數(shù)學(xué)建模迭代實驗報告

1、非線性迭代實驗報告一、實驗背景與實驗?zāi)康牡菙?shù)學(xué)研究中的一個非常重要的工具，通過函數(shù)或向量函數(shù)由初始結(jié)點生成迭代結(jié)點列，也可通過函數(shù)或向量函數(shù)由初值向量生成迭代數(shù)列或向量列。蛛網(wǎng)圖也是一個有用的數(shù)學(xué)工具，可以幫助理解通過一元函數(shù)由初值生成的迭代數(shù)列的斂散性，也幫助理解平衡點兩平面曲線交點的穩(wěn)定性。本實驗在Mathematica平臺上首先利用蛛網(wǎng)圖和迭代數(shù)列研究不動點的類型；其次通過蛛網(wǎng)圖和迭代數(shù)列研究Logistic映射，探索周期點的性質(zhì)、認(rèn)識混沌現(xiàn)象；第三通過迭代數(shù)列或向量列求解方程組而尋求有效的求解方法；最后，利用結(jié)點迭代探索分形的性質(zhì)。二、實驗材料2.1迭代序列與不動點給定實數(shù)域上光滑

2、的實值函數(shù)f(x)以及初值x0，定義數(shù)列xn1f(xn)，n0,1,2,2.2.1稱為f(X)的一個迭代序列。函數(shù)的迭代是數(shù)學(xué)研究中的一個非常重要的思想工具，利用迭代序列可以研究函數(shù)f(x)的不動點。對函數(shù)的迭代過程，我們可以用幾何圖象來直觀地顯示它“蜘蛛網(wǎng)”。運行以下Mathematica程序：Clearffx_:=(25*x-85)/(x+3);實驗時需改變函數(shù)Solvefx=x,x求出函數(shù)的不動點g1=Plotfx,x,-10,20,PlotStyle->RGBColor1,0,0,DisplayFunction->Identity;g2=Plotx,x,-10,10,Plo

3、tStyle->RGBColor0,1,0,DisplayFunction->Identity;x0=5.5;r=;r0=GraphicsRGBColor0,0,1,Linex0,0,x0,x0;Fori=1,i<=100,i+,r=Appendr,GraphicsRGBColor0,0,1,Linex0,x0,x0,fx0,fx0,fx0;x0=fx0;Showg1,g2,r,r0,PlotRange->-1,20,PlotRange控制圖形上下范圍DisplayFunction->$DisplayFunctionx0=x0;xi_:=fxi-1;定義序列t=T

4、ablexi,i,1,10/NListPlott散點圖觀察蜘蛛網(wǎng)通過改變初值，你能得出什么結(jié)論？如果只需迭代n次產(chǎn)生相應(yīng)的序列，用以下Mathematica程序：Iteratef_,x0_,n_Integer:=Modulet=,temp=x0,AppendTot,temp;Fori=1,i<=n,i+,temp=ftemp;AppendTot,temp;tfx_:=(x+2/x)/2;Iteratef,0.7,10設(shè)fx是一個定義在實數(shù)域上的實值函數(shù)，如果存在u使得fuu，則稱u為fx的不動點。我們用uu表示這件事。如果所有附近的點在選代過程中都趨向于某個不動點，則該不動點稱為吸引點，

5、有時也稱該不動點是穩(wěn)定的。如果所有附近的點在選代過程中都遠(yuǎn)離它而去，則該不動點稱為排斥點，有時也稱該不動點是不穩(wěn)定的。如果f(Ui)u2,f(u2)U3,，f(Uk)Ui且Uiuj,j1,2,k,則Ui,U2,Uk形成一個k循環(huán)，用u1u2uku1記這個事實。u1稱為一個k周期點，u1,u2,uk稱為一個周期軌道。顯然，不動點就是周期為1的周期點。類似于不動點，如果所有附近的點在迭代過程中都趨向于某個周期點，則該周期點稱為吸引點；如果所有附近的點在迭代過程中都遠(yuǎn)離它而去，則該周期點稱為排斥點。如果點u最終落于某個循環(huán)之中，則稱它是一個預(yù)周期點。例如，l是f(x)x21的預(yù)周期點。2.2Logi

6、stic映射與混沌從形如fxax1x的二次函數(shù)開始做迭代xk1fxkk0,1,2.2.2這里，a0,4是一個參數(shù)。對不同的a系統(tǒng)地觀察迭代2.2.2的行為。Mathematica程序：IterGeoa_,x0_:=Modulep1,p2,i,pointlist=,v=x0,fv=a*x0*(1-x0),p1=Plota*x*(1-x),x,x,0,1,DisplayFunction->Identity;AppendTopointlist,x0,0;Fori=1,i<20,i+,AppendTopointlist,v,fv;AppendTopointlist,fv,fv;v=fv;f

7、v=4*v*(1-v);p2=ListPlotpointlist,PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity;Showp1,p2,DisplayFunction->$DisplayFunctionIterGeo2.6,0.3將區(qū)間0，4以某個步長a離散化，對每個離散的a值做迭代2.2.2，忽略前50個迭代值，而把點a,x5i,a,X52,，a,%。顯示在坐標(biāo)平面上，最后形成的圖形稱為Feigenbaum圖。Mathematica程序：Clearf,a,x;fa_,x_:=a*x*(i-x);x0=0.5;r=;DoFori=i,i&l

8、t;=300,i+,x0=fa,x0;Ifi>i00,r=Appendr,a,x0,a,3.0,4.0,0.0i;ListPlotr從極限分支點之后，F(xiàn)eigenbaum圖顯得很雜亂，似乎沒有任何規(guī)律。實際上，對任何初始值做迭代都會得到同樣的結(jié)果。這就是所謂的混沌現(xiàn)象。迄今為止，混沌并沒有確切的數(shù)學(xué)定義，但它具有一些基本的特性，如對初值的敏感性以及某種無序性，由此產(chǎn)生類似于隨機(jī)的現(xiàn)象。所謂一個迭代對初值是敏感的意思是，無論兩個初值如何接近，在迭代過程中它們將漸漸分開。這是任何一個混沌系統(tǒng)都具有的特性之一，這種特性使得混沌系統(tǒng)會產(chǎn)生似乎是隨機(jī)的、沒有規(guī)律的現(xiàn)象。在Logistic映射中，取

9、a4，任取兩個初值使得它們之間的差的絕對值不超過0.1,運行以下程序，觀察結(jié)果后答復(fù)以下問題：在迭代過程中它們逐漸分開嗎？如果兩個初值之間的差的絕對值不超過0.01,0.001,結(jié)果會如何？由此得出，函數(shù)fx4x1x的迭代對初值是否敏感？其Mathematica程序：Sensitivityn_Integer,x01_,x02_:=Modulepilist=,i,temp1=x01,temp2=x02,Fori=1,i<=n,i+,temp1=4*temp1*(1-temp1);temp2=4*temp2*(1-temp2);AppendTopilist,i,temp2-temp1;Lis

10、tPlotpilist,PlotJoined->TrueSensitivity50,0.1,0.1001一個簡單的、確定的二次選代可以產(chǎn)生非常復(fù)雜的、看似隨機(jī)的行為。但是，混沌不等于隨機(jī)。實際上，在混沌區(qū)域之內(nèi)，蘊涵著許多有序的規(guī)律。這正驗證了哲學(xué)上的名言：有序中包含了無序，無序中包含著有序。其Mathematica程序：distribn_Integer,m_Integer,x0_:=Modulei,temp=x0,g1,f,k,c=Table0,i,m,Fori=1,in,i+,temp=4*temp*(1-temp);Iftemp1,cm+,cFloortemp*m+1+;fk_:=

11、GraphicsGrayLevel0.5,Rectanglek-0.5,0,k+0.5,ck;g1=Tablefk,k,1,m;Showg1,AxesTrue,PlotLabel->"x0=0.4"n=100;m=20;x0=0.4;distribn,m,x0另一個說明混沌不是隨機(jī)的事實是，混沌區(qū)域有許多有序的窗口。將這些窗口放大可以看到令人振奮的自相似現(xiàn)象，同時還有許多周期軌道。在Feigenbaum圖的右部，你應(yīng)當(dāng)能看到一個由三條曲線穿過的空白帶，它是一個周期為3的窗口”。你能找到其它窗口嗎？它們的周期是什么？窗口里有什么圖案？這些窗口跟上題的第二問中的k周期軌道

12、有什么關(guān)系？運行以下程序，聽一聽混沌的聲音PlayChaosn_Integer,x0_:=Modulet=,i,temp=x0,Fori=1,i<=n,i+,temp=4*temp*(1-temp);AppendTot,Floortemp*100;ListPlayt,PlayRange->0,100,SampleRate->5和函數(shù)fxax1x一樣有著混沌行為的函數(shù)還很多。其中較簡單的有帳篷函數(shù)”和鋸齒函數(shù)”。帳篷函數(shù)”Tx定義為2x0x0.5Tx22x0.5x1鋸齒函數(shù)”Sx定義為2x0x0.5Sx2x10.5x1容易驗證，帳篷函數(shù)和鋸齒函數(shù)有以下關(guān)系：TTxTSx0x1一

13、2x.一令hxsin,帳篷函數(shù)與fx4x1x有以下關(guān)系：fkhxhTkx2.3方程求根對于代數(shù)方程g(x)=0,其根可用以下程序求得Solveg(x)=0,x也可用以下程序求得gx_：=exprPlotRx,x,a,bFindRootg(x)=0,x,x0將方程g(x)0改寫為等價的方程xf(x),然后選取一初值利用(2.2.1)作迭代，迭代數(shù)列4收斂的極限就是方程g(x)0的解。即求方程g(x)0的根等價于求函數(shù)f(x)的不動點。注意：由g(x)0可得不同的等價的方程xf(x)。例如取g(x)x32x1,而f(x)可取為y1,2x_2,也可取為2r飛。2x2由于不動點分吸引型和排斥型，因此g

14、(x)0的根為f(x)的排斥不動點時，就不能通過迭代函數(shù)f(x)以及一個初值小利用(2.2.1)迭代求解，因為此時得到的數(shù)列4不收斂。這時需要新的方法，Newton切線法就是其中之一。其迭代數(shù)列Mathematics程序如下：Iteratef_,x0_,n_Integer:=Modulet=,temp=x0,AppendTot,temp;Fori=1,i<=n,i+,temp=Nx0-fx0/hx0;AppendTot,temp;tfx_:=xA3-2*x+1;hx_=Dtfx,x;Iteratef,4,10而要通過幾何直觀觀察，可由如下Mathematics程序?qū)崿F(xiàn)：Clearffx_

15、:=xA3-2*x+1;g1=Plotfx,x,2,5,PlotStyle->RGBColor1,0,0,DisplayFunction->Identity;x0=4;r=;hx_=Dtfx,x;Fori=1,i<=100,i+,Ifhx0w0,x1=N-xx0/hx0,20;r=Appendr,GraphicsRGBColor0,0,1,Linex0,0,x0,fx0,x1,0；x0=x1；Showg1,r,PlotRange->-20,20,DisplayFunction->$DisplayFunction用迭代法求解線性方程組的思想與方程求根的方法是類似的，

16、用迭代方法也可以求更加復(fù)雜的非線性方程組的解。由于非線性方程組可能有許多解甚至有無窮多個解，因此對它的求解比線性方程組的求解要面臨更多的挑戰(zhàn)。線性方程組xMxf由xn1Mx。fn0,1,2,給出迭代的Mathematica程序：LSIteratem_,f_List,f0_List,n_Integer:=Modulei,var=f0,t=Table,i,n,Fori=1,i<=n,i+,ti=var;var=m.var+f;tm=0.2,0.3,0.4,0.2;f=1,1;f0=0,0;LSIteratem,f,f0,202.4分形早在上世紀(jì)末及本世紀(jì)初，一些數(shù)學(xué)家就構(gòu)造出一些邊界形狀極不

17、光滑的圖形。由于這類圖形長期以來被視為不可名狀的”或病態(tài)的"，因而，只有當(dāng)人們需要反例時才想到它們。這類圖形的構(gòu)造方式都有一個共同的特點，即最終圖形F都是按照一定的規(guī)則R通過對初始圖形F不斷修改得到的。其中最具有代表性的圖形是Koch曲線，Koch曲線的構(gòu)造方式是：給定一條直線段匕圖2.2.1上左，將該直線三等分，并將中間的一段用以該線段為邊的等邊三角形的另外兩條邊替代，得到圖形稱Fi為生成元圖2.2.1上右。然后，再對圖形Fi中的每一小段都按上述方式修改圖2.2.1下左，以至無窮，則最后得到的極限曲線F1kmFk即是所謂的Koch曲線圖2.2.1下右。Koch曲線的生成電腦繪出Ko

18、ch曲線的Mathematica程序：redokochptlist_List:=Blocktmp=,i,pnum=Lengthptlist,Fori=1,i<pnum,i=i+1,tmp=Jointmp,ptlisti,ptlisti*2/3+ptlisti+1/3,(ptlisti+ptlisti+1)/2+ptlisti2-ptlisti+12,ptlisti+11ptlisti1*Sqrt3/6,ptlisti/3+ptlisti+1*2/3,ptlisti+1;tmpInkoOI=0,0,1,0;ShowGraphicsLineNestredokoch,Inko01,5,Aspe

19、ctRatio->Sprt3/6分形的基本特性完全由生成元決定，因此，給定一個生成元，就可以生成各種各樣的分形圖形。以下是幾個經(jīng)典的分形圖形及其生成Mathematica程序：電腦繪出Minkowski'香腸"的Mathematica程序:redominkowskiptIist_List:=Blocktmp=,tmp1,i,pnum=Lengthptlist,Fori=1,i<pnum,i=i+1,tmp1=ptlisti2-ptlisti+12,ptlisti+11-ptIisti1/4;tmp=Jointmp,ptlisti,ptIisti*3/4+ptlis

20、ti+1/4,ptIisti*3/4+ptlisti+1/4+tmp1,ptIisti/2+ptlisti+1/2+tmp1,ptIisti/2+ptlisti+1/2,ptIisti/2+ptlisti+1/2-tmp1,ptIisti/4+ptlisti+1*3/4-tmp1,ptIisti/4+ptlisti+1*3/4,ptlisti+1；tmpredomk1ptlist_list:=Blocktmp=ptlist12-ptlist22,ptlist21-ptlist11/4ptlist1,ptlist1*3/4+ptlist2/4,ptlist1*3/4+ptlist2/4+tmp,

21、ptlist1/2+ptlist2/2+tmp,ptlist1/2+ptlist2/2,ptlist1/2+ptlist2/2-tmp,ptlist1/4+ptlist2*3/4-mp,ptlist1/4+ptlist2*3/4,ptlist2redomk2ptlist_list:=Blocktmp=,i,pnum=Lengthptlist,Fori=1,i<pnum,i=i+1,tmp=Jointmp,redomk1ptlisti,ptlisti+1;tmpIn01=0,0,1,0;圖 2.2.3 Sierpinski 三角形ShowGraphicsLineNestredominkow

22、ski,In01,4,AspectRatio->1/GoldenRatio電腦繪出Sierpinski三角形的Mathematica程序：redosierpinskiptlist_List:=Blocktmp=,i,pnum=Lengthptlist/3,Fori=0,i<pnum,i=i+1,tmp=Jointmp,ptlist3i+1,(ptlist3i+1+ptlist3i+2)/2,(ptlist3i+1+ptlist3i+3)/2,(ptlist3i+1+ptlist3i+2)/2,ptlist3i+2,(ptlist3i+2+ptlist3i+3)/2,(ptlist3

23、i+1+ptlist3i+3)/2,(ptlist3i+2+ptlist3i+3)/2,ptlist3i+3;tmpshowsierpinskiptlist_List:=Blocktmp=,i,pnum=Lengthptlist/3,Fori=0,i<pnum,i=i+1AppendTotmp,Polygonptlist3*i+1,ptlist3*i+2,ptlist3*i+3;ShowGraphicstmp,AspectRatio->1/GoldenRatiopo1=-1,0,1,0,0,Sqrt3;showsierpinskiNestredosierpinski,po1,4電腦

24、繪出樹木花草的Mathematica如下：redotreeptlist_List:=Blocktmp=,i,ptnum=Lengthptlist/2,midptl,midpt2,leftpt,rightpt,Fori=0,i<ptnum,i=i+1,midpt1=(ptlist2i+1*2+ptlist2i+2)/3;midpt2=(ptlist2i+1+ptlist2i+2*2)/3;leftpt=midpt1+Costheta,-Sintheta,Sintheta,Costheta.ptlist2i+21-ptlist2i+11,ptlist2i+22-ptlist2i+12/3;r

25、ightpt=midpt2+Costheta,Sintheta,-Sintheta,Costheta.ptlist2i+21-ptlist2i+11,ptlist2i+22-ptlist2i+12/3;tmp=Jointmp,ptlist2i+1,midpt1,midpt1,leftpt,midpt1,midpt2,midpt2,rightpt,midpt2,ptlist2i+2;tmpshowtreeptlist_List:=Blocktmp=,i,ptnum=Lengthptlist/2,Fori=0,i<ptnum,i=i+1,AppendTotmp,Lineptlist2i+1,

26、ptlist2i+2;ShowGraphicstmp,AspectRatio->3/2/Sinthetatheta=30Degree;showtreeNestredotree,0,0,0,1,4其中，前兩種分形圖形的生成元比較簡單，但后三種分形圖形的生成元相比照較復(fù)雜。在龍曲線中，生成元將一直線段修改為由兩互相垂直的線段構(gòu)成的折線，但在決定向哪個方向折時存在兩種選擇假設(shè)線段都有確定的定向，即我們要決定折線是在線段的左邊還是在右邊。本生成元規(guī)定，折線方向?qū)γ織l線段依次交替地改變見圖2.2.4。對Hilbert曲線，雖然它的生成元十分復(fù)雜，但其原理與龍曲線類似。在圖2.2.5中，每個小線段的

27、左側(cè)或右側(cè)都畫了一根短線，它并不是分形圖形的組成部分，它表示在下一步迭代時，生成元應(yīng)位于短線指示的小正方形之內(nèi)。樹木花草的生成元有些特別，它具有所謂的分支結(jié)構(gòu)，其中有一些參數(shù)可以改變，如每段樹枝的長度以及樹枝之間的夾角。早在19世紀(jì)就有一些數(shù)學(xué)家對復(fù)變函數(shù)的迭代進(jìn)行研究。然而，直到20世紀(jì)80年代，B.Mandelbrot才將復(fù)變函數(shù)的迭代與分形聯(lián)系起來，并繪制出了第一張以他的名字命名的引人人勝的分形圖形，復(fù)變函數(shù)的迭代由此再一次成為數(shù)學(xué)家的熱點研究問題。給定初始復(fù)數(shù)Z0，考慮如下的迭代2Zk1Zkk0,1,2,(2.2.3)其中Zk,k0,1,2,為復(fù)數(shù)，為復(fù)常數(shù)。對于給定的初始點Zo迭代序

28、列Zk有可能有界，也可能發(fā)散到無窮。令J是使得迭代序列Zk有界的所有初值Z0構(gòu)成的集合，即2.2.4J=Z0|迭代序列Zk有界我們稱J在復(fù)平面上構(gòu)成的集合為Julia集。對不同的參數(shù)，Julia集的形狀也會不同。特別地，0對應(yīng)的Julia集為單位圓盤。如果固定初值Zo,則對不同的參數(shù)，迭代序列Zk的有界性也不相同。令Mzo是使得迭代序列Zk有界的所有參數(shù)值構(gòu)成的集合，即Mzo=|迭代序列Zk有界225則稱MZo在復(fù)平面上構(gòu)成的集合為Mandelbrot集。為了便于在電腦上繪制出Julia集與Mandelbrot集，我們令Zkxkiyk,piq,則(2.2.3)可改寫為22(2.2.6)xk1x

29、kykpko,1,yk12xkykq記rkxkyk,則Julia集為使得序列rk有界的初始點x,y構(gòu)成的集合，Mandelbrot集為使得序列rk有界的參數(shù)p,q構(gòu)成的集合。這兩種集合的電腦作圖方法如下：Julia集繪制方法。1設(shè)定初值p,q，一個最大的選代次數(shù)N，圖形的分辨率的大小a,b和使用的顏色數(shù)K如K16或者給定灰度級L；2設(shè)定一個上界值Mmax2,p2q;3將矩形區(qū)域R：x,y|Mx,yM分成ab的網(wǎng)格，分別以每個網(wǎng)格點fi,g2MiM,giMa2Mjb0,1,a,j0,1,b作為初值xo,yo利用（riter做迭代實際上，只需對滿足2yoM2的初始點選代。如果M2,則將圖形的i,j

30、象素點用黑色顯示。否則，如果從迭代的某一步no開始有xno2210M2,則用第n0modK種顏色顯示相應(yīng)象素或者用相應(yīng)的灰度級顯示。Mandelbrot集的繪制方法。1設(shè)定一個最大的選代次數(shù)N,圖形的分辨率的大小a,b在和使用的顏色數(shù)如K16或者給定灰度級L；2設(shè)定一個上界值將矩形區(qū)域R：p,qp,qM分成ab的網(wǎng)格，分別以每個網(wǎng)格點fi,gj2Migi2MjM-,ib0,1,a,j0,1,b為作為參數(shù)值p,q利用rriter做迭代實際上，只需對滿足4的初始點迭代，每次選代的初值均取為x0,y00,0。如果對所有n2ynm2,則將圖形的i,j點用黑色顯示。否則,如果從迭代的某一步no開始有2x

31、n.M2,則用第n0modK種顏色顯示相應(yīng)象素或者用相應(yīng)的灰度級顯示Mandelbrot集以及它的局部放大的Mathematica程序如下:iterx_,y_,lim_:=Blockc,z,ct,c=x+I*y;z=c;ct=0;While(Absz<2.0)&&(ct<lim),+ct;z=z*z+c;Returnct;Mandelbrot1=DensityPlotiterx,y,50,x,-2.0,1.0,y,-1.5,1.5,PlotPoints->120,Mesh->FalseMandelbrot2=ShowMandelbrot1,Graphic

32、sLine-0.9,-0.25,-0.7,-0.25,-0.7,-0.05,-0.9,-0.05,-0.9,-0.25Mandelbrot3=DensityPlotiterx,y,50,x,-0.9,-0.7,y,-0.25,-0.05,PlotPoints->120,Mesh->FalseJulia集圖形的Mathematica程序：juliax_,y_,lim_,cx_,cy_:=Blockz,ct=0,z=x+I*y;While(Absz<2.0)&&(ct<lim),+ct;z=z*z+(cx+I*cy);Returnct;julia1=Dens

33、ityPlotjuliax,y,50,0.27334,0.00742,x,-1.5,1.5,y,-1.5,1.5,PlotPoints->120,Mesh->Falsejulia2=Showjulia1,GraphicsLine-0.7,-0.1,-0.3,-0.1,-0.3,0.3,-0.7,0.3,-0.7,-0.1julia3=DensityPlotjuliax,y,50,0.27334,0.00742,x,-0.7,-0.4,y,-0.1,0.3,PlotPoints->120,Mesh->False給定一組仿射變換i11i11i12i12i1ii1,2,n1以

34、及相應(yīng)的一組概率Pi , p 2 ,Pn P1 P2Pn 1, P i 0，對于任意選取的初始值Zoxo,yo,以概率Pi選取變換i做迭代Xn1,yn1iXn,yn,i1,2,n則點列Zk, i 1 ,2 ,刀收斂的極IFS迭代繪制分形的方法。設(shè)電V X, y | XminX Xmax按分辨率大小的要求將V分成ax x imaX minX i X min,a y max y min j y i y min a用Vij表示矩形區(qū)域x,y |Xi x灰度的黑白圖象繪制，總共的迭代次艮圖形稱為一個IFS吸引子。癡屏幕的可視窗口為,yminyymaxb的網(wǎng)格，網(wǎng)格點為xi,yi,這里i0,1,a,j0

35、,1,bx11,yjyyj1。假設(shè)我們采取具有L如L=256級效為N,其中落Vij中的點的個數(shù)為ij。再記maxij,i0,1,a1,j0,1,b1,則象素i,j的灰度Gi,j與落于V中的點數(shù)成正比：Gi,jijL于是即給出了IFS迭代產(chǎn)生的分形的L級灰度圖象。Mathematica程序如下：pl=0.3;aaa=1/2+I1/N;f1z_:=(z+aaa)/2;p2=0.3;bbb=0/N;f2z_:=(Z+bbb)/2;p3=0.4;ccc=1/N;f3z_:=(z+ccc)/2;fz_:=Blocktmp,tmp=Random口；Whichtmp<p1,f1z,tmp<p1+

36、p2,f2z,True,f3z;Arraymu,150,150;ShowIFSz0_,MeshRange_List,divi_List,nmax_:=Blocki,j,z=z0,a=divi1,b=divi2,temp1,temp2,mumax=0,Fori=a,i>=1,i-,For產(chǎn)b,j>=1,j-,mui,j=0;Fori=nmax,i>=1,i-,temp1=Floordivi1*(Rez-MeshRange11)/(MeshRange21-MeshRange11)+1;temp2=Floordivi2*(Imz-MeshRange12)/(MeshRange22-

37、MeshRange12)+1;mutemp1,temp2+;z=fz;Fori=a,i>=1,i-,For產(chǎn)b,j>=1,j-,mumax=Maxmumax,mui,j;mul=TableGrayLevel1-Nmuj,i/mumax,i,a,j,b;ShowGraphicsRasterArraymu1ShowIFS0+I0,-0.1,-0.1,1.1,1.1,150,150,100000三、實驗方案3.1迭代序列與不動點25X85首先對函數(shù)y研究不動點，需要1.1 31對Plot中x,-10,20可改為x,-50,50;對PlotRange中-1,20可改為-50,50;2X0=

38、5.5中5.5分別改為-30,-20,-5,-3.001,-2.999,-1,0,1,1.5,2.5,4,4.5,4.9, 4.999,5,5.1,5.001,6,10,16,17,18,20,30;3對t=Tablexi,i,1,10/N中10分別改為100,200,500,1000;4對i<=100中100分別改為200,500,1000。運行程序后觀察蛛網(wǎng)圖與散點圖！一看數(shù)列是否收斂？如收斂，極限是多少？收斂速度是快是慢？二看蛛網(wǎng)圖中的軌道是否趨于平衡點？與平衡點處曲線的斜率有沒有關(guān)系？三看初值對結(jié)果有沒有影響？其次，分別就f(x)sinx,f(x)x1等函數(shù)利用2.2.1做迭代序

39、列凡,觀察蛛網(wǎng)圖中的軌道是否趨于平衡點和序列的收斂性。1.2 Logistic映射與混沌就Logistic映射，對a=0.5,1,1.2,2,2.1,2.9,2.999,3,3.001,3.2,3.235,3.236,3.237,3.44等,分別取x0=0,0.2,0.5,0.8,1.0運行程序，觀察結(jié)果。觀察結(jié)果就是看數(shù)列是否收斂，蛛網(wǎng)圖中的軌道是否趨于平衡點，與a的關(guān)系！對a的定義范圍0,4分成假設(shè)干個區(qū)間，就初值屬于0,1時看數(shù)列是否收斂，蛛網(wǎng)圖中的軌道是否趨于平衡點？可用散點圖認(rèn)識。對Logistic映射討論以下問題：1找出一個a值，它對應(yīng)的迭代具有2周期點。這種性質(zhì)依賴于初值嗎？你能

40、找到多個a值具有這種性質(zhì)嗎？2你能對任意的k找到一個a值，使得它對應(yīng)的迭代具有k周期點嗎？哪些k值能給出k周期點？在每種情況下，結(jié)果是否依賴于初值的選?。?如果某個a值能給出周期點，它是否一定是吸引的周期點？你能否找到排斥的周期點？4試著從理論上分析：fx的不動點是什么？對哪些a值迭代收斂到每個不動點？哪些初值收斂到不動點？哪些初值導(dǎo)致發(fā)散？對周期點做類似的分析。研究鋸齒函數(shù)和帳篷函數(shù)的混沌行為時，分別取x0=0,0.2,0.5,0.8,1.0運行程序(改變函數(shù)，要修改函數(shù)的定義方式)，研究數(shù)列及蛛網(wǎng)圖中的軌道。1.3 方程求根x312x1對于萬程x32x10,首先分別考慮函數(shù)，二，疝1,取不

41、同的初值x02x例如-9,-5,-2,-1,-0.5,0,0.5,1,2,8,10等，生成相應(yīng)的數(shù)列。假設(shè)數(shù)列有極限，則極限即為所求根。其次用牛頓切線法求根，取不同的初值x0仞如-9,-5,-2,-1,-0.5,0,0.5,1,2,8,10等，由此數(shù)列的極限即為所求根。思考：為何數(shù)列收斂？分析原因！此外，初值x0決定數(shù)列的極限嗎？最后考慮用其它方法求根。而對于sinx-x+1=0及其它方程求根，類同上述步驟。1.4 分形1、用Koch曲線的生成元做迭代得到的極限圖形稱為Koch雪花曲線。1試用電腦畫出Koch雪花曲線；2試計算雪花曲線的邊長及面積，它們是否有限？你如何解釋所得出的結(jié)論？3雪花曲

42、線是否光滑(即每一點是否有切線存在)？4其它的一些分形是否具有類似的性質(zhì)？2、編寫繪制Julia集的程序。對不同的參數(shù)p,q:0,1,-1,0，0.11,0.66，-0.10281,0.95723，-1.25,-0。01觀察Julia集的變化。取Julia集的不同局部放大，你能看到某種自相似現(xiàn)象嗎？繪制Mandelbrot集。然后，任意選取它的一個局部將其放大，然后再將放大圖形的不同局部放大。由此觀察Mandelbrot集與Julia集有何關(guān)系。進(jìn)一步，取參數(shù)位于Mandelbrot集的不同部位如內(nèi)部、外部、邊界、某個苞芽的內(nèi)部等，現(xiàn)察相應(yīng)的Julia集的形狀的變化。3、給定仿射變換iZsZ1

43、2ZsZ11以及相應(yīng)的概率rP2-,其中s,Z為復(fù)數(shù)取s0.50.5i,繪制相應(yīng)的IFS迭代的吸引子的圖形。取不同的s,觀察圖形的變化。4、請你概括一下分形的一般特征。5、二維迭代分形?？紤]函數(shù)f(x,y)ygnxjbxC與g(x,y)ax構(gòu)成的二維迭代分形稱為Martin迭代?，F(xiàn)觀察其當(dāng)a45,b2,c300時，取初值所得到的二維迭代散點圖。程序如下：a=45;b=2;c=-300;xn=0;yn=0;g=0,0;Forn=1,n<=5000,n+,xN=xn;yN=yn;xn=yN-SignxN*NSqrtAbsb*xn-c;yn=a-xN;g=Appendg,xn,yn;ListP

44、lotg,PlotStyle->RGBColor1,0,0,AspectRatio->Automatic問題：1試著提高迭代次數(shù)至20000,50000,100000等觀察圖形有什么變化。2取參數(shù)為其它的值時會得到什么圖形？三、實驗過程與結(jié)果3.1迭代序列與不動點實驗一：穩(wěn)定點為5、17圖像結(jié)果：結(jié)果分析：從圖像上可以觀察到，數(shù)列收斂于一個常數(shù)實驗二：對Plot中x,-10,20可改為x,-50,50;對PlotRange中-1,20可改為-50,50穩(wěn)定點為5、17圖像結(jié)果：4016結(jié)果分析：數(shù)列收斂到17,收斂速度慢，蛛網(wǎng)圖中的軌道趨于平衡點，與平衡點處曲線斜率有關(guān)。實驗三：x

45、0=5.5中5.5分別改為-30,-20,-5,-3.001,-2.999,-1,0,1,1.5,2.5,4,4.5,4.9,4.999,5,5.1,5.001,6,10,16,17,18,20,30;1)x0=5.52)x0=-302)-40-20-20-401817.817.617.417.251015203)x0=-2018.21817.817.617.417.21015204)x0=-14017.820-30-20-10.-2010-4017.617.417.216.816.616.451015205)x0=2.5-40-20-2018.5一1817.520401716.5-40510

46、15206)xo=317.84017.617.417.2-30-20-10-216.816.6-41015207)xo=4.54(18-40-208)x0=5.00117.540-20-4016.51015209)x0=1010)x0=20-30-2040.20.-10.10-20-17.1517.12517.1_L17.0752017.0517果分析；從對蛛網(wǎng)圖與散點圖的觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列收斂到17,收斂速度慢，蛛網(wǎng)圖中的軌道趨于平衡點，與平衡點處曲線的斜率逐漸相接近，初始值對結(jié)果沒影響。實驗四：Xt=Tablexi,i,1,10N中10分別改為100,200,500

47、,10001）改為1002)改為200結(jié)果分析：從對蛛網(wǎng)圖與散點圖觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列收斂，收斂速度很快，蛛網(wǎng)圖中的軌道趨于平衡點，初始值對結(jié)果沒有影響。實驗五：對i<=100中100分別改為200,500,1000。1)i<=20016.2516.516.751717.2517.516,12；-101.8;Litt51015202)i<=5003)i<=1000x5,x172016蛛網(wǎng)圖中的軌道趨于結(jié)果分析：從對蛛網(wǎng)圖與散點圖觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列收斂，收斂速度很快，平衡點，初始值對結(jié)果沒有影響。實驗六：Xn1510-10-0.35-0.4-0.45-0.5-0.55-0.6-0.65分別就f(x)sinx,f(x)x1等函