常見遞推數(shù)列通項(xiàng)的九種求解方法

1、常見遞推數(shù)列通項(xiàng)的九種求解方法高考中的遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題，情境新穎別致，有廣度，創(chuàng)新度和深度，是高考的熱點(diǎn)之一。是一類考查思維能力的好題。要求考生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理，找到數(shù)列的通項(xiàng)公式，為此介紹幾種常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法。類型一：（可以求和）累加法例1、在數(shù)列中，已知=1，當(dāng)時(shí)，有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析： 上述個(gè)等式相加可得： 評(píng)注：一般情況下，累加法里只有n-1個(gè)等式相加?！绢愋鸵粚ｍ?xiàng)練習(xí)題】1、已知，（），求。 2、已知數(shù)列，=2，=+3+2，求。 3、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。4、已知中，求。 5、已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式. 6、 已知數(shù)列滿足求通項(xiàng)公式？7、若數(shù)列的遞推公式

2、為，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 8、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。9、已知數(shù)列滿足，求。 10、數(shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列（I）求的值； （II）求的通項(xiàng)公式 11、設(shè)平面內(nèi)有n條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)若用表示這條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則；當(dāng)時(shí)，（用表示）答案:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.(1)2 (2) 11.(1)5 (2) 類型二： （可以求積）累積法例1、在數(shù)列中，已知有，()求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：又也滿足上式； 評(píng)注：一般情況下，累積法里的第一步都是一樣的?！绢愋投ｍ?xiàng)練習(xí)題】1、 已知，()，求。 2

3、、已知數(shù)列滿足，求。 3、已知中，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 4、已知， ，求。 5、已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式. 6、已知數(shù)列滿足，求通項(xiàng)公式？ 7、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。8、已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項(xiàng) 9、設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列, 且(n + 1)a- na+an+1·an = 0 (n = 1, 2, 3, )，求它的通項(xiàng)公式. 10、數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 類型三：待定常數(shù)法可將其轉(zhuǎn)化為，其中，則數(shù)列為公比等于A的等比數(shù)列，然后求即可。例1 在數(shù)列中， ，當(dāng)時(shí)，

4、有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：設(shè)，則，于是是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列?！绢愋腿龑ｍ?xiàng)練習(xí)題】1、 在數(shù)列中， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 2、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式3、已知數(shù)列a中，a=1，a= a+ 1求通項(xiàng)a 4、在數(shù)列(不是常數(shù)數(shù)列)中,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 5、在數(shù)列an中，求. 6、已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 7、設(shè)二次方程x-x+1=0(nN)有兩根和，且滿足6-2+6=3(1)試用表示a； （2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 8、在數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，并且，試判斷是不是等比數(shù)列？ 答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.(1)

5、 (3) 8.是類型四： 可將其轉(zhuǎn)化為-（*）的形式，列出方程組,解出還原到（*）式，則數(shù)列是以為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，然后再結(jié)合其它方法，就可以求出。例1 在數(shù)列中， ，且求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：令得方程組 解得則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列 評(píng)注：在中，若A+B+C=0,則一定可以構(gòu)造為等比數(shù)列。例2 已知、,求解析：令，整理得 ；兩邊同除以得，令，令，得 ，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。 ，即，得【類型四專項(xiàng)練習(xí)題】1、已知數(shù)列中，,，求。2、 已知 a1=1，a2=，=-,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.3、已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列

6、是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。4、數(shù)列：， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。答案：1. 2. 3.(3) 4. 類型五： （且）一般需一次或多次待定系數(shù)法，構(gòu)造新的等差數(shù)列或等比數(shù)列。例1 設(shè)在數(shù)列中， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：設(shè) 展開后比較得這時(shí)是以3為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列即，例2 在數(shù)列中， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：，兩邊同除以得是以=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列。 即例3 在數(shù)列中， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：在中，先取掉，得令，得，即；然后再加上得 ； 兩邊同除以，得是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。， 評(píng)注：若中含有常數(shù)，則先待定常數(shù)。然后加上n的其它式子，再構(gòu)造或待定。例4 已知

7、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：在中取掉待定令，則， ；再加上得，整理得：，令，則令 ；即；數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。，即；整理得類型5專項(xiàng)練習(xí)題：1、設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 2、已知數(shù)列中，點(diǎn)在直線上，其中（1） 令求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2） 求數(shù)列的通項(xiàng) ； 3、已知，求。 4、設(shè)數(shù)列：，求.5、已知數(shù)列滿足，求通項(xiàng)6、在數(shù)列中，求通項(xiàng)公式。7、已知數(shù)列中，,，求。8、已知數(shù)列a，a=1, nN，a= 2a3 n ,求通項(xiàng)公式a 9、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。10、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 11、已知數(shù)列滿足,求. 12、 已知數(shù)列滿足，求

8、數(shù)列的通項(xiàng)公式。13、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。14、 已知，求。 15、 已知中，求. 16、已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。答案：1. 2.(2) 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.(3) 類型六：（）倒數(shù)法例1 已知，求。解析：兩邊取倒數(shù)得：，設(shè)則；令；展開后得，； 是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。；即，得；評(píng)注：去倒數(shù)后，一般需構(gòu)造新的等差（比）數(shù)列。【類型六專項(xiàng)練習(xí)題】：1、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。2、已知數(shù)列滿足時(shí)

9、，求通項(xiàng)公式。3、已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。4、設(shè)數(shù)列滿足求5、已知數(shù)列滿足a1=1，求6、在數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 7、若數(shù)列a中，a=1，a= nN，求通項(xiàng)a 答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 類型七： 例1 已知數(shù)列前n項(xiàng)和.求與的關(guān)系； （2）求通項(xiàng)公式.解析：時(shí)，得；時(shí)，；得。（2）在上式中兩邊同乘以得；是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；得。【類型七專項(xiàng)練習(xí)題】：1、數(shù)列an的前N項(xiàng)和為Sn，a1=1，an+1=2Sn.求數(shù)列an的通項(xiàng)an。2、已知在正整數(shù)數(shù)列中，前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 3、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn = 3n 2, 求數(shù)列

10、an的通項(xiàng)公式. 4、設(shè)正整數(shù)an的前n項(xiàng)和Sn =，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. 5、如果數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn =, 那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式?6、已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且，求的通項(xiàng)公式？ 答案：1. 2. 3. 4. 5. an = 2·3 6. 類型八：周期型例1、若數(shù)列滿足，若，則的值為_。解析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系得它的前幾項(xiàng)依次為：；我們看出這個(gè)數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列，三項(xiàng)為一個(gè)周期；.評(píng)注：有些題目，表面看起來(lái)無(wú)從下手，但你歸納出它的前幾項(xiàng)后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，出現(xiàn)周期性，問題就迎刃而解?！绢愋桶藢ｍ?xiàng)練習(xí)題】：1、已知數(shù)列滿足，則= （ ）A0BCD2、在數(shù)列中， 答案：1.B 2.-4 類型九、利用數(shù)學(xué)歸納法求通項(xiàng)公式例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：根據(jù)遞推關(guān)系和得，所以猜測(cè)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明它；時(shí)成立（已證明）假設(shè)時(shí)，命題成立，即，則時(shí)，=。時(shí)命題成立；由可知命題對(duì)所有的均成立。評(píng)注：歸納、猜想數(shù)學(xué)歸納法證明是我們必須掌握的一種方法?！绢愋途艑ｍ?xiàng)練習(xí)題】：1.設(shè)數(shù)列滿足：，且，則的一個(gè)通項(xiàng)公式為?2.已知是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足，（n=3，4，5）。（1）求； 2（2）證明（n=3，4，5）；（3）求的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的和。； 3.已知數(shù)列中=，。(