命題與簡易邏輯

1、簡易邏輯知識(shí)梳理命題與邏輯連接詞；1用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假、的陳述句稱為命題 其中判斷為真的語句稱為真命題，判斷為假的語句稱為假命題2邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”與集合中的并集、交集、補(bǔ)集有著密切的關(guān)系，解題時(shí)注意類比；3不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題稱為_；有時(shí)一個(gè)命題的敘述方式比較的簡略，此時(shí)應(yīng)先分清條件和結(jié)論，該寫成“若，則”的形式；4含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題稱為_，復(fù)合命題有三種形式_, , 符號(hào)表示_, _, _通常復(fù)合命題的否定“或”的否定為“且”、 “且”的否定為“或”、 “全為”的否定是“不全為”、 “都是”的否定為“不都是”等等5三種復(fù)合命題的真值表：（1）“p且q”： 一

2、假即假（2）“p或q”： 一真即真（3）“非p”： 真假相反 6短語“_對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)” 邏輯中稱為全稱量詞，并用符號(hào)“_” 表示。 7短語“存在一個(gè)”、“_至少有一個(gè)” 邏輯中稱為存在量詞，并用符號(hào)“” 表示。 8含有全稱量詞的命題稱為全稱命題_；含有存在量詞的命題稱為_特稱命題_.9全稱命題形式：；特稱命題形式：。 其中M為給定的集合， 特別提醒：全稱命題p：的否定p：；全稱命題的否定為特稱命題特稱命題p：的否定p：；特稱命題的否定為全稱命題其中p(x)是一個(gè)關(guān)于的命題。10、四種命題及關(guān)系；（1）如果第一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論_和條件_，那么這兩個(gè)命題叫互逆命

3、題. （2）如果第一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定 和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫互否命題. （3）如果第一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定_ 和_條件的否定_，那么這兩個(gè)命題叫互否命題. 特別提醒：可以發(fā)現(xiàn)：（1）原命題、逆命題、否命題、逆否命題的關(guān)系如下圖所示：原命題若p則q逆命題若q則p否命題若非p則非q逆否命題若非q則非p 互逆 互 互 互 為 為 互 否 逆 逆 否否 否 互逆（2）互為逆否命題的真假性是一致的, 互逆命題或互否命題真假性沒有關(guān)系.一般地，把條件的否定和結(jié)論的否定，分別記為“”和“”，則命題的四種形式可寫為： 原命題： “若若” 逆命題：

4、 “若若” 否命題： “若 是 ” 逆否命題： “若 是 ”11充要條件；判斷方法：（1）定義法： p是q的充分不必要條件 p是q的必要不充分條件 p是q的充要條件 p是q的既不充分也不必要條件如果“若則”為真, 記為, 如果“若則”為假, 記為.若則是的充分, 是的必要_ （2）集合法： 設(shè)P=p, Q=q, 若_ PQ, 則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件. 若_ P=Q _，則p是q的充要條件（q也是p的充要條件）. 若_ P Q且Q P _， 則p是q的既不充分也不必要條件. 12. 用反證法證明的一般步驟是： (1) 反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；(

5、2) 歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；(3) 結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.特別提醒：1、適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題：(1) 結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)的命題.(2)關(guān)于唯一性、存在性的的命題.(3)結(jié)論以“至多”，“至少”等形式出現(xiàn)的命題.(4)結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體或更易于研究的命題.2. 用反證法證明引出矛盾的四種常見形式: (1)與定義、公理、定理矛盾. (2)與已知條件矛盾.(3)與假設(shè)矛盾.(4)自相矛盾. （三）例題分析：考點(diǎn)一。邏輯聯(lián)結(jié)詞與四種命題題型1。判斷簡單命題及真假例1下列語句中哪些是命題？其中哪些是真命題？ 等腰直角三角形難道不是直角三角

6、形嗎？”；“平行于同一平面的兩條直線必平行嗎？”；“一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)”；“今天的天氣多好?。　?；“為有理數(shù)，則、也都是有理數(shù)”； “作”.一般地, 陳述句、反問句都是命題，而疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題.例2下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（ ）A（1）若兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合；（2）兩條直線可以確定一個(gè)平面；（3）若；（4）空間中，相交與同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)。A.1 B.2 C.3 D.4例3你能將把下列命題寫成“若若”的形式，并判斷其真假嗎?(1) 實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù). (2) 等底等高的兩個(gè)三角形是全等三角形.(3) 能被6整除的數(shù)既能被3整除也能被2整除.

7、(4) 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心, 并平分弦所對(duì)的弧.題型2 （1）邏輯聯(lián)結(jié)詞 “非”的含義 例4寫出下列命題p的非(否定)。（1）p：100既能被4整除又能被5整除（2）p：三條直線兩兩相交（3）p：一元二次方程至多有兩個(gè)解（4）p：（5） “矩形的對(duì)角線相等”的否定是_ 寫出命題的非（否定），需要對(duì)其正面敘述的詞語進(jìn)行否定，常用正面敘述詞語及它的否定列舉如下：正面詞語且小于（<）都是都不是至少n個(gè)至多n個(gè)否定詞語或不小于（）不都是至少有一個(gè)是至多n1個(gè)至少n+1個(gè)正面詞語任意的所有的有無窮多個(gè)存在唯一的對(duì)任意p，使恒成立否定詞語某個(gè)某些只有有限多個(gè)不存在或至少存在兩個(gè)至少有一個(gè)p，使不

8、成立（2）命題的否定與命題的否命題的區(qū)別例5 寫出命題：“若，則”的否定與否命題，并加以區(qū)別。（3）全稱量詞與存在量詞例6：寫出命題“若，則”的否定題型3. 指出復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡單命題，反之能寫出“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題，判斷復(fù)合命題的真假例7 分別指出下列復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡單命題: （1）3是質(zhì)數(shù)或合數(shù). （2）他是運(yùn)動(dòng)員兼教練員. （3）相似三角形不一定是全等三角形. 例8 分別寫出下列各組命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題： （1）p：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被2整除， q：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被3整除.（2）p：對(duì)角線互相垂直的四邊

9、形是菱形， q：對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形. 例9 寫出由下述各命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題，并指出所構(gòu)成的這些復(fù)合命題的真假。（1）p：5是17的約數(shù)，q：5是15的約數(shù).（2）p：方程x21=0的解是x=1, q：方程x21=0的解是x=1,（3）p：不等式的解集為R，q：不等式的解集為題型4: 判斷命題是全稱命題還是特稱命題。判斷全稱命題或特稱命題的真假 例10 判斷下列語句是不是命題，如果k，是，說明是全稱命題還是特稱命題. (1) 任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，仍等于這個(gè)數(shù)； (2) 三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎？(3) 有一個(gè)實(shí)數(shù)，不能取倒數(shù)；(4) 有的三角形內(nèi)角和

10、不等于 例11 設(shè)A、B為兩個(gè)集合.下列四個(gè)命題： AB對(duì)任意xA，有xB； ABAB=； ABAB； AB存在xA，使得xB.其中真命題的序號(hào)是_.（把符合要求的命題序號(hào)都填上）題型5。寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題、逆否命題例12 寫出下述命題逆命題、否命題、逆否命題.（1）若，則全為0 .（2）若是偶數(shù)，則都是偶數(shù).（3）若，則題型6。四種命題間的關(guān)系，命題真假的判斷例13若a、b、cR，寫出命題“若ac0，則ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這三個(gè)命題的真假例14下列四個(gè)命題中真命題有哪幾個(gè)?“若xy=1，則x、y互為倒數(shù)”的逆命題 “面積相等的

11、三角形全等”的否命題 “若m1，則方程x22x+m=0有實(shí)根”的逆否命題 “若AB=B，則AB”的逆否命題例15你能判斷下列命題的真假嗎?（1）已知若（2）若無實(shí)數(shù)根。題型7。由命題真假確定參數(shù)范圍例16 已知設(shè)命題P：函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減.；命題Q：不等式的解集為R，若P或Q是真命題，“P且Q”是假命題，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.考點(diǎn)二充要條件及其判定題型1:利用定義作判斷例1在中，“”是“”的 A充分而不必要條件 B 必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件例2(1)已知h>0，設(shè)命題甲為：兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b滿足，命題乙為：兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b滿足且，那么 A甲是乙的充分但不必要

12、條件 B甲是乙的必要但不充分條件C甲是乙的充要條件 D甲是乙的既不充分也不必要條件(2)已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的 ( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件題型2: 從集合思想或利用逆否命題判定例3 “成立”是“成立”的( ) A充分不必要條件 B.必要不充分條件 C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 例4指出下列各組命題中，是的什么條件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選一種作答） （1）對(duì)于實(shí)數(shù)，或（2）在中，（3）已知，（4） “” “” 例5若，則成立的一個(gè)充分不必

13、要的條件是（ ）A.B. C. D.課后作業(yè)練習(xí)（1）1. 下列語句中命題的個(gè)數(shù)是( ) 地球是太陽系的一顆行星； ； 這是一顆大樹； ； 老年人組成一個(gè)集合； A1 B2 C3 D42以下命題： 二直線平行的充要條件是它們的斜率相等； 過圓上的點(diǎn)與圓相切的直線方程是； 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓； 拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都等于點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離。其中正確命題的標(biāo)號(hào)是 。3.命題“若0，則”的逆命題是 4命題“”的否命題是 （ ） A. B. C. D.5命題：“設(shè)、，若則”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（ ）A0 B1 C2 D36命題：“若，則

14、”的逆否命題是（ ）A若，則 B.若，則C.若，則 D. .若，則7判斷下列語句是不是命題，如果k，是，說明是全稱命題還是特稱命題.(1) 中國的所有江河都流入太平洋； (2) 不能作除數(shù)；(3) 有一個(gè)實(shí)數(shù)，不能取對(duì)數(shù)；(4) 每一個(gè)向量都有方向嗎？8設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，有下列三個(gè)命題：若存在常數(shù)M，使得對(duì)任意xR，有f（x）M，則M是函數(shù)f（x）的最大值； 若存在x0R，使得對(duì)任意xR，且xx0，有f（x）f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最大值；若存在x0R，使得對(duì)任意xR，有f（x）f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最大值.這些命題中，真命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1

15、C.2 D.39下列全稱命題中真命題為( ) A. 一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù) B. 是有理數(shù) C. 任何一條直線都有斜率 D. 10下列特稱命題中假命題為( ) A. 空間中過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與該直線垂直 B. 僅存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得成等比數(shù)列 C. 存在實(shí)數(shù)滿足,使得的最小值是6 D. 恒成立11用反證法證明：“已知x、yR，x+y2，求 證x、y中至少有一個(gè)大于1”. 則所作的反設(shè)是 12寫出命題“乘積為奇數(shù)的兩個(gè)整數(shù)都不是偶數(shù)”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假.課后作業(yè)練習(xí)（2）1函數(shù)f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a

16、2+b2=02. “a=1”是函數(shù)y=cos2axsin2ax的最小正周期為“”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既非充分條件也不是必要條件3 “a+b4且ab4”是“a2且b2”的 （ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4若是常數(shù), 則“且”是“對(duì)任意,有”的 （ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件，條件：在內(nèi)是增函數(shù)，則是的A充要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件6ABC中“”是“ABC為鈍角三角形”的（ ）A必要不充分條件 B充分不必要條件 C充要條件D既不充分也不必要7函數(shù)有極值的充要條件是 （ ）A B C D8“” 是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的 （ ） A充分條件不必要 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件9設(shè)集合，那么“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件10設(shè)、是方程的兩個(gè)實(shí)根。那么“且”是“兩根、均大于”的（ ） A充分但不必要條件 B必要但不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件11.一元二次方程有一個(gè)正根和一個(gè)