數(shù)學(xué)分析試題及答案解析

1、精品2014-2015學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2»A試卷學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位）姓名題號(hào)一二三四五六七八總分核分人得分.判斷題（每小題3分，共21分）（正確者后面括號(hào)內(nèi)打?qū)矗駝t打叉）1 .若fx在a,b連續(xù)，則fx在a,b上的不定積分fxdx可表為xftdtC（）.a2 .若fx,gx為連續(xù)函數(shù)，則fxgxdxfxdxgxdx（）.3 .若fxdx絕對(duì)收斂，gxdx條件收斂，則fxgxdx必aaa然條件收斂（）.4 .若fxdx收斂，則必有級(jí)數(shù)fn收斂（）n15 .若fn與gn均在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則fngn也在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂（）.6 .若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)an條件收斂，則一定可以經(jīng)

2、過(guò)適當(dāng)?shù)闹嘏攀蛊浒l(fā)散n1于正無(wú)窮大（）.7 .任何幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上存在任意階導(dǎo)數(shù)，并且逐項(xiàng)求導(dǎo)后得到的新幕級(jí)數(shù)收斂半徑與收斂域與原幕級(jí)數(shù)相同（）.二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）a1 .若fx在a,b上可積，則下限函數(shù)£乂乂在2巾上（）xA.不連續(xù)B.連續(xù)C.可微D.不能確定2 .若gx在a,b上可積，而fx在a,b上僅有有限個(gè)點(diǎn)處與gx不相等，則（）A. fx在a,b上一定不可積；bbB. fx在a,b上一定可積，但是fxdxgxdx;aaC. fx在a,b上一定可積，并且fxdxgxdx;aa、D. fx在a,b上的可積性不能確定n13.級(jí)數(shù)1n-2n感謝下載載A.發(fā)散

3、B.絕對(duì)收斂C.條件收斂D.不確定4 .設(shè)Un為任一項(xiàng)級(jí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. 若limUn0,則級(jí)數(shù)un一定收斂；nB. 若lim1,則級(jí)數(shù)Un一定收斂；nUunC. 若N,當(dāng)nN時(shí)有"J1,則級(jí)數(shù)Un一定收斂;D. 若N,當(dāng)nN時(shí)有juX1,則級(jí)數(shù)Un一定發(fā)散;5 .關(guān)于幕級(jí)數(shù)anxn的說(shuō)法正確的是（）A. anxn在收斂區(qū)間上各點(diǎn)是絕對(duì)收斂的；B. anxn在收斂域上各點(diǎn)是絕對(duì)收斂的；C. anxn的和函數(shù)在收斂域上各點(diǎn)存在各階導(dǎo)數(shù)；D. anxn在收斂域上是絕對(duì)并且一致收斂的；三.計(jì)算與求值（每小題5分，共10分）.11.limnn1n2nnnn.2.Insinx2-

4、dxcosx四.判斷斂散性（每小題5分，共15分）1.3x1-xdx2n五.判別在數(shù)集D上的一致收斂性（每小題5分，共10分）sinnx1. fnx,n1,2,D,n22. 二D,22,x六.已知一圓柱體的的半徑為R,經(jīng)過(guò)圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面300角向斜上方切割，求從圓柱體上切下的這塊立體的體積。（本題滿10分）七.將一等腰三角形鐵板倒立豎直置于水中（即底邊在上），且上底邊距水表面距離為10米，已知三角形底邊長(zhǎng)為20米，高為10米，求該三角形鐵板所受的靜壓力。（本題滿分10分）八.證明：函數(shù)fxcosnx-一在n上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)（本題滿分9分）2014-2015學(xué)年度第二學(xué)期

5、數(shù)學(xué)分析2B卷？答案學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位）姓名題號(hào)一二三四五六七八總分核分人得分、判斷題（每小題3分，共21分，正確者括號(hào)內(nèi)打?qū)矗駝t打叉）1.?2.?3.?4.?5.?6.?7.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1.B;2.C;3.A;4.D;5.B.求值與計(jì)算題（每小題5分，共10分）1ndx2x e13x1.lim=n032xsinx解：由于0.x3 sin2x edx130dxlim 3xndxn 01lim 3n 032x sin x2x edx 02.設(shè) f sin2 xx，求sin xfx fJ xfx dx11八lim0nn134故由數(shù)列極限的迫斂性得:解：令x-2.xsin

6、t22.fxdx=fsintdsint.1x.1sinln nn 2 ln ntsintt2sintcostdtcostsinttsintdt4分=2tcost2sintC2.1xarcsin.x2,x四.判別斂散性（每小題5分，共10分）1.1 arctan x. dx解:12 arctan x arctan x x2rm0、1 x4.2由柯西判別法知,瑕積分1理誓dx收斂0 .1 x22.解:limlnnnn0N,當(dāng)nn0時(shí)lnn從而當(dāng)nn0lnnlnn由比較判別法一二收斂5n2lnn分五.判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題5分，共15分）1.fnx、，x口，n1,2,D0,n解：極限函

7、數(shù)為f x lim fn x nP rrI 1 L又 fn x f x Jx r Jx * n2xxD2分,1/n213分x12x"n0supfnxfx一xdn從而limsupfnf0n故知該函數(shù)列在D上一致收斂.52.2nsin3,D1,13n.x2n斛：因當(dāng)xD時(shí)，unx2sin一23n3n一2而正項(xiàng)級(jí)數(shù)2收斂，43分由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知，該函數(shù)列在D上一致收斂.53.解：易知，級(jí)數(shù)1n的部分和序列Sn一致有界，-2分一，1而對(duì)xD,Vnx-是單調(diào)的，又由于xn4 分11xD,Vnx-0nxnn所以VnX2在D上一致收斂于0,xn從而由狄利克雷判別法可知，該級(jí)數(shù)在D上一致收斂。-5分

8、六.設(shè)平面區(qū)域D是由圓x2y22,拋物線yx2及x軸所圍第一象限部分,求由D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積（本題滿分10分）222解：解方程組xy22得圓x2y22與拋物線yx2在第一象限yx的交點(diǎn)坐標(biāo)為：1,1,分則所求旋轉(zhuǎn)體得體積為：1 21V02ydy0ydy7=7一610分7 .現(xiàn)有一直徑與高均為10米的圓柱形鐵桶（厚度忽略不計(jì)），內(nèi)中盛滿水，求從中將水抽出需要做多少功？（本題滿分10分）解：以圓柱上頂面圓圓心為原點(diǎn)，豎直向下方向?yàn)閤軸正向建立直角坐標(biāo)系則分析可知做功微元為：dW52xdx25xdx5分故 所 求 為：8分=1250=12250（千焦）W 2151010xdx08

9、.設(shè)unxn1,2是a,b上的單調(diào)函數(shù)，證明：若una與unb都絕對(duì)收斂，則unx在a,b上絕對(duì)且一致收斂.（本題滿分9分）證明：unxn1,2是a,b上的單調(diào)函數(shù)，所以有unx|una|unb4分又由una與unb都絕對(duì)收斂，所以u(píng)naunb收斂，7分由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知：unx在a,b上絕對(duì)且一致收斂.2013-2014學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2»A試卷學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位）姓名題號(hào)一二三四五六七總分核分人得分.判斷題（每小題2分，共16分）（正確者后面括號(hào)內(nèi)打?qū)?，否則打叉）1 .若f（x）在a,b上可導(dǎo),則f（x）在a,b上可積.（）2 .若函數(shù)f（x）在a,b上有無(wú)窮多個(gè)間斷點(diǎn)，

10、則f（x）在a,b上必不可積。（）3 .若f（x）dx與g（x）dx均收斂，則f（x）g（x）dx一定條件收aaa斂。（）4 .若fnx在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則fnx在區(qū)間I處處收斂（）a5 .若an為正項(xiàng)級(jí)數(shù)（烝0）,且當(dāng)nn0時(shí)有：1,則級(jí)數(shù)n1anan必發(fā)散。（）n16 .若fx以2為周期，且在，上可積，則的傅里葉系數(shù)為:1 2anofxcosnxdx（）7 .若ans，則anan12sa1（）n1n18 .幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上一定內(nèi)閉一致收斂。（）二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共18分）1 .下列廣義積分中，收斂的積分是（）A11dxB0.x1TXdxC0sinxdx2.級(jí)數(shù)an收斂是

11、n1an部分和有界的A必要條件B充分條件充分必要條件關(guān)條件3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)un收斂的充要條件是A.limun0nB.數(shù)列un單調(diào)有界C.部分和數(shù)列Sn有上界D.nn1limun4.設(shè)limnan1ana則幕級(jí)數(shù)bnanX1的收斂半徑R二(1A.aB.abC.11bD.1a5.下列命題正確的是(Aan(x)在a,b絕對(duì)收斂必一致收斂n1Ban(x)在a,b一致收斂必絕對(duì)收斂n1C若lim|an(x)0,則an(x)在a,b必絕對(duì)收斂nn1Dan(x)在a,b條件收斂必收斂n11,1上6.1. 幕級(jí)數(shù)anxn的收斂域?yàn)?,1,則幕級(jí)數(shù)anxn在A.一致收斂B.絕對(duì)收斂C.連續(xù)D.可導(dǎo)三.求值或計(jì)算（每

12、題4分，共16分）1. xx1lnxdx；2. -1dxsinxcosx-lx.3 .xxe1dx.14 .設(shè)fx在0,1上連續(xù)，求“m丁nxdx四.（16分）判別下列反常積分和級(jí)數(shù)的斂散性1.dx132x43x232.-dx1xln(1x)4._n一en!五、判別函數(shù)序列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在所給范圍上的一致收斂性（每題5分,共10分）1.fn(x)x2n4,n1,2,;x(,)22 ( 1)n 1.onnn 13 X;x D , 0.50.5,六.應(yīng)用題型（14分）1.一容器的內(nèi)表面為由yx2繞y軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)拋物面，其內(nèi)現(xiàn)有水（m3）,若再加水7（m3）,問(wèn)水位升高了多少米？軸旋轉(zhuǎn)得的a.2

13、.把由yex,x軸，y軸和直線x0所圍平面圖形繞x1一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體的體積V,并求酒足條件Va-limV2七.證明題型(10分)已知fx與gx均在a,b上連續(xù)，且在a,b上恒有fxfx不包等于gx,證明：bbf(x)dxg(x)dxaa2013-2014學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2»B試卷學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位）姓名1.對(duì)任何可導(dǎo)函數(shù)f x而言，f xdxf x C成立。（2.若函數(shù)f x在a, b上連續(xù)，則F x 原函數(shù)。（）ft dt必為f x在a,b上的3.若級(jí)數(shù) an 1n收斂，必有l(wèi)im nan 0。x題號(hào)一二三四五六七總分核分人得分、判斷題（每小題2分，共18分，正確者括號(hào)

14、內(nèi)打?qū)?，否則打叉）4 .若lim叫an|1,則級(jí)數(shù)an發(fā)散.n1rdn15 .若幕級(jí)數(shù)anxn在x2處收斂，則其在-2,2上一致收斂.（）n16 .如果fx在以a,b為端點(diǎn)的閉區(qū)間上可積，則必有f n同斂散.（）n 1b , 貝 f x dx與afxdxa7 .設(shè)fx在1,8 .設(shè)fx在a,bb.，fxdx.（a上有定義，則任子區(qū)間可積，fxdx與級(jí)數(shù)1b為fx的暇點(diǎn),9.設(shè) fn x 在 Da,x0x0,b上一致收斂，且limfnxannNxx0存在，則 lim lim fn xn x xo二.單項(xiàng)選擇題(每小題lim lim fn x .x x0 n3分，共15分)1.函數(shù)f(x)在a,

15、b上可積的必要條件是(A連續(xù) B 有界2.下列說(shuō)法正確的是(C 無(wú)間斷點(diǎn) D有原函數(shù)A.an(x) a x B.n 1bbC.an(x)dx a(x)dxn 1n 14. 級(jí)數(shù)12nn 1 nA.發(fā)散B.絕對(duì)收斂 C.A. an和bn收斂，anbn也收斂n1n1n1B. an和bn發(fā)散，(anbn)發(fā)散n1n1n1C. an收斂和bn發(fā)散，(anbn)發(fā)散n1n1n1D. an收斂和bn發(fā)散，anbn發(fā)散n1n1n13.an(x)在a,b收斂于a(x),且an(x)可導(dǎo)，則(n1a(x)可導(dǎo)D.an(x)一致收斂，則a(x)必連續(xù)n1條件收斂D.不確定5.幕級(jí)數(shù)n2nn,0r7xn的收斂域?yàn)?

16、0.5,0.5 D. 0.5,0.5三.求值與計(jì)算題（每小題4分，共16分）1.sin xcosx2 sin2 xdxA.(-0.5Q.5)B.-0.5,0.5C.2. dxxvx21-1°3. limnnn1nn1nnb4. 2xabdxa四.判別斂散性（每小題4分，共16分）1.1xarctanxx.dxi2.01x3.4.cos1五.判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題5分，共10分）1.fnX1(n1)x00x1/(n1)1/(n1)x1n1,2,0,12.n1(x2,n)n六.應(yīng)用題型（16分）1.試求由曲線yx2及曲線y2x2所平面圖形的面積2.將1*sxdx表達(dá)為級(jí)數(shù)形

17、式，并確定前多少項(xiàng)的和作為其近似，可0x2使之誤差不超過(guò)十萬(wàn)分之一.七.(9分)證明：若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)unx滿足:(i) x D, un(x) an n 1,2;(ii) 為收斂.則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)unx在D上一致收斂.014-2015學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2»A卷？答案判斷題（每小題3分，共21分）1.?2.?3.?4.?5.?6.?7.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）B,C,C,D,A三.計(jì)算與求值（每小題5分，共10分）1.解：原式=limn111-1n.nnnlimexpIn1-2nk1nnnk1explimln1-nk1nn32.原式二lnsinxdtanx2lnsinxtanxt

18、anxcotxdx4=lnsinxtanxxC5分四.判斷斂散性（每小題5分，共15分）323x1oc八1.limx尸丁32分x1xxexp 1 ln xdx =4e 5且p3132由柯西判別法知,3%01dx收斂。01xx22.由比式判別法an1limnanlimn該-51!n1n1n!n級(jí)limn11/n14分3.解：由萊布尼茲判別法知,交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂2n1Tn知其單調(diào)且有界,五.1.解：極限函數(shù)為limfnxnUnxlimsun2.2nnx解2nn故知級(jí)數(shù)收斂.fnxfxsinnx分該函數(shù)列在D上一致收斂.2n2n正項(xiàng)級(jí)數(shù)2會(huì)收斂'由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知，該函數(shù)列在D上一致收斂.300六

19、.已知一圓柱體的的半徑為R,由圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面角向斜上方切割，求所切下這塊立體的體積。（本題滿分10分）R-.32VR2R6dx分=293R310的方程為103分壓力微元為：dF 2 10 x 10 x2 .dx 2 100 x dx故所求為x2 dx1021000713066.67千牛 10分八.證明：un x又un xcos ncosnxnx n 1,241后-3而3 n學(xué)一項(xiàng)在1收斂3 n3 n1333.33 噸上連續(xù),所以cosnx在3n3分故由定理結(jié)論知cosnx-fx在3n5分再者Unx|色詈而2收斂nnn所以u(píng)nx在上一致收斂，結(jié)合Unx在上的連續(xù)性可知fx9cos

20、nx3n分上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)2014-2015學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2»B試卷學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)(后兩位)姓名題號(hào)一二三四五六七八總分核分人得分、判斷題(每小題3分，共21分，正確者括號(hào)內(nèi)打?qū)?，否則打叉)1 .若fx為偶函數(shù)，則fxdx必為奇函數(shù)().x2 .ysgnx為符號(hào)函數(shù)，則上限函數(shù)y=sgntdt在，上連續(xù)a().3 .若fxdx收斂，必有l(wèi)imfx0().ax4 .若fn在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則fn在區(qū)間I上處處收斂().5 .若un(x)在a,b上內(nèi)閉一致收斂，則un(x)在a,b上一致收斂n1n1().6 .若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)an絕對(duì)收斂，則經(jīng)過(guò)任意重拍后得到的新級(jí)數(shù)仍然絕對(duì)n1收斂，并且其和不變().7 .若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)在a,b上的某點(diǎn)收斂，且un(x)在a,b上一致收斂，則Un(x)也在a,b上一致收斂().二.單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分)1 .函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在a,a上可積，則()aaaAaf(x)dx20f(x)dxBaf(x)dx0aaaCaf(x)dx20f