數(shù)學(xué)分析(西北師范大學(xué))3

1、SF01(數(shù))Ch3函數(shù)極限計劃課時:14時P21302001.09.02.Ch3函數(shù)極限§ 1 函數(shù)極限概念(4時)一.XT妙時函數(shù)的極限：1以xt+a時f(x)=和g(x)=arctgx為例引入.X介紹符號：XT8,XTq,XT00的意義，limf(x)=A的直觀意義定義 (f(x)=A,limf(x)=A和她f(x)=A.)XX-.X,.幾何意義介紹鄰域U(+R)=XXam,J(")=xx<M,U(g)=xx>M,其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.1馴證lim0.X,二X冗驗證xlimFctgX=3、2x2'x馴證網(wǎng)x2_2=2.

2、2x2+x八x+4x|/|x|+4X42|x|4_-2=_三_三_=X-2X-2|X-2IX|xXT刈時函數(shù)f(x)的極限:2x+1,x#2,由f(x)=考慮XT2時的極限引入0,x=2.定義函數(shù)極限的“名-6”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路例4驗證ximiC-C.例5驗證段x=x°.32驗證證 由x ¥ 3,x-3x3x-912lim2=x32x2-7x3532_22-x 3 122x -15x3-3x2+3x-912_(x2+3)(x-3)122x2-7x+35(2x-1)(x-3)5|5x9|x3|5x-9|x-352x-1|2x-1為使5x-9=5x-

3、15+6<5x-3+6<11,需有x-3<1;為使2x1|=|2x6+5至52x3>1,需有x-3<2.于是，倘限制0<x-3<1,就有x33x2+3x912|5x9x3w-2x2-7x+35一|2x-1<1).xO例7驗證lim41-x2=J1-x2,(X叱lim cosx = cosx0.)x x0例8驗證limsinx=sinx0.(類x-rx0三.單側(cè)極限：1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義：介紹半鄰域U+(a,6)=x0<xa<S,U_(a,S)=00(aa,a,Uxa,6)=(a,a+6),ja,5)=(a-6,a)

4、.然后介紹limJ(x)等的幾何意義.x應(yīng)例9驗證lim<1x1-x2 - 0一 X u.考慮使 <1 -x22.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系,2Thlimf(x)=A,：=f(x00)=f(x0-0)=A.XX0類似有：f(二)=A,=f(一二)=f(二)=A.x+x-2例10證明：極限lim不存在.x1x-1則有例11設(shè)函數(shù)f(x)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若limf(x)存在,limx內(nèi)f(x)=f (x。).EX1P6225,7.§2函數(shù)極限的性質(zhì)我們引進了六種極限：limf(x),limf(x),limf(x),limf(x),x1二xb-二xj二x)xof(x0+0),

5、f(x0-0).以下以極限limf(x)為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.xxo1 .函數(shù)極限的性質(zhì)：以下性質(zhì)均以定理形式給出.1 .唯一性：2 .局部有界性：3 .局部保號性：4 .單調(diào)性(不等式性質(zhì))：0Th4若limf(x)和limg(x)都存在，且存在點的空心鄰域(,"),使x>x)x躍00卡xWU(x0,6)都有f(x)<g(x),=xm0f(x)xing(x).證設(shè)limf(x)=A,limg(x)=B.(現(xiàn)證對卡名>0,有a<B+28.)xMxx00-0,0,-x(x0,),=A-；二f(x)mg(x)二B,二A二B2；.注:若在Th4的條件中,改

6、“f(x)<g(x)”為«f(x)<g(x)"，未必就有2A<B.以f(x)=1+x,g(x)三1,5=0舉例說明.5 .迫斂性(雙逼原理)：6 .四則運算性質(zhì)：(只證“+”和“")EX1P66672,4,5.2 .利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限:limC=C,limx=x0,limsinx=sinx0,limcosx=cosx0;x7x0xJx0x0xJx01lim一=0,limarctgx=±.(汪息刖四個極限中極限就是函數(shù)值)x”二xx三二2這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時，有五組基本極限作為公式用，參閱4P3

7、7-38.我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì)，把所求極限化為基本極限，代入基本極限的值，即計算得所求極限.lim (xtgx -1).(利用極限 x V22lim sin x = sin = 和 lim cos x =ji x 9JT x 9例 2 lim - -3.X x 1 x 1(-1 )3. 5x -3x 7lim ；7x一. ：3x3 2x2 5:關(guān)于的有理分式當(dāng)xT 8時的極限.參閱4P37.利用公式 an 1 = (a1)(an/+ani + +a + 1).x7 -1 lim -70- x 1 x 1例5例63x 52 -2x 2

8、7x2 x - 25x4sin(2x2x-10)例7lims乙.3-2xHm1sl.4P58E30x1x-1lim'1"-1xQ1x_1例10x216-A,已知lim=B.求和x3x-3參I4P69.Ex1P66673,6;4P8283113,115,116,118.x2AxB補充題：已知lim2=B-7.求和X同x-4(A20T)§3函數(shù)極限存在的條件本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個充要條件.仍以極限limx>X0f(x)為例.Heine歸并原則函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系:0Th1設(shè)函數(shù)在點的某空心鄰域U(%)內(nèi)有定義.則極限limf(x)存在,x)x00對任何xn

9、wU(x0)且xnTx°,limf(xn)都存在且相等.n%Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系，是證明極限不存在的有力工具.對單側(cè)極限，還可加強為xn單調(diào)趨于.參閱1P70.證明函數(shù)極限的雙逼原理1c證明limsin0.xTx1一證明limsin不存在.xTx.Cauchy準則:0Th2(Cauchy準則)設(shè)函數(shù)f(x)在點的某空心鄰域口(,5)內(nèi)有定義.則limf(x)x>x00在,uV8>0,第a0(6<6),X/x：x"wU(x0,6),二f(x)-f(x)：二；(利用Heine歸并原則)Cauchy準則的否定：limf(x)不存在

10、的充要條件.X_X01一，用Cauchy準則證明極限limsin一不存在.X0Xf (x)在設(shè)在a,+a)上函數(shù)f(x)、.則極限limf(x)存在，=X二二a , +°0)上有界.(簡證，留為作業(yè)).Ex1P72 1, 2, 3,4, 6.提示：第1題用反證法，第4題用Heine歸并原則.兩個重要極限s i nx ( l i m=1.X0limXsin xX(同理有 lim= 1,X 0 sin xl i mnsin_j：1,n- =1.)n1 -cosx2Xsin 5x. sin 3xarcsin x證明極限四sin x不存在.1丁 X1l i n(1 x)X = e.證 對nE

11、xcn+1,1111 :二 1 一 _ 1,Xn"+11/+一例6liMl+k，特別當(dāng)k=1,k=1等.xx2i例7lim(12x)x.x-0例8lim(1-3sinx)c5cx.x05-xf2x-3例9lim竺rI.xB12x+1JEX1P76771,2,4.注意：第4題直接用雙逼原理計算§5無窮小量與無窮大量階的比較一.無窮小量：定義.記法.例1判斷：可憐蟲是很小很可憐的蟲；（）無窮小量是很小很小的量.（）無窮小的性質(zhì)：性質(zhì)1（無窮小的和差）性質(zhì)2（無窮小與有界量的積）32例2lim-sin（n23n5）.n>:n1無窮小與極限的關(guān)系Th1limf(x)=A,二f

12、(x)-A=。(1),x>x0.xx0二.無窮小的階：設(shè)xTx0時f（x）=°（1）,g（x）=°（1）.參閱4P42.1. 高階（或低階）無窮?。?. 同階無窮小：二.等價無窮?。篢h2（等價關(guān)系的傳遞性）.等價無窮小在極限計算中的應(yīng)用：Th3（等價無窮小替換法則）參閱4P59.幾組常用等價無窮小：設(shè)xT0.以作為基本無窮小，有等價關(guān)系：4P4546的五組，再加上nT8時（或xT8時）的（或的）有理分式（分子次數(shù)小于分母次數(shù)）的等價無窮小.其中有些等價關(guān)系的證明以后陸續(xù)進行.3例3xt0時，無窮小vsinVx與(arctgJx)是否等價？21xarctgx-1例4l

13、im.x0(1-cosx)sin2x四.無窮大量：1 .定義：2 .性質(zhì)：性質(zhì)1同號無窮大的和是無窮大.性質(zhì)2無窮大與無窮大的積是無窮大.性質(zhì)3與無界量的關(guān)系.無窮大的階、等價關(guān)系以及應(yīng)用，可仿無窮小討論，有平行的結(jié)果.3 .無窮小與無窮大的關(guān)系：無窮大的倒數(shù)是無窮小，非零無窮小的倒數(shù)是無窮大.EX1P841-5,9;4P778236,37,38,6972,84，89,90,96,98,99,101103.(單選題、填空題可以只寫出答案)習(xí)題課例1設(shè)數(shù)集無界.試證明：存在數(shù)列uS,使xnT嗎(nT笛).例2設(shè)為定義在a,+笛)上的遞增函數(shù).證明：極PMlimf(x)存在的X)二充要條件是函數(shù)在

14、a,+g)上有上界.例3證明：對Vx0e0,1,limR(x)=0.其中R(x)是Riemann函數(shù).XX0例4設(shè)函數(shù)定義在(0,十叫內(nèi)，且滿足條件i>limf(x)=f(1),X1ii>對Vx>0,有f(x)=f(x2).試證明是(0,+a)內(nèi)的常值函數(shù).一，111111例5求極限limx注意x=x.(一)|=1x(),()有界X0XXXXXX小.2-X2c例6limaxb=0.求和.T1+X)解法2 -x2 ax1 x,、2解法-2 -X2一X X2=0, a = -1；2 -x21 x又-a = b,= b = 1.ax-b = xf 2 x2x - X72、x + Xb2 -0 ,即 a = lim | xr X Xx)由XTg且原式極限存在,-1, b -lim：i x=1.例 7 f (X)=1 xln(1 - 2x2) -1 (ex -1)(1 -cos2x)2n . n 3xn =-7.求 lim f(xn).3n2 2n -5 n 二注意nT8時，Xn t 0且Xn 00.先求叫f (x),由Heine歸并原則即求得所求極限li