數(shù)形結合法在解題中的應用

1、0引言11以數(shù)化形11.1 利用韋恩圖法解決集合之間的關系問題21.2 利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的解集31.3 利用兩點間間隔公式輔助圖形，解決代數(shù)綜合題32以形變數(shù)42.1 用解析法解決平面解析幾何中的圓錐曲線問題43形數(shù)互變63.1 數(shù)軸在有理數(shù)化簡中的應用63.2 利用三角函數(shù)圖象求角度73.3 利用數(shù)形結合解決平面幾何問題7結論9致謝9參考文獻數(shù)形結合法在解題中的應用提綱1 以“數(shù)化“形1.1 利用韋恩圖法解決集合之間的關系問題1.2 利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的解集1.3 利用兩點間間隔公式輔助圖形，解決代數(shù)綜合題2 以“形變“數(shù)2.1 用解析法解決平面解析幾何中的

2、圓錐曲線問題3 “形“數(shù)互變3.1 數(shù)軸在有理數(shù)化簡中的應用3.2 利用三角函數(shù)圖象求角度3.3 利用數(shù)形結合解決平面幾何問題。數(shù)形結合法在解題中的應用摘要：數(shù)形結合法是解決數(shù)學問題中最根本、也最常用的思想方法。本文就中學數(shù)學中的不等式、集合、函數(shù)、解析幾何等內容，舉例闡述數(shù)形結合法在解題中的三點應用。關鍵詞：數(shù)形結合；中學數(shù)學；應用；解決問題引言做事情，假設想要事半功倍，就必須講究方法，其實，何止事半功倍，有時方法甚至起到了決定性的作用，缺乏有效的方法，不僅談不上效率，而且問題不能解決，事情也就根本不能成功，數(shù)形結合法對解決某些數(shù)學問題就起到了決定性的作用，假設能將數(shù)與形巧妙地結合起來，一些

3、看似無法入手的問題就會迎刃而解，產惹事半功倍的效果。我國著名的數(shù)學家華羅庚曾精辟地概括了數(shù)形結合法的內涵：數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊分，數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合萬般好，割離分家萬事非，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)絡，切莫別離！可見，數(shù)與形存在著非常親密的聯(lián)絡。其實，在中學數(shù)學中，有很多內容就是集“數(shù)“形于一身的良好載體，例如：函數(shù)、解析幾何等等，本文試從中學數(shù)學中的有理數(shù)、不等式、集合、三角函數(shù)、函數(shù)及其圖象、平面幾何、解析幾何內容方面，舉例說明數(shù)形結合法在中學數(shù)學解題中的三點應用：1以“數(shù)化“形；2以“形變“數(shù)；3“形“數(shù)互變。1以“數(shù)化“形在中學數(shù)學中的代數(shù)內容主要

4、是數(shù)字和文字的運算，如：加法、減法、乘法、除法、乘方、開方，這些概念、法那么、算律都比較抽象，運算有人很繁瑣，讓人難以把握。而形具有形象、直觀的優(yōu)點，因此，在考慮和解決問題時，對于某些從外表上看來與圖形不相關的概念和問題，有時可以從某種特定的角度，畫一個草圖、圖像或者示意圖把這種數(shù)量問題轉化為圖形問題，并通過對圖形的分析、推理最終解決數(shù)量問題。1.1 利用韋恩圖法解決集合之間的關系問題一般用圓來表示集合，兩圓相交那么表示兩集合有公共元素，兩圓相離那么表示兩個集合沒有公共元素。例1某班舉行數(shù)理化三科競賽，每人至少參加一科，參加數(shù)學競賽的有27人，參加物理競賽的有25人，參加化學競賽的有27人，其

5、中參加數(shù)學、物理兩科的有10人，參加物理、化學兩科的有7人，參加數(shù)學、化學兩科的有11人，而參加數(shù)、理、化三科的有4人，求全班人數(shù)？思路分析：由于參加數(shù)、理、化三科競賽人數(shù)互相穿插，不易理清參加三科競賽的各科人數(shù)，利用韋恩圖可以比較容易地分清它們的關系。解：設參加數(shù)學、物理、化學競賽的人構成的集合分別為A、B、C,由圖知全班人數(shù)為：10+12+13+7+3+6+4=55人由于表達太長，單純從文字語言不好理清思路,畫出韋恩圖，可以利用圖形直觀性進展計算。1.2 利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集時，只要聯(lián)想到對應的二次函數(shù)的圖象確定1.3 利用兩點間間隔公式輔助圖形，

6、解決代數(shù)綜合題例3求函數(shù)y=vx21+Jx2-4x8的最小值.思路分析：觀察式子，可發(fā)現(xiàn)從代數(shù)的角度求解，難度較大，這時利用數(shù)形結合法，巧用兩點間間隔公式可化為：Jx21+vx2-4x8=，(x0)2(01)2+J(x2)2(02)2,令A0,1，B2,2，Px,0，那么問題轉化為在x軸上求一點P,使IPAI+IPBI有最小值.如圖由于AB在x軸同側，故取A關于x軸的對稱點C0,-1，所以：IPAI+IPBImin=ICBI=J(20)2(21)2=在3，即函數(shù)y=xTl+v'x2-4x8的最小值是vn.通過以上三個例題可以看出利用圖形來輔助數(shù)的計算使問題變得簡單明了，而且能開闊思路。

7、對于數(shù)轉化為形這類問題，解決問題的根本思路是：明確題中所含的條件和所求目的；從條件或結論出發(fā)，分析是否相似一樣于已學過的圖形表達式；作出與之相適宜的圖形；利用已作出的圖形的性質，幾何意義等，去解決問題。2以形變數(shù)中學數(shù)學中的幾何是圖文并茂的內容，但是，正如華羅庚所說：形少數(shù)時難入微，雖然，圖形有形象、直觀的特點，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計算，不但要正確把圖形數(shù)字化，而且還要留心觀察圖形的特點，開掘題目中的隱含條件，把形正確表示成數(shù)的形式，再進展計算。如平面解析幾何中有關圓錐曲線問題的解決，下面舉例說明。2.1 用解析法解決平面解析幾何中的圓錐曲線問題22例4點小1,2一為橢圓25囁=1的右

8、焦點，p為橢圓上的動點,思路分析：e=3,而5 p恰好是橢圓上的點到橢圓相應準線的間當IPAI+5IPFI取最小值時，求P點的坐標.3隔。22解：:橢圓方程為+_y_=1.a=52516b=4,c=3.e=?又A1,2是橢圓內部的點,圓的右準線方程為L：x=年,過點p作pQ'L于點Q,由橢圓的第二定義知:PFPQ=e=3,即：PQ=5 I PF I ,53IPAI+2IPFI=IPAI+IPQI,當且僅當P、A、Q三點共線時，3IPAI+IPQI有最小值，過A作AA'，L,AA'與橢圓的交點即為所求，顯然yp=2,代入橢圓方程可求xP=里，.當2PA1+3IPFI取最小

9、值時，點P的坐標為且目,2.32在涉及橢圓上的點與焦點有關的間隔時，一定明確橢圓的第二定義及其相應的變形式子。22例5巳、F2為雙曲線二-L=1的左、右焦點，P3,1為雙曲線內一54點，點A在雙曲線上，那么IAPI+IAF2I的最小值為C.A、V37+4B、,37-4C、V37-2A5D、737+2v5解析：如圖，連接FF交雙曲線右支交于點Ao.vIAPI+IAF2I=IAPI+IAF1I-2V5,:要求IAPI+IAF2I的最小值，只需求IAPI+IAFiI的最/J、值.當A落在Ao時，API+IAFiI=IPI最小，最小值為V37IAPI+IAF2I的最小值為百-2石，即C答案正確.此題結

10、合定義將問題轉化為求IAPI+IAFi2北的最小值，問題就迎刃而解。有關解析幾何的問題，大部分都會用到解析法，解決幾何問題，由于幾何研究的是圖形，圖形的直觀會幫助我們翻開思路，充分利用圖形的性質和幾何意義，把形正確表示成數(shù)，有效地解決問題。對于形變數(shù)這類問題，解題的根本思路是：明確題中所給的條件和所求的目的；分析條件和目的在圖形中的意義；將題中用到的圖形用已學過的代數(shù)式表達出來；利用相應的公式或定理計算。3形數(shù)互變以數(shù)化形和以形變數(shù)是數(shù)形結合的兩個重要方面，而在有些問題中不僅僅是簡單的以數(shù)變形或以形變數(shù)，而是需要形數(shù)互相變換，解決問題時，問題的某些數(shù)量特征往往能給人們圖形方面的提示，反過來，利

11、用圖形的構造特征又給人們翻開解決問題的思路。3.1 數(shù)軸在有理數(shù)化簡中的應用例6實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的點如下列圖，化簡：a+Ia+bI-Vc2-Ib-cI.I*«»bc0a思路分析：此題運用了數(shù)與形的結合，由實數(shù)在數(shù)軸上的對應位置，既能比較它們的大小，又能確定a+樂b-c的符號，從而去掉絕對值的符號，完成化簡。解：由數(shù)軸知b<0,c<0,a>0,a+b<0,b-c<0,那么a+Ia+bI-vc2-Ib-cI=a-a-b-(-c)+b=0.3.2 利用三角函數(shù)圖象求角度例7函數(shù)y=sin(x+)(>0,-兀w<nt的圖象所示，那么三

12、角函數(shù)值求三角函數(shù)解析式的方法：應先由三角函數(shù)的最值點,確定周期求出，然后根據(jù)圖像上的特殊點求3.3 利用數(shù)形結合解決平面幾何問題例8在4ABC中，AB=4，cos/ABC=?,AC邊上的中線BD=幾,求sinA的值.解：如下列圖，過A做AHLBC交BC于點A,延長BD到P使BD=DP,連接AP、PC過P作PN，BC交BC的延長線于N,那么HB=ABcos/ABC=4.AH= AB2-HB2=435BN= BP2 -PN2 = BP2 - AH2=2524'53_10.3而CN=HB=4,.BC=BN-CN=2,HC=2.33AC=AH2HC2=2-21.3又由題意知sin/ABC=1

13、cos2ABC2.21由正弦定理得2=丁=70sinA3014二 sinA=,7014例9如圖，OO的直徑CD過弦EF的中點G,/EOD=40，那么/DCF等于D.A、80B、50C、40D、20解析：G是EF的中點，且CD為直徑，那么D為EF的中點，所以曲三面，那么/EOD=2/DCF,即/DCF=1/EOD=1>40=20,.D答案正22確.此題綜合應用了垂徑定理及圓心角與圓周角的關系，在解決有關圓的問題時，每一個題的分析與考慮必須聯(lián)絡圖形建立直觀可見的形象，這樣才能快速準確地解決問題。由以上四個例題，我們可以體會到解決某些數(shù)學問題時，數(shù)和形往往是不能分開的，需要“數(shù)和“形互相轉化、

14、互相利用、互相補充，解決此類問題往往需要從和結論同時出發(fā)，認真分析，找出“形“數(shù)互變，到達解決問題的目的。結論從上文所舉的例子我們可以感受到，利用數(shù)形結合法讓問題顯得直觀，便于解答，以上的以“數(shù)化“形和以“形變“數(shù)中所舉的例子看似是見“數(shù)想“形，見“形思“數(shù)，本質上就是以“數(shù)化“形，以“形變“數(shù)的結合，這兩個方面往往是不能截然分開的，一般來說，在問題的表達上，用代數(shù)法，分析思路借助于幾何的直觀，但在數(shù)形轉化中，必須遵循等價轉換原那么，數(shù)形互補原那么，總而言之，“數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微見到數(shù)量就考慮它的幾何意義，見到圖形就應考慮它的代數(shù)關系，應用數(shù)形結合法解決問題，用好了就是才能，因此我們平時就要注意應用數(shù)形結合法進步自己解決問題的才能。致謝本文是在我的指導教師陳文華教授悉心指導下完成的。陳教師淵博的專業(yè)知識，嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，精益求精的工作作風，誨人不倦的高尚師德，平易近人的人格魅力對我影響深遠。本文傾注了陳教師大量的心血，從選題到完成，一遍又一遍地指出每稿中的詳細問題，嚴格把關，循循善誘，在此向陳教師