分式不等式地解法講義

1、WORD格式不等式的解法1一元二次不等式的解法(1)含有未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的一元不等式叫做一元二次不等式(2)一元二次不等式的解法(如下表所示 )設(shè) a0， x ， x 是一元二次方程ax2 bx c0 的兩實根，且x x2121(3)對于一元二次不等式的解法需注意： xa 0(a b)的解集為： x|xa 或 x b ；xa 0(a b)的解集為： x|a x b x bx b從函數(shù)觀點來看，一元二次不等式ax2 bx c0(a 0)的解集是一元二次函數(shù)yax2 bx c(a 0)在 x 軸上方的點的橫坐標(biāo)的集合三個“二次的關(guān)系常說的三個“二次即指二次函數(shù)、 一元二次方程和一元二次不等式

2、， 這三者之間有著密切的聯(lián)系， 這種聯(lián)系點可以成為高考中的命題點 處理其中某類問題時， 要善于產(chǎn)生對于另外兩個“二次的聯(lián)想，或進展轉(zhuǎn)化，或幫助分析具體到解一元二次不等式時，就是要善于利用相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象進展解題分析， 要能抓住一元二次方程的根與一元二次不等式的解集區(qū)間的端點值的聯(lián)系2解一元二次不等式的方法：(1)圖象法：先求不等式對應(yīng)方程的根，再根據(jù)圖象寫出解集(2)公式法步驟：先化成標(biāo)準(zhǔn)型：ax2 bx c 0(或 0)，且 a0；計算對應(yīng)方程的判別式；求對應(yīng)方程的根；利用口訣“大于零在兩邊，小于零在中間寫出解集3解絕對值不等式的根本思想專業(yè)資料整理WORD格式1解絕對值不等式的根本思想

3、是去掉絕對值符號，把帶有絕對值號的不等式等價轉(zhuǎn)化為不含絕對值號的不等式求解，常采用的方法是討論符號和平方，例如：(1) 假設(shè) a0，那么 x a" a x a" x2 a2；(2) 假設(shè) a0，那么 x a" x a，或 x a" x2 a2；(3) |f ( x)|< g( x) " g( x)< f ( x)< g( x)；(4)|f ( x)|>g( x) "f ( x)> g( x)或 f ( x)<g( x)(無論 g( x)是否為正)常用的方法有：(1) 由定義分段討論；(2)利用絕對值

4、不等式的性質(zhì)；(3) 平方2常見絕對值不等式及解法：(1)|f(x)| (a0)"f(x) a或f() a；ax(2)|f ( x)| a( a0) " af ( x) a；(3)|x 1|x 2| ()，用零點分區(qū)間法aab4一般分式不等式的解法：(1)整理成標(biāo)準(zhǔn)型f x 0(或 0)或f x 0(或 0)g xg x(2)化成整式不等式來解： f x 0" f(x) ·g(x) 0 g x f x 0" f(x) ·g(x) 0 g x f x 0"f x·g x0g xg x 0 f x 0"f x

5、·g x0g xg x 0(3)再討論各因子的符號或按數(shù)軸標(biāo)根法寫出解集熱點考點題型探析考點 1一元二次不等式的解法題型 1.解一元二次不等式 例 1 不等式x2x 的解集是()A ,0B.0,1C.1,D.,01,【解題思路】嚴(yán)格按解題步驟進展 解析 由x2x 得 x( x1) 0, 所以解集為,01, 應(yīng)選 D; 別解 : 抓住選擇題的特點 , 顯然當(dāng)x2時滿足不等式,應(yīng)選D.【名師指引】解一元二次不等式的關(guān)鍵在于求出相應(yīng)的一元二次方程的根題型 2.一元二次不等式的解集求系數(shù). 例 2關(guān)于x的不等式ax22xc0 的解集為 (1 , 1) ,求 cx 22xa0的解集.32【解題

6、思路】由韋達定理求系數(shù)解析 由 ax 22xc0 的解集為 (1 , 1 ) 知 a0 ,1 , 1為方程 ax22xc0 的兩3232個根 , 由韋達定理得112,11c , 解得a12, c2,cx22xa0 即32a32a2x22x 12 0 ,其解集為 (2,3).【名師指引】 一元二次不等式的解集求系數(shù)的根本思路是,由不等式的解集求出根, 再由韋達定理求系數(shù)專業(yè)資料整理WORD格式【新題導(dǎo)練】專業(yè)資料整理WORD格式1.不等式a 2 x 2+2( a 2) -40,對一切x R恒成立，那么a 的取值X圍是專業(yè)資料整理WORD格式A. - ,2B. -2,2C. -2,2D. - ,2

7、)專業(yè)資料整理WORD格式解析：可推知 -2 a2,另 a=2 時，原式化為 -4 0，恒成立，-2 a2. 選 B2. 關(guān)于x的不等式(m x-1)(x-2)0x|x2，那么 m的取值 ，假設(shè)此不等式的解集為X圍是A. m 0B.0m 2C. mD.m 0解析：由不等式的解集形式知m 0.答案： D考點 2 含參數(shù)不等式的解法題型 1：解含參數(shù)有理不等式例 1：解關(guān)于x的一元二次不等式x2(3a)x3a0【解題思路】比較根的大小確定解集解析： x2(3a) x 3a0 ，x3xa0當(dāng) a3時, xa或 x3，不等式解集為x xa或 x3 ；當(dāng) a3時，不等式為x20 ，解集為 x xR且 x

8、 3 ；3當(dāng) a 3時, x 3或x a ，不等式解集為x x3或 xa【名師指引】解含參數(shù)的有理不等式時分以下幾種情況討論:根據(jù)二次項系數(shù) (大于 0,小于0,等于 0);根據(jù)根的判別式討論(0,0,0).根據(jù)根的大小討論( x1x2, x1x2 , x1x2).題型 2：解簡單的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式例 2. 解不等式 log a(1 1 ) 1(a 0, a1)x【解題思路】借助于單調(diào)性進展分類討論110解析 (1)當(dāng) a 1 時，原不等式等價于不等式組x11ax專業(yè)資料整理WORD格式由此得 1a1 .因為 1 a 0，所以 x 0，1 x 0.x1a110(2)當(dāng) 0 a 1 時，原

9、不等式等價于不等式組：x11ax由得 x 1 或 x 0，由得0 x1，1 x1.1a1a綜上，當(dāng) a1 時，不等式的解集是 x| 1a x 0 ，當(dāng) 0 a 1 時，不等式的解集為1 x|1 x1.1a【名師指引】 解指數(shù)不等式與對數(shù)不等式通常是由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般的不等式 ( 組 ) 來求解，當(dāng)?shù)讛?shù)含參數(shù)時要進展分類討論.【新題導(dǎo)練】3. 關(guān)于x的不等式63x22mxm20 的解集為()A.(m , m)B.( m ,m)C. (,m )( m , )D.以上答案都不對977997解析 : 原不等式可化為(xm)(xm)0,需對 m 分三種情況討論,即不等式的解集與m 有

10、關(guān).974.解關(guān)于x的不等式： ax22(a1)x40解析： (ax2)( x2)0222(a1)aa當(dāng) a122x |2x2；aa當(dāng) 0a122x | 2 x2，aa當(dāng) a 0( ax 2)( x2) 0x | x2或 x 2aa0x2; a1x5.考點 3分式不等式及高次不等式的解法例 5解不等式 : ( x21)(x26x 8)0【解題思路】先分解因式,再標(biāo)根求解 解析 原不等式(x1)(x1)(x2)( x4)0 ,各因式根依次為-1,1,2,4, 在數(shù)軸上標(biāo)根如下 :專業(yè)資料整理WORD格式-1124x所以不等式的解集為(, 11,24,) .【名師指引】求解高次不等式或分式不等式一

11、般用根軸法,要注意不等式的解集與不等式對應(yīng)的方程的根的關(guān)系 .【新題導(dǎo)練】5. 假設(shè)關(guān)于x的不等式xa0 的解集是( 3,1)(2,) ,那么a的值為_(x 3)( x 1)a2 .解析 : 原不等式(xa)( x 3)( x1) 0, 結(jié)合題意畫出圖可知6. 解關(guān)于x的不等式(a1)x 21x( a0)ax 1解：假設(shè)0a5111515) ；2，那么原不等式的解集為(，)(，a22假設(shè)a5 1，那么原不等式的解集為 (15 ，) ；22假設(shè)a51，那么原不等式的解集為( 15， 1)(15 ，)22a27. *省*中學(xué)20212021學(xué)年度高三第一學(xué)段考試解不等式 x x 2( 1 )4 2

12、 x2.2解析：2 x 2(1) 42x222x2 2 2x412 2即 23x21552 2得 x所以原不等式的解集為 x | x66考點 4 簡單的恒成立問題題型 1: 由二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的取值X圍例 1. 假設(shè)關(guān)于x的不等式ax22x20 在R上恒成立,*數(shù)a的取值X圍.【解題思路】結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解 解析 當(dāng)a 0時 , 不等式2x20 解集不為R,故 a0不滿足題意 ;當(dāng) a 0 時,要使原不等式解集為a01R ,只需42a, 解得a2202綜上 , 所*數(shù)a的取值X圍為(1,)2a0【名師指引】不等式 ax2bxc0 對一切 xR 恒成立ba 00 或4ac 0cb20專業(yè)

13、資料整理WORD格式a0a0不等式 ax2bxc0 對任意 x R 恒成立b0 或b24ac0c0題型 2. 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求參數(shù)的取值X圍【解題思路】先別離系數(shù), 再由二次函數(shù)最值確定取值X圍 .解析 (1) 設(shè)f ( x)ax2bxc(a0).由f (0)1得 c1,故f ( x)ax2bx1 . f ( x1)f (x)2x a( x1)2b(x1)1(ax2bx1) 2x即 2axa b 2x ,所以 2a 2, ab0 ,解得 a1,b1 f ( x)x2x1(2)由(1)知 x2x12xm 在1,1恒成立 即 mx23x1在 1,1恒成立.,令 g( x)x23x1( x3)

14、25,那么g( x)在1,1上單調(diào)遞減 .所以g( x)在1,1 上24的最大值為 g(1)1.所以m的取值X圍是(,1) .【名師指引】 mf (x)對一切 xR 恒成立,那么m f (x)min;mf (x) 對一切 xR 恒成立 , 那么m f (x)max;【新題導(dǎo)練】不等式 ax 24xa12x2對一切xR恒成立，那么實數(shù)a的取值X圍是_8. 解析 ：不等式ax24xa12x 2對一切xR恒成立,即 (a2) x24x a10 對一切xR恒成立假設(shè) a2 =0,顯然不成立假設(shè) a20，那么a 20 a209.假設(shè)不等式 x2ax 10 對于一切 x 0，1成立，那么 a 的取值X圍是

15、2A 0B 25D -3C -2解析：設(shè) f x x2 ax 1，那么對稱軸為xa ,假設(shè)a1，即 a 1時，那么 f x在222 0，1上是減函數(shù)，應(yīng)有f1 0 5x 1222假設(shè)a0，即 a0 時，那么 fx在0，1上是增函數(shù)，應(yīng)有 f010 恒成立，故 a 022假設(shè) 0 a1，即1a 0，那么應(yīng)有 faa2 a211a20 恒成立，222424故 1a 0綜上，有5a,應(yīng)選 C 2搶分頻道根底穩(wěn)固訓(xùn)練1. 不等式x25x 60 的解集是_專業(yè)資料整理WORD格式解析 : 將不等式轉(zhuǎn)化成x25x6 0，即x1x 6 0 .2. 假設(shè)不等式x2ax b0 的解集為 x | 2x3 ,那么不

16、等式 bx2ax10 的解集為_. 解析 : 先由方程x2axb0的兩根為2 和 3求得 a,b 后再解不等式bx2ax 1 0 .得1 1,2 33. (*省五校2021年高三上期末聯(lián)考 )假設(shè)關(guān)于x 的不等式g(x)a2a 1(x R) 的解集為空集，那么實數(shù)a 的取值X圍是解析： g( x) a2a 1(xR) 的解集為空集，就是1= g( x) maxa2a1所以 a(,1)(0,)4(08* ) 設(shè)命題P：函數(shù)f ( x) lg( ax 2x1 a) 的定義域為R；命題q ：不等式161 2x 1 ax對一切正實數(shù)均成立。如果命題p 或 q 為真命題，命題p 且 q 為假命題，*數(shù)

17、a的取值X圍。解：命題 P 為真命題函數(shù) f (x) lg( ax 2x1 a) 定義域為R1 a16ax 2x0對任意實數(shù)x均成立a0時x0 解集為R，或16a0a211a20命題 P 為真命題a245. 解關(guān)于 x 的不等式k(1 x)1 0 (k0，k1).x2原不等式即 (1k) xk20，x21°假設(shè) k=0，原不等式的解集為空集；2°假設(shè) 1 k>0，即 0<k<1 時，原不等式等價于( x2k )( x2)0,1k此時 2k 2= 2k >0，1k1k假設(shè) 0<k<1，由原不等式的解集為 x|2<x<2k ；1k

18、3°假設(shè) 1 k<0，即 k>1 時，原不等式等價于( x2k )( x2)0,1k此時恒有 2>2k ，所以原不等式的解集為x|x<2k，或 x>2.1k1k綜合拔高訓(xùn)練6. . ，且，解關(guān)于x 的不等式：專業(yè)資料整理WORD格式1log 2 ( a x1)log 4 (4a x ).2解：原不等式等價于1log 2 (a x1)1 log2 (4a x ),1 2log 2 (a x1) log 2 (4 a x )22log 2 ( a x1) 22log 2 (4a x )a x10(1)原不等式同解于4a x0(2)7 分2( ax1) 24a

19、 x (3)，由得 由得 2(a x ) 23ax20,1a x2從而 12分當(dāng) 1 時，原不等式解為 當(dāng) 時，原不等式解為 6.(*省*外國語學(xué)校2021屆第三次質(zhì)檢 )據(jù)調(diào)查，某地區(qū) 100 萬從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民，人均收入 3000 元，為了增加農(nóng)民的收入，當(dāng)?shù)卣e極引進資本，建立各種加工企業(yè)，對當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)品進展深加工，同時吸收當(dāng)?shù)鼐植哭r(nóng)民進入加工企業(yè)工作，據(jù)估計，如果有x(x 0)萬人進企業(yè)工作，那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均收入有望提高2x%，而進入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均收入為3000a 元 a 0。（ I 在建立加工企業(yè)后， 要使從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的年總收入不低于加工企業(yè)建立前的農(nóng)

20、民的年總收入，試求 x 的取值X圍； II 在 I 的條件下，當(dāng)?shù)卣畱?yīng)該如何引導(dǎo)農(nóng)民即x 多大時，能使這 100 萬農(nóng)民的人均年收入到達最大。解： I 由題意得 100-x·3000· 1+2x% 100×3000，即 x2 50x0，解得0x50，又 x 0 0 x50；II 設(shè)這 100萬農(nóng)民的人均年收入為y 元，那么y= (100 x) ×3000 ×(1+2x%)+3000ax=60x2+3000(a+1) x+300000100100322=5x 25(a+1)+3000+475( a+1)(0< x 50)（ i 當(dāng) 0<25( a+1) 50，即 0a1，當(dāng) x=25( a+1) 時， y 最大；ii 當(dāng) 25(a+1) 50，即 a 1，函數(shù) y 在 0,50 單調(diào)遞增，當(dāng)x=50 時， y 取最大值答：在 0 a1時，安排 25(a +1)萬人進入企業(yè)工作，在a 1 時安排 50 萬