數(shù)學(xué)建模案例分析灰色系統(tǒng)方法建模1灰色關(guān)聯(lián)度與優(yōu)勢(shì)分析

1、第九章灰色系統(tǒng)方法建?？陀^世界的很多實(shí)際問(wèn)題，其內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及特征并未被人們?nèi)苛私?，人們不可能象研究白箱?wèn)題那樣將其內(nèi)部機(jī)理研究清楚，只能依據(jù)某種思維邏輯與推斷來(lái)構(gòu)造模型。對(duì)這類部分信息已知而部分信息未知的系統(tǒng)，我們稱之為灰色系統(tǒng)。本章介紹的方法是從灰色系統(tǒng)的本征灰色出發(fā)，研究在信息大量缺乏或紊亂的情況下，如何對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析和解決。§1灰色關(guān)聯(lián)度與優(yōu)勢(shì)分析大千世界里的客觀事物往往現(xiàn)象復(fù)雜，因素繁多。我們經(jīng)常要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行因素分析，這些因素中哪些對(duì)系統(tǒng)來(lái)講是主要的，哪些是次要的，哪些需要發(fā)展，哪些需要抑制，哪些是潛在的，哪些是明顯的。一般來(lái)講，這些都是我們極為關(guān)心的問(wèn)題。事實(shí)

2、上，因素間關(guān)聯(lián)性如何、關(guān)聯(lián)程度如何量化等問(wèn)題是系統(tǒng)分析的關(guān)鍵。例如人們關(guān)心的人口問(wèn)題構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)，影響人口發(fā)展變化的因素有社會(huì)方面的諸如計(jì)劃生育、社會(huì)治安、社會(huì)生活方式等；有經(jīng)濟(jì)方面的諸如國(guó)民收入、社會(huì)福利、社會(huì)保險(xiǎn)等；還有醫(yī)療方面的諸如醫(yī)療條件、醫(yī)療水平等也就是說(shuō)，人口是多種因素互相關(guān)聯(lián)、互相制約的系統(tǒng)，對(duì)這些因素進(jìn)行分析將有助于人們對(duì)人口的未來(lái)預(yù)測(cè)及人口控制工作。因素分析的基本方法過(guò)去主要是采用回歸分析等辦法，但回歸分析的辦法有很多欠缺，如要求大量數(shù)據(jù)、計(jì)算量大以及可能出現(xiàn)反常情況等。為克服以上弊病，本節(jié)采用灰色關(guān)聯(lián)度分析的辦法來(lái)做系統(tǒng)分析。一、灰色關(guān)聯(lián)度選取參考數(shù)列X。=X0(k)k=1

3、,2,n=(Xo(1),Xo(2),Xo(n)其中表示時(shí)刻。假設(shè)有個(gè)比較數(shù)列Xi=Xi(k)k=1,2,n=(Xi(1),Xi(2),Xi(n)i=1,2,m則稱minminX0(k)-Xi(k)|+PmaxmaxX0(k)-Xi(k)r/iikik/-i(k)=iiii(1X0(k)-Xi(k)|:iimaxmaxX0(k)-Xi(k)為比較數(shù)列對(duì)參考數(shù)列在時(shí)刻的關(guān)聯(lián)系數(shù)，其中Pw0,)為分辨系數(shù)。一般來(lái)講，分辨系數(shù)Pw0,1,由(1)容易看出，越大，分辯率越大；越小，分辯率越小。式(1)定義的關(guān)聯(lián)系數(shù)是描述比較數(shù)列與參考數(shù)列在某時(shí)刻關(guān)聯(lián)程度的一種指標(biāo)，由于各個(gè)時(shí)刻都有一個(gè)關(guān)聯(lián)系數(shù)，因此信息

4、顯得過(guò)于分散，不便于比較，為此我們給出1.n.二一i(k)nkd為比較數(shù)列對(duì)參考數(shù)列的關(guān)聯(lián)度。由式(2)容易看出，關(guān)聯(lián)度是把各個(gè)時(shí)刻的關(guān)聯(lián)系數(shù)集中為一個(gè)平均值，即把過(guò)于分散的信息集中處理。利用關(guān)聯(lián)度這個(gè)概念，我們可以對(duì)各種問(wèn)題進(jìn)行因素分析。在利用(1)和(2)計(jì)算關(guān)聯(lián)度之前，我們還需要對(duì)各個(gè)數(shù)列做初始化處理。一般來(lái)講，實(shí)際問(wèn)題中的不同數(shù)列往往具有不同的量綱，而我們?cè)谟?jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)時(shí)，要求量綱要相同。因此要首先對(duì)各種數(shù)據(jù)進(jìn)行無(wú)量綱化。另外，為了易于比較，要求所有數(shù)列有公共的交點(diǎn)。為了解決上述兩個(gè)問(wèn)題，我們對(duì)給定數(shù)列進(jìn)行變換。給定數(shù)列X=(X(1),X(2),1X(n),稱X 1X(2)X I,&l

5、t; X(1)X(3)X(n)X(1), ,X(1)(3)為原始數(shù)列X=(X,X(2),，X(n)的初始化數(shù)歹U。、鉛球運(yùn)動(dòng)員專項(xiàng)成績(jī)的因素分析通過(guò)對(duì)某健將級(jí)女子鉛球運(yùn)動(dòng)員的跟蹤調(diào)查，獲得其19821986年每年最好成績(jī)及16項(xiàng)專項(xiàng)素質(zhì)和身體素質(zhì)的時(shí)間序列資料，見(jiàn)下表。指標(biāo)19821983198419851986鉛球?qū)ｍ?xiàng)成績(jī)013.6014.0114.5415.6415.694公斤前拋111.5013.0015.1515.3015.024公斤后拋213.7616.3616.9016.5617.304公斤原地312.2112.7013.9614.0413.46立定跳遠(yuǎn)42.482.492.562

6、.642.59高翻5858590100105抓舉65565758080臥推765707585903公斤前拋812.8015.3016.2416.4017.053公斤后拋915.3018.4018.7517.9519.303公斤原地1012.7114.5014.6615.8815.703公斤滑步1114.7815.5416.0316.8717.82立定三級(jí)跳遠(yuǎn)127.647.567.767.547.70全蹲13120125130140140挺舉14808590909530米起跑154"204"254"104"063"99100米1613"

7、;1013"4212"8512"7212"56我們對(duì)表中的16個(gè)數(shù)列進(jìn)行初始化處理。注意，對(duì)于前14個(gè)數(shù)列，隨著時(shí)間的增加，數(shù)值的增加意味著運(yùn)動(dòng)水平的進(jìn)步，而對(duì)后兩個(gè)數(shù)列來(lái)講，隨著時(shí)間的增加，數(shù)值(秒數(shù))的減少意味著運(yùn)動(dòng)水平的進(jìn)步。因此，在對(duì)數(shù)列15=(4"20,4"25,4"10,4"06,3"99)及數(shù)列16=(13"10,13"42,12"85,12"72,12"56)進(jìn)行初始化處理時(shí)，采用以下公式Xii =15,16'Xi(1)Xi(1)X

8、i(1)Xi(1)一1,<Xi(2)Xi(3)Xi(4)Xi(5)；依照問(wèn)題的要求，我們自然選取鉛球運(yùn)動(dòng)員專項(xiàng)成績(jī)作為參考數(shù)列，將上表中的各個(gè)數(shù)列的初始化數(shù)列代入(1)、(2),易計(jì)算出各數(shù)列的關(guān)聯(lián)度，如下表所示。123456780.5880.6330.8540.7760.8550.5020.6590.5829101112131415160.6830.6950.8950.7050.9330.8470.7450.726由上表易看出，影響鉛球運(yùn)動(dòng)員專項(xiàng)成績(jī)的前八項(xiàng)主要因素依次為全蹲、3公斤滑步、高翻、4公斤原地、挺舉、立定跳遠(yuǎn)、30米起跑、100米成績(jī)。因此，在訓(xùn)練中應(yīng)著重考慮安排這八項(xiàng)指標(biāo)

9、的練習(xí)。這樣可減少訓(xùn)練的盲目性，提高訓(xùn)練效果。應(yīng)該指出的是，公式(1)中的X0(k)-Xi(k)不能區(qū)別因素關(guān)聯(lián)是正關(guān)聯(lián)還是負(fù)關(guān)聯(lián),可采取下面辦法解決這個(gè)問(wèn)題。記nnnk二i八kXi(k)-xXi(k)xk1k1k4n貝U當(dāng)signnnOn 八 k2 -0 k)2/nk 4k 46個(gè)母因素、5個(gè)子因素為1：國(guó)民收入2：工業(yè)收入3：農(nóng)業(yè)收入4：商業(yè)收入5：交通收入6：建筑業(yè)收入,則和為負(fù)關(guān)聯(lián)。三、優(yōu)勢(shì)分析當(dāng)參考數(shù)列不止一個(gè)，被比較的因素也不止一個(gè)時(shí)，則需要進(jìn)行優(yōu)勢(shì)分析。假設(shè)有個(gè)參考因素，記為Yi,X,，Ym,再設(shè)有個(gè)比較數(shù)列，記為Xi,X2，Xn。顯然，每個(gè)參考數(shù)列對(duì)個(gè)比較數(shù)列有個(gè)關(guān)聯(lián)度，設(shè)表示

10、比較數(shù)列對(duì)參考數(shù)列的關(guān)聯(lián)度，可構(gòu)造關(guān)聯(lián)矩陣R=(rij)m>n。根據(jù)矩陣的各個(gè)元素的大小，可分析判斷出哪些因素起主要影響，哪些因素起次要影響。起主要影響的因素稱之為優(yōu)勢(shì)因素。再進(jìn)一步，當(dāng)某一列元素大于其他列元素時(shí)，稱此列所對(duì)應(yīng)的子因素為優(yōu)勢(shì)子因素；當(dāng)某一行元素均大于其他行元素時(shí)，稱此行所對(duì)應(yīng)的母元素為優(yōu)勢(shì)母元素。如果矩陣的某個(gè)元素達(dá)到最大，則此行所對(duì)應(yīng)的母元素被認(rèn)為是所有母子因素中影響最大的。卜面我們考慮一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。某地區(qū)有1：固定資產(chǎn)投資2：工業(yè)投資3：農(nóng)業(yè)投資4：科技投資5：交通投資其數(shù)據(jù)列于下表。197919801981198219831234308.58310295346367

11、195.4189.4187.2205222.724.62112.215.114.572025.623.329.230518.891922.323.527.661170174197216.4235.8257.5570.7476.880.789.85388.567085.3899.83103.4411.1913.2816.8218.922.854.034.264.345.065.78613.715.613.7711.9813.95根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，易計(jì)算出各個(gè)子因素對(duì)母因素的關(guān)聯(lián)度，從而得到關(guān)聯(lián)矩陣為0.8110.7700.6480.7430.920'0.6410.6240.5780.8090.680R=0.8390.8280.7200.5880.7350.5630.5520.5420.6160.5350.8190.7800.6490.7070.875從關(guān)聯(lián)矩陣可以看出©7950.8120.7140.5840.613,1、第4行元素幾乎最小，表明各種投資對(duì)商業(yè)收入影響不大，即商業(yè)是一個(gè)不太需要依賴外資而能自行發(fā)展的行業(yè)。從消耗投資上看，這是劣勢(shì)，但從少投資多收入的觀點(diǎn)看，這是優(yōu)勢(shì)；2、15=0.920最大，表明交通投資的多少對(duì)國(guó)民收入的影響最大；3、55=0.875僅次于15,表明交通收入主要取決于交通投資，這是很自然的；4、在第4列中24=0.809最大，表