on err or; re 2garding coefficients as const method薛定諤波動方程在量子力學(xué)中的地位, 就像牛頓三定律之于經(jīng)典力學(xué)、麥克斯韋方程之于電磁學(xué)一樣, 是最基本的方程, 奠定了近代量子力學(xué)的基礎(chǔ), 揭示了微觀世界中物

4、質(zhì)運(yùn)動的基1本規(guī)律. 薛定諤方程是一類非線性拋物型偏微分方程, 對于薛定諤波動方程的解析解, 尤其是定態(tài)薛定諤方程(即與時間無關(guān)的情況 量子力學(xué)中已經(jīng)有幾種比較經(jīng)典的解法. 本文給出了5種逼近非線性薛定諤方程的有限差分格式. 對它們的截斷誤差階進(jìn)行了分析和比較, 利2用“凍結(jié)”系數(shù)法分析了它們的穩(wěn)定性, 并設(shè)計(jì)數(shù)值實(shí)驗(yàn)對幾種差分格式的運(yùn)算速度和精度進(jìn)行了分析和比較.1非線性薛定諤方程的5種差分格式23薛定諤方程:i =2+2q 是非線性的拋物型偏微分方程, 為了構(gòu)造薛定諤方程的9t 9x收稿日期2005-09-19基金項(xiàng)目廣東省科技計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(004A1030300 與教育部歸國基金項(xiàng)目作者

5、簡介王秀鳳(1980- , 女, 碩士研究生, 研究方向:數(shù)值與應(yīng)用軟件. 通訊聯(lián)系人:張傳林2342暨南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版 2006年差分逼近, 首先用兩族平行直線x =x j =jh, j :Z, t =t n =n , n =0, 1, 2,剖分(x, t 空間中的上半平面, 在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)(jh, n 處分別用不同的差商近似薛定諤方程中的微商, 得到如下5種差分格式.(1 差分格式(a n +1n 2n 2q -q q n i =2+2j q jh(2 差分格式(b q n +1-q n2n +1n +q (q +=n j2hn +12jq jn(3 c i i q j q j1/2-q

6、 j /2-q j /2n=2n x q j2h =2+2jq jnn +1n +1/22n +1x q j2h2+2n +jq jn +1(4 差分格式(d i q jn +1-q jn -12n -1=2n x q j2h2+2jq jn(5 差分格式(e q -q q +12212n +1n -1n +1-q 22q -q +122n +1jn +1n -1=2n +12n 2n -1+2x q j x q j +x q j 24h2+22n +jq +jq +2n jn -jq jn -12薛定諤方程的5種差分格式的局部截斷誤差n +1n n 2. 1差分格式(a 中將q j 、q j

7、 -1、q j +1均在(x j , t n 處做泰勒展開,得到i q jn +1 -q jnn=i929xn jn jn+O (jx q jh22=2+O (h 2j22jq=2q j +02n所以此格式關(guān)于一階相容關(guān)于h 為二階相容的, 即其截斷誤差階為O (+h .n +1n -1n n n +1n +12. 2差分格式(b 中, 將q j 、q j 、q j -1、q j +1、q j -1、q j +1均在(x j , t n +1/2 處做泰勒展開, 得到q jn +1-q jn=i9n +1/2+O (j2第3期2n +1x q j王秀鳳, 等:非線性薛定諤方程的五種差分格式34

8、3h2=29x 29x22n +1j+O (h =229x 29x222n +1/2j+229x 33n +1/2j+O (2+h 2(1類似地可得2n x q jh2n +1j =+O (h =2n +1/2j-29x 2t+O (n +1/2+O (j2+h 2(2式(1 +式(2 得2n +1x q jh2+2nx q jh2=229x2jn n +1/22j+h 2又2n +jqn +1j+1j+q jn +1/2(22所以此格式關(guān)于、h , O (2+h . 2. 3(b , 即差分格式(c 是差分格式(b 的一個變形, , 所以差分格式(c 關(guān)于、h 均為二階相容的, 即其截斷誤差

9、階2為O (2+h n +1n -1n n2. 4差分格式(d 中, 將q j 、q j 、q j -1、q j +1均在(x j , t n 處做泰勒展開, 得到i q jn +1-q jn -122n x q j=29x2n jn+O (j22=2+O (h 2j22jqn j=2q j +02n所以此格式關(guān)于、h 均為二階相容的, 即其截斷誤差階為O (2+h . 2. 5差分格式(e 中, 將3層上的9個節(jié)點(diǎn)均在(x j , t n 處做泰勒展開, 有q j qn +1-q jn -12n +1j+1=nnn+O (j2,2-qn -1j+12q j-1-q j-1n +1n -1+O

10、 (j+1n, .(3 (42+O (j-12并且式(3 +式(4 得q j+1-q j+1 n +1n -1n j+1n=j n+29-2n+O (h j n2j-1j29+O (2+O (h j22+q j-1-q j-1n +1n -12=nj+1+n2j-1=n+O (h +O (j22,所以344n +1n -1n +1n -1暨南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版n +12006年q j+1-q j+1q j-1-q j-1q j +12212212-q jn -122=2nj+n+O (h +O (j22=那么q -q j+q jj+12212n +1n -1n +1n+O (h +O (j,

11、-q jn -12q j-q j-+1222nn +1n -1=229x 233nn+O (h +O (j 22.并且2n +1x q jh2 =29=222n +1j n -1+O (h =292+j n+ +h 22(5 (62n -1x q jh2jh 22n -1q 2j+O (j2式(5 +式 n +1q h2+h2=292n+O (j+h .2所以 2n +12n 2n -1 =+2x q j x q j +x q j 2(4h292n+O (j2+h .22+h .2可以得到此格式關(guān)于和h 為二階相容的, 即其截斷誤差階為O (3薛定諤方程的5種差分格式的穩(wěn)定性和收斂性薛定諤方程

12、是一類非線性拋物型偏微分方程, 非線性拋物型方程的差分格式的穩(wěn)定性研究是很復(fù)雜的, 一般可以采用局部線性化穩(wěn)定性分析方法. 將非線性差分格式中的系數(shù)加以“凍結(jié)”, 即當(dāng)作常數(shù), 然后用分析常系數(shù)差分格式穩(wěn)定性的方法進(jìn)行考察, 對于薛定諤方程,2 將q 前的系數(shù)看作常數(shù), 采用Fourier 方法來分析這幾種差分格式的穩(wěn)定性. 3. 1差分格式(a 的增長因子為2G (, =icos (h +i +2j-2rir >0,>0其中r =/h2因?yàn)樗訥 (, =+4r sin (h /2 +222nj>1顯然這種二層顯式差分格式不滿足von Neumann 條件, 是恒不穩(wěn)定的.

13、 由Lax -李榮華等價定理此格式也是不收斂的.n n i jh3. 2差分格式(b (C -N 格式 將j =l e 帶入C -N 格式中, 其增長因子為第3期王秀鳳, 等:非線性薛定諤方程的五種差分格式345G ( , =1+i 2 r sin (h /2 - 1-i 2r si m (h /2 -222 jn +j令m =2r sin (h /2 -22jn +j2因?yàn)槲覀冇谩皟鼋Y(jié)”系數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定性分析, 即把 看作常數(shù), 所以i 所以G (, 則1-m i1-m +2m =2=j2G (, von mann 條件, 所以此格式是絕對穩(wěn)定的(b 關(guān)于、h 都是二階相容的, 則由Lax -

14、. 3. 3( ,(d 中兩個式子的增長因子n +11+2r sin 2(h /2 - ljn ln=l1 -2r sin 2(h /2 -N +1/2ljn +從而得到差分格式(d 的增長因子為G (, =1 +2r sin (h /2 -1-2 r sin (h /2 -22jn +j顯然它是差分格式(c 的增長因子, G (, =1. 即此格式恒滿足von Neumann 條件, 所以此格式是絕對穩(wěn)定的. 又由上一部分的分析知差分格式(b 關(guān)于、h 都是二階相容的, 則由Lax -李榮華等價定理此格式也是收斂的. 3. 4差分格式(d (三層古典顯式差分格式 又可以寫為qn +1j=i(

15、qn j+1-2q +qn j n j-1+i2jq +p p n j n j n +1j =q 令=n j n jq j n n則原格式可寫為n +1j=i(n j +1+n j -1+i4+1ij2n 也滿足上述格式, j 則誤差200n n i jh將j =j e 代入上述格式, 得增長矩陣為-8r sin (h /2 +4G (, =i2j1346 暨南大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版 2006 年 由于 G ( 的特征值是 , 2 4 ( G ( = , qj n - 8 rsin (h / 2 2 i 2 (h / 2 - 4 ± 4 + 8 rsin 2 2 qj n i 2 2

16、 = 2 2 n 2 8 rsin (h / 2 - 4 qj n ×i ± 4 2 2 8 rsin (h / 2 - 4 qj 設(shè) m = 8 rsin (h / 2 - 4 2 2 qj n 所以 ( G ( = , mi± 4 - m 2 2 當(dāng) 4 - m 0 即 - 2 m 2 2 得到 2 ( G ( , 4 - m = 2 +m 2 2 2 =1 那么 , 當(dāng) - 2 m 2 即 - 2 8 rsin (h / 2 + 4 2 qj n 2 可以得到 2 8 rsin (h / 2 2 + 4 2 qj n 因?yàn)?2 m in 4 qj n =0

17、那么得到 0 < r 1 /4 所以當(dāng) 0 < r1 / 4 時 , 此格式是穩(wěn)定的 . 又當(dāng) 4 - m 0 時 , 此格式不穩(wěn)定 . 所以當(dāng) 0 < r1 / 4 時 , 差分格式 ( d 滿足 von Neum ann條件 , 是穩(wěn)定的 . 在前一部分已經(jīng)得到此格式關(guān)于 、 是 h 二階相容的 , 當(dāng) 0 < r1 / 4 時 , 則由 Lax - 李榮華等價定理此格式也是收斂的 . 3. 5 差分格式 ( e (三層隱式格式 又可以寫為 2 6 r n +1 12 12 r n n +1 n +1 n +1 n +1 n +1 n +1 n n n qj+1 +

18、 10 qj + qj- 1 qj+1 - 2 qj + qj- 1 = qj+1 - 2 qj + qj- 1 + q j pj i i i 2 24 i pj n +1 2 qj n qj + pj+1 + 10 pj + pj- 1 + n n n n n 6r i pj+1 - 2 pj + pj- 1 n n n + 12 i 2 pj n pj n = qj 令 第 3期 王秀鳳 ,等 : 非線性薛定諤方程的五種差分格式 347 n = j 則原格式可寫為 10 + 12 r i - qj pj n n 12 i 2 qj n +1 0 1 n +1 + j 2 n 1 0 6r

19、i 0 0 12 r i (j+1 +j- 1 = n +1 n +1 0 - 24 r i + 24 i 2 qj n 10 - 12 r i + 12 i pj n + j 1 + 6r i (j+1 +j- 1 n n 0 0 1 0 n n ih i 則誤差 也滿足上述格式 , 將 j = e 代入上述格式 , 得增長矩陣為 l G ( = , - 48 r 2 24 sin ( h / 2 + i i 2 i qj n 10 + 2cos ( h + 2 24 r 2 12 sin ( h / 2 + i i i 2 i pj qj n 24 r 2 12 10 + 2cos ( h

20、 + sin ( h / 2 1 i qj n +1 24 r 2 12 10 + 2cos ( h + sin ( h / 2 0 2 n +1 令 M = 24 r i 2 sin (h / 2 - 12 i 2 qj n N = 10 + 2co s (h n 因?yàn)槲覀冇谩?凍結(jié) ” 系數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定性分析 , 即把 q 看作常數(shù) , 所以 2 2 2 qj n +1 = qj n = pj n = qj n- 1 所以 i M G ( = , N + i - 2M M i M N + i N - - 2M = M +N i - M +N i M +N i 1 0 1 0 當(dāng) h 0 時

21、( G ( = , ( G ( , =1 即 此格式恒滿足 von Neum ann條件 , 所以此格式是絕對穩(wěn)定的 . 又由上一部分的分析知 差分格式 ( b 關(guān)于 是二階相容的 , 關(guān)于 h 為四階相容的 , 則由 Lax - 李榮華等價定理此格式也 是收斂的 . 4 數(shù)值實(shí)驗(yàn) 4. 1 取薛定諤方程的解析解為 q ( x, t = 2 e 其中 ( ( ( 取時間步長為 0. 01, 空間步長為 0. 2, 即 r = 0. 25 時 , 畫出由差分格式 ( b 、 c 、 d 、 e 得到 2 - i 2 x - 4 ( -2 t+ ( < 0 + / 2 ×sec h

22、 ( 2 x - 8 t - x0 , - < x < x0 = <0 = 0, = 1, = 0. 5 348 暨南大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版 4 2006 年 的解的絕對值與原方程的解析解的絕對值得誤差的絕對值的圖像 . 如圖 1 8 所示 . 當(dāng) r = 0. 275 時 , 得到圖 9. 4. 2 可以通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)得到 4 種差分格式的運(yùn)行時間 2 用 MATLAB 在 Pentium PC 上實(shí)現(xiàn) 4 種差分格式 ,當(dāng)時間步長為 0. 01, 空間步長為 0. 2 時 ,得到表 1 所示時間 . 圖 1 由差分格式 ( b得到的解的絕對值與解析解 的絕對值的誤差的絕對值

23、 圖 2 由差分格式 ( c 得到的解的絕對值與解析解 的絕對值的誤差的絕對值 圖 3 由差分格式 ( d 得到的解的絕對值與解析解 的絕對值的誤差的絕對值 圖 4 由差分格式 ( e得到的解的絕對值與解析解 的絕對值的誤差的絕對值 5 圖 從圖像上方看差分格式 ( b得到的解的絕 對值與解析解的絕對值的誤差的絕對值 6 圖 從圖像上方看差分格式 ( c 得到的解的絕 對值與解析解的絕對值的誤差的絕對值 7 圖 從圖像上方看差分格式 ( d得到的解的絕 對值與解析解的絕對值的誤差的絕對值 8 圖 從圖像上方看差分格式 ( e 得到的解的絕 對值與解析解的絕對值的誤差的絕對值 第 3期 王秀鳳

24、,等 : 非線性薛定諤方程的五種差分格式 表 1 四種差分格式所用時間對比 差分格式 差分格式 ( b 差分格式 ( c 差分格式 ( d 差分格式 ( e 運(yùn)行時間 / s 7. 40 2. 30 0. 80 15. 80 349 9 r = 0. 275 時 , 由差分格式 ( d 得到的解的絕 圖 對值與解析解的絕對值的誤差的絕對值 5 結(jié)論 ( ( 從數(shù)值實(shí)驗(yàn)可以看到 ,當(dāng)改變差分格式 ( b 、 c 、 e 的時間步長和空間步長時 ,它們的圖 ( ( 像仍然是解析解的圖像的很好的近似 ,所以差分格式 ( b 、 c 、 e 是絕對穩(wěn)定的 . 因此用“ 凍 結(jié)” 系數(shù)法來分析非線性偏微分方程的穩(wěn)定性是可行的 . 如果 r > 1 /4, 改變差分格式 ( d 的時 間步長和空間步長時 ,它的圖像顯然不是解析解圖像的一個很好的近似 ,這可以由圖 9 看出 , 所以正如我們在第 2 部分分析的結(jié)果 ,只有當(dāng) 0 < r1 /4 時差分格式 ( d 才是穩(wěn)定的 . 由圖 1 4 可知 ,在 4