連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

1、第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度內(nèi)容分布圖示 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì) 例1 例2 例3 均勻分布 例4 指數(shù)分布 例5 正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 例6 3s 準(zhǔn)則 例7 例8 例9 例10 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題2-4 返回內(nèi)容要點： 一、 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義 如果對隨機(jī)變量的分布函數(shù),存在非負(fù)可積函數(shù),使得對于任意實數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量, 稱為的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度或密度函數(shù).關(guān)于概率密度的說明1. 對一個連續(xù)型隨機(jī)變量,若已知其密度函數(shù),則根據(jù)定義,可求得其分布函數(shù), 同時, 還可求得的取值落在任意區(qū)間上的概率:2. 連續(xù)型隨機(jī)變

2、量取任一指定值的概率為0.3. 若在點處連續(xù), 則 (1) 二、常用連續(xù)型分布 均勻分布定義 若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為則稱在區(qū)間上服從均勻分布, 記為. 指數(shù)分布定義 若隨機(jī)變量的概率密度為則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布.簡記為 正態(tài)分布定義 若隨機(jī)變量的概率密度為其中和都是常數(shù), 則稱服從參數(shù)為和的正態(tài)分布. 記為注: 正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布, 在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣, 故又常稱為高斯分布.一般來說，一個隨機(jī)變量如果受到許多隨機(jī)因素的影響，而其中每一個因素都不起主導(dǎo)作用（作用微小），則它服從正態(tài)分布. 這是正態(tài)分布在實踐中得以廣泛應(yīng)用的原因. 例如, 產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo), 元件

3、的尺寸, 某地區(qū)成年男子的身高、體重, 測量誤差, 射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差, 信號噪聲、農(nóng)作物的產(chǎn)量等等, 都服從或近似服從正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布當(dāng)時稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 此時, 其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示: 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于, 任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理 設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用：（1）表中給出了時的數(shù)值, 當(dāng)時, 利用正態(tài)分布的對稱性, 易見有（2） 若則（3）若, 則 故的分布函數(shù)例題選講： 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度例1 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求其分布函數(shù).例2（講義例1）設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度例3（講義例2）設(shè)隨機(jī)變量X的分

4、布函數(shù)為求 (1) 概率; (2) X的密度函數(shù). 常用連續(xù)型分布 均勻分布例4 （講義例3）某公共汽車站從上午7時起, 每15分鐘來一班車, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等時刻有汽車到達(dá)此站, 如果乘客到達(dá)此站時間是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率. 指數(shù)分布例5（講義例4）某元件的壽命服從指數(shù)分布, 已知其平均壽命為1000小時，求3個這樣的元件使用1000小時, 至少已有一個損壞的概率. 正態(tài)分布例6（講義例5）設(shè), 求 例7 設(shè)某項競賽成績（65, 100），若按參賽人數(shù)的10%發(fā)獎，問獲獎分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少？例8（講義例6）將一溫度

5、調(diào)節(jié)器放置在內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在，液體的溫度（以計）是一個隨機(jī)變量，且 (1) 若 ，求小于89 的概率；(2) 若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問至少為多少？例9（講義例7）某企業(yè)準(zhǔn)備通過招聘考試招收300名職工,其中正式工280人, 臨時工20人; 報考的人數(shù)是1657人, 考試滿分是400分. 考試后得知, 考試總平均成績, 即分, 360分以上的高分考生31人. 某考生B得256分, 問他能否被錄取? 能否被聘為正式工? 例10（講義例8）服從正態(tài)分布(220，25)，試求：(1) 該電子元件損壞的概率;(2) 該電子元件損壞時，電源電壓在200240伏的概率.課堂練習(xí)1.已知，求(1) (2) ;(3) (4) 2.某種型號電