同濟版 高等數(shù)學 課后習題解析

1、 書后部分習題解答P21頁3（3） （） 知識點：1）等比級數(shù)求和（共n項） 2）用P14例4的結論：當時，解：5.（1）判斷下列數(shù)列是否收斂，若收斂，則求出極限：設為正常數(shù)，證：由題意，（數(shù)列有下界）又（因）（數(shù)列單調減少）由單調有界定理，此數(shù)列收斂；記，對兩邊取極限，得，解得（負的舍去），故此數(shù)列的極限為.P35頁4.（8）極限(若以后學了洛必達法則（型未定型），則） 書后部分習題解答2P36頁8.已知當時，求常數(shù). 知識點：1）等價無窮小的概念；2）熟記常用的等價無窮小，求極限時可用等價無窮小的替換定理。解：由題意：得或 （根式有理化）P42頁3（4）關于間斷點：為第二類間斷點說明：不存

2、在（在的過程中，函數(shù)值不穩(wěn)定，不趨向與）P43頁7（1）證明方程在內必有一實根。知識點：閉區(qū)間（一定要閉）上連續(xù)函數(shù)的根的存在定理證明：設，易知，在上連續(xù)； （注:設函數(shù)，閉區(qū)間） ， 故由根的存在定理，至少在內存在一點，使，即方程在內必有一實根.P61頁3.設存在，求：（1） （2）（3）分析：因存在，則極限的值為。把（1）（2）（3）化為相應可用極限的形式解：（1）（2） （3）8.用導數(shù)的定義求在處的導數(shù).（可參看P51例1-2）知識點：1）導數(shù)在一點處的定義：；2）點處的左右導數(shù)的定義與記號：左導數(shù)右導數(shù) 3）分段函數(shù)在分界點（具體的點）處的導數(shù)必須用導數(shù)的定義或左右導數(shù)的定義做。解：

3、因 （先寫出處的函數(shù)值） 又 （在處的左導數(shù)定義） （在處的右導數(shù)定義）而10.設函數(shù)，為了使函數(shù)在處連續(xù)且可導，應取什么值？題型：分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性與導數(shù)的求法。解：由題意，函數(shù)在處連續(xù)，則，即，得又函數(shù)在處可導，則而（用到了）故 書后部分習題解答3（關于隱函數(shù)求導）P62頁14 設，求.分析：1）隱函數(shù)求導；2）由代入方程要求出的值。解：方程兩邊對求導： 得： 又由代入方程，得，所以：20.已知，求，.要點：求隱函數(shù)二階導數(shù)的方法。解：方程兩邊對求導： （1）把代入式（1），解得（或由式（1）解得： （2）再把點代入得）（求隱函數(shù)二階求導的方法）方法1：式（1）兩邊對求導，（記，）

4、 把，代入，得（代入：）方法2：式（2）對求導：，點、一階導數(shù)直接代入（不用化簡，注意式中有0處的值）即可.P62頁15題.利用對數(shù)求導法求導（3）說明：1）一定要用對數(shù)求導法求導；2）取對數(shù)后，先化簡.解：取對數(shù)：（化簡）兩邊對求導：所以： （代入） 書后部分習題解答4（關于中值定理與未定式極限）P82頁1檢驗羅爾定理對函數(shù)是否成立？分析：1）即檢驗是否符合羅爾定理的條件；2）若符合，是否存在？解：易知在1,2,2,3上連續(xù)，（1,2），（2,3）內可導，且，故符合羅爾定理的條件。又由，得，故有，符合羅爾定理的結論.故羅爾定理對函數(shù)成立。4.(3)證：證：設，當時，等式成立；若，則易知在上連

5、續(xù)，在內可導，則由拉格朗日定理存在，使取絕對值，得同理，可證綜合：有6.設函數(shù)在閉區(qū)間1,2上可微，證明：，其中.提示：對，用柯西中值定理.8.證明：，其中.題型：證明函數(shù)為常數(shù)；用到的知識：書78頁定理3.4（3）的結論，若，則.()證明：設，則，整理，當，故，又所以：，當.P89頁（用洛必達法則求極限時，可以適當?shù)幕?、整理等，目的簡化計算?（3）解： （用到連續(xù)性與極限的運算，相當于代入）（5）解： （整理，等價無窮小的代換）3.（2） （函數(shù)差的極限，一定要整理成函數(shù)商的極限）解：= （用了等價無窮小的代換） 4.（3） （冪指函數(shù)的極限）解：=先求（用到，時，無窮大量的倒數(shù)為無窮小

6、）故（4）解：而(用到，)故7.試確定常數(shù)，使得.解：因， 又，上式分母，且極限存在，則必須分子得；則 =，得 書后部分習題解答4（關于中值定理與未定式極限）P82頁1檢驗羅爾定理對函數(shù)是否成立？分析：1）即檢驗是否符合羅爾定理的條件；2）若符合，是否存在？解：易知在1,2,2,3上連續(xù)，（1,2），（2,3）內可導，且，故符合羅爾定理的條件。又由，得，故有，符合羅爾定理的結論.故羅爾定理對函數(shù)成立。4.(3)證：證：設，當時，等式成立；若，則易知在上連續(xù)，在內可導，則由拉格朗日定理存在，使取絕對值，得同理，可證綜合：有6.設函數(shù)在閉區(qū)間1,2上可微，證明：，其中.提示：對，用柯西中值定理.8.證明：，其中.題型：證明函數(shù)為常數(shù)；用到的知識：書78頁定理3.4（3）的結論，若，則.()證明：設，則，整理，當，故，又所以：，當.P89頁（用洛必達法則求極限時，可以適當?shù)幕?、整理等，目的簡化計算?（3）解： （用到連續(xù)性與極限的運算，相當于代入）（5）解： （整理，等價無窮小的代換）3.（2） （函數(shù)差的極限，一定要整理成函數(shù)商的極限）解：= （