圓的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題一

1、圓的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題（一）1、一個(gè)圓的周長(zhǎng)等于一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，將此圓繞著正方形外周滾動(dòng)一周時(shí)，圓轉(zhuǎn)了幾周？解題思路：圓在多邊形外邊的轉(zhuǎn)動(dòng)不同于圓在一條直線(xiàn)上的轉(zhuǎn)動(dòng)，計(jì)算其旋轉(zhuǎn)的周數(shù)時(shí)還要考慮圓從一條邊轉(zhuǎn)到另一條邊自身轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。解：圓在正方形外周滾動(dòng)的狀態(tài)可以下圖來(lái)表示 圖1 圖2 圖3根據(jù)“一個(gè)圓的周長(zhǎng)等于一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)”可知，圓A從圖1滾動(dòng)到圖2的位置上，完成了在正方形的一條邊的滾動(dòng)，圓旋轉(zhuǎn)了一周，要完成4條邊的滾動(dòng)則要旋轉(zhuǎn)4周。從圖2滾動(dòng)到圖3的位置上時(shí)，圓自身旋轉(zhuǎn)了90度角?？紤]到正方形有4個(gè)角，所以圓共需自轉(zhuǎn)90×4360（度），即自轉(zhuǎn)一周。所以：此圓繞著正方形外周滾動(dòng)一周時(shí)，

2、圓轉(zhuǎn)了415（周）。2、如果一個(gè)圓的周長(zhǎng)等于一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)，將此圓繞著三角形外周滾動(dòng)一周，圓自轉(zhuǎn)了幾周？解題思路：圓繞著正三角形外周滾動(dòng)與圓繞正方形外周滾動(dòng)一周的相似，計(jì)算其旋轉(zhuǎn)的周數(shù)時(shí)還要考慮圓從一條邊轉(zhuǎn)動(dòng)到另一條邊自身轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。解：圓在三角形外周滾動(dòng)的狀態(tài)可以下圖來(lái)表示 圖1 圖2 圖3根據(jù)“一個(gè)圓的周長(zhǎng)等于一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)”可知，圓A從圖1滾動(dòng)到圖2的位置上，完成了在正三角形的一條邊的滾動(dòng)，圓旋轉(zhuǎn)了一周，要完成3條邊的滾動(dòng)則要旋轉(zhuǎn)3周。從圖2滾動(dòng)到圖3的位置上時(shí)，圓自身旋轉(zhuǎn)了18060120（度）。考慮到正三角形有3個(gè)角，所以圓共需自轉(zhuǎn)120×3360（度），即自轉(zhuǎn)一周。

3、所以：此圓繞著正三角形外周滾動(dòng)一周時(shí)，圓轉(zhuǎn)了314（周）。綜合以上兩題，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)圓的周長(zhǎng)等于一個(gè)正方形或者正三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，這個(gè)圓在這個(gè)正多邊形的外周滾動(dòng)一周，圓旋轉(zhuǎn)的周數(shù)都等于邊的條數(shù)加1。這個(gè)結(jié)論我們還可以應(yīng)用與解決圓在其它的正多邊形外周滾動(dòng)的問(wèn)題，即一個(gè)圓的周長(zhǎng)等于一個(gè)正n邊形的邊長(zhǎng)時(shí)，這個(gè)圓在這個(gè)正多邊形的外周滾動(dòng)一周，圓旋轉(zhuǎn)的周數(shù)等于n1。3、甲、乙兩枚大小相同的硬幣，現(xiàn)將硬幣甲固定，讓硬幣乙沿硬幣甲的周?chē)鷿L動(dòng)，當(dāng)硬幣乙滾動(dòng)一周，回到原來(lái)的位置，硬幣乙旋轉(zhuǎn)了幾圈？解題思路：此題如果不仔細(xì)分析的話(huà)很容易會(huì)將其同我們用滾動(dòng)法沿著直尺測(cè)量圓的周長(zhǎng)等同起來(lái)，認(rèn)為乙也只是轉(zhuǎn)動(dòng)了一周。

4、此題中的滾動(dòng)，不單包含了乙圍繞甲的轉(zhuǎn)動(dòng)，也包含了乙自身的轉(zhuǎn)動(dòng)。我們可以通過(guò)以下兩種方法來(lái)得出答案。解：方法1 硬幣乙繞硬幣甲的周?chē)M(jìn)行滾動(dòng)，包括了兩種運(yùn)動(dòng)形式。一方面硬幣乙沿著由硬幣甲的圓周所“拉直”的線(xiàn)段做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，因?yàn)閮蓚€(gè)硬幣大小相同，所以硬幣乙要旋轉(zhuǎn)1圈；另一方面這條“拉直”的線(xiàn)段又要圍成一個(gè)圓周，因而使得硬幣乙上的各點(diǎn)也要圍繞其中心旋轉(zhuǎn)1圈，所以硬幣乙一共要旋轉(zhuǎn)2圈。方法2、如圖1，假設(shè)硬幣甲、乙的圓心分別是O1、O2，把硬幣乙上的圓周分為4個(gè)等份，等分點(diǎn)依次是B1、B2、B3、B4。開(kāi)始時(shí)硬幣乙上的B1點(diǎn)和硬幣甲相接觸，線(xiàn)段O1B1O2處于豎直位置。硬幣乙貼住硬幣甲滾動(dòng)，如圖2，從B

5、1點(diǎn)滾動(dòng)到B2點(diǎn)。這時(shí)硬幣乙所滾動(dòng)過(guò)的弧長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的四分之一，半徑O2B1和初始位置相比轉(zhuǎn)過(guò)了180°，即硬幣乙旋轉(zhuǎn)了圈。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可以得到硬幣乙繞硬幣甲旋轉(zhuǎn)一周，硬幣乙旋轉(zhuǎn)了×4=2（圈）。 圖1 圖24、一個(gè)圓在正五角形外側(cè)A處開(kāi)始與正五角形的邊相切滾動(dòng)，如果BC的長(zhǎng)度等于圓周長(zhǎng)，那么當(dāng)此圓滾回原出發(fā)點(diǎn)A處時(shí)，它轉(zhuǎn)了幾圈？解題思路：本題要區(qū)分清楚圓在正五角形外側(cè)滾動(dòng)是，遇到不同的角時(shí)圓所轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是不同的。當(dāng)圓處從點(diǎn)A所在的邊轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)B所在的邊上時(shí)，圓不需要自轉(zhuǎn)，且從點(diǎn)B到點(diǎn)C港號(hào)轉(zhuǎn)了1圈；當(dāng)通過(guò)C轉(zhuǎn)到另一條邊時(shí)，圓必須要自傳144度后才能繼續(xù)滾動(dòng)。在正五角形中，像

6、C這樣的角共有5個(gè)，所以圓共需自轉(zhuǎn)144×5720度。解：當(dāng)此圓滾回原出發(fā)點(diǎn)A處時(shí)，它轉(zhuǎn)的圈數(shù)是1×10144×5÷36012圈。答：略。5、一個(gè)小圓在一個(gè)大圓內(nèi)不停地滾動(dòng)，大圓的半徑是小圓的直徑。小圓滾動(dòng)一周回到原來(lái)的位置時(shí)，小圓自己旋轉(zhuǎn)了幾周？解題思路：如下圖，圓和這條直線(xiàn)相切于A點(diǎn)，這個(gè)圓從A點(diǎn)開(kāi)始沿著直線(xiàn)滾動(dòng)一周后再和這條直線(xiàn)相切于A點(diǎn)，這時(shí)圓心所經(jīng)過(guò)路徑長(zhǎng)度為線(xiàn)段OO1的長(zhǎng)度，圓周所滾過(guò)的路徑長(zhǎng)度為線(xiàn)段AA的長(zhǎng)度，這兩個(gè)長(zhǎng)度是一樣的。因?yàn)椤皥A是到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的軌跡”，圓上的點(diǎn)前進(jìn)多少，圓心也會(huì)前進(jìn)多少。因此，不管圓怎樣滾動(dòng)，圓心所經(jīng)過(guò)軌跡的長(zhǎng)度一定會(huì)等于圓周所滾動(dòng)過(guò)的長(zhǎng)度。圖解：設(shè)