多維柯西不等式

1、WORD格式柯西不等式【柯西不等式的主要內(nèi)容】1. 柯西主要奉獻(xiàn)簡介：柯西 Cauchy，法國人，生于1789 年，是十九世紀(jì)前半葉最出色的分析家.他奠定了數(shù)學(xué)分析的理論根底.數(shù)學(xué)中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收斂原理、柯西中值定理、柯西積分不等式、柯西判別法、柯西方程等等.2. 二維形式的柯西不等式：假設(shè) a, b, c, dR ，那么( a2b2 )(c2d 2 )(acbd )2, 當(dāng)且僅當(dāng)時 ,等號成立 .證法0綜合法 ( a2b2 )(c 2d 2 ) a2 c2a2 d 2b2 c2b2 d 21 .)2)2(ac bd )2(當(dāng)且僅當(dāng)時, 等號成立 .證法 20.構(gòu)造法分析：

2、 (acbd)2(a2b2 )(c2d2 )2(acbd)24(a2b2 )(c2d 2 )0而 2(acbd)24(a2b2 )(c2d2 ) 的構(gòu)造特征那么，證：設(shè) f ( x)( a 2b2 ) x22(acbd ) xc2d 2，f ( x)( axc)2(bx d ) 20恒成立 . 得證.證法0. 向量法設(shè)向量m(a,b) ， n(c,d ) ， 那么 | m |， | n |.3m n，且 m n |m| | n| cos m, n，有 | m n | m| | n|.得證 .變式 10. 假設(shè)a,b, c,dR，那么a2b2c2d2| acbd |或a2b2c2d 2ac bd

3、 ；變式 20. 假設(shè)a,b, c, dR ，那么a2b2c2d2(ac)2(bd) 2；變式 30. 三角形不等式設(shè)x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3為任意實(shí)數(shù)，那么：( x1x2 )2( y1y2 ) 2( x2x3 ) 2( y2y3 ) 23. 一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式 ： 設(shè)n為大于 1的 自 然 數(shù) ， a,bR (i1,2, n )，ii那么：.當(dāng)且僅當(dāng)時 ,等號成立 .( 假設(shè)0bi0nai時，約定，i1,2, ).變式 10.設(shè) aiR,bi0(i1,2,nai2(a i ) 2, n), 那么：1 bib i. 當(dāng)且僅當(dāng)時, 等號成立 .i

4、專業(yè)資料整理WORD格式1專業(yè)資料整理WORD格式nai(ai )2變式 20. 設(shè)aibi0(i 1,2, n), 那么：.當(dāng)且僅當(dāng) b1 b2bn時, 等號成立 .i 1 biai bi如果一個定理與很多學(xué)科或者一個學(xué)科的很多分支有著密切聯(lián)系，那么這個定理肯定很重要 . 而柯西不等式與我們中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)恒等式、復(fù)數(shù)、向量、幾何、三角、 函數(shù)等各方面都有聯(lián)系 .所以 ,它的重要性是不容置疑的！ 柯西不等式的應(yīng)用：例 1. 實(shí)數(shù)a,b,c , d滿足ab c d3， a22b23c26d25 .試求a的最值例 2x2y2z29在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程48x6y24 y 39例 3 設(shè)P是三角形ABC

5、 內(nèi)的一點(diǎn)，x, y, z 是 p 到三邊 a,b,c 的距離， R 是ABC 外接圓 的半徑，證明： xyz1a 2b2c 22 R例 4 ( 證明恒等式 )a1b 2b 1a 21, 求證：a2b 21。專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式1111例 5 ( 證明不等式 ) 設(shè)a1a2anan 1,求證:a1a2a2 a3anan 10an 1a1【同步訓(xùn)練 】1. a1, a2, , anR ，求證：1 (a1 a2an ) 2a12a22an2n2. a,b, c,d是不全相等的正數(shù)，求證：a2b2c2d2abbccdda3. x2y3z1,求x2y2z2的最小值.4.

6、設(shè)x1,x2, xnR , 且x1 x 2x n1,x12x22xn21求證：1 x21 xnn 11 x1專業(yè)資料整理WORD格式3專業(yè)資料整理WORD格式5. 實(shí)數(shù)a,b, c, d,e滿足abcde8,a2b2c2d2e216,求e的取值X圍.6. x, y, zR , 且x149y z 1, 求證：y36xz7. 正數(shù)a, b, c滿足a b c 1證明 a3b3c3 a2b2c238. 假設(shè) n 是不小于2 的正整數(shù)，試證：411111271342n12n。22專業(yè)資料整理WORD格式4專業(yè)資料整理WORD格式參考答案 :一般形式的柯西不等式：a , bR (in2n2nai bi

7、) 2，設(shè) n 為大于1的自然數(shù)，1,2, ,n ) ，那么：aibi(iii 1i 1i1其中等號當(dāng)且僅當(dāng)b1b2bn時成立 ( 當(dāng)ai0 時，約定 bi0 ，i1,2,n ).a1a2an等號成立當(dāng)且僅當(dāng)biai (1in)柯西不等式不僅在高等數(shù)學(xué)中是一個十分重要的不等式，而且它對初等數(shù)學(xué)也有很可的指導(dǎo)作用，利用它能高遠(yuǎn)矚、居高臨下，從而方便地解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)問題。例 1 解：由柯西不等式得，有2b23c26d2111bc2d236即 2b23c26d 2bcd25a232由條件可得，a解得， 1 a2 當(dāng)且僅當(dāng)2b3c6d1 21 3時等號成立，1 6代入 b1,c1 , d1時

8、，amax236b1,c2 , d1時amin133例 2 解：由柯西不等式，得x2y2z2262242288x 6y 24 yx2y2z2262242964364 144392848x6 y24 y2.x2y2z28228x6y2又392622424z即不等式中只有等號成立 .從而由柯西不等式中等號成立的條件，得xyz8624它與8x6 y24 y 39聯(lián)立，可得x6y9z18131326例 3 證明：由柯西不等式得，xyzax1by1cz1axbycz111abcabc記 S 為ABC 的面積，那么專業(yè)資料整理WORD格式5專業(yè)資料整理WORD格式ax by cz 2S 2 abcabc4

9、R2Rxyzabcabbcca1abbcca1a2b2c22Rabc2R2R故不等式成立。例 4證明：由柯西不等式，得a 1b 2b 1a 2a 21a 2 b 21b 21當(dāng)且僅當(dāng)b1b 2時，上式取等號，a 2a1ab1a 21b 2 ,a 2 b 21 a 2 1 b2 ,于是a 2b 21 。例 5 分析：這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變其構(gòu)造，我們不妨改為證：a1an11111,a1a2 a2a3anan 1證明：為了運(yùn)用柯西不等式，我們將a1an 1寫成a1an 1a1a2a 2a3anan 1于是a1a2a2a3anan 1111a1a2a2 a3anan 1n 21.a

10、1an11111a1a2a2 a3anan 1即1111,a1a2a 2a3anan 1a1an 1故11110.a1a2a2a3a na n 1an 1a1我們進(jìn)一步觀察柯西不等式，可以發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)是：不等式左邊是兩個因式這和，其中每一個因式都是項(xiàng)平方和，右邊是左邊中對立的兩兩乘積之和的平方，證題時，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明。練習(xí)1證：(121212 )( a12a22an2 )(1 a1 1 a21 an) 2n(a12a22an2 )( a1a2an )21 ( a1a2an )2a12a22an2n專業(yè)資料整理WORD格式6專業(yè)資料整理WORD格式證明 : (

11、a22c2d 2 )(b2c2d 2a2 )(abbccdda )2abcd 不成立2、a,b, c, d是不全相等的正數(shù),( a2b2c2d2)2( abbcbcd2acdda)即 a2b2c2d2ab bc cd da解 : ( x2y2z2 )(122232 )( x2y3z)21x2y2z213 當(dāng)且僅當(dāng)xy 14z即 x113時123, y, z14714x2y2z2取最小值114證明 : (n 1) ( x12x22xn2)1 x11 x21 xn 22(1 x1 1 x21 xn ) ( x1x24 、21x1 1x2xn ) ( 1 x1x1x1 x2x21x n11x2xn1

12、1 xn)2( x1x2xn )211xn解 :4(a 2b2c2d 2 )c2d2 )(1 1 1 1)(a2b25 (abcd) 26416 e e2即4(16 e2 )(8e)2,即64 4e25e216e0,故 0e165證法一 : 用柯西不等式149149(xyxyzz)(y)xz3 )26 ( x1y2z36xyz當(dāng)且僅當(dāng) x21y21 z2 ,即x1 , y1 , z1時,等號成立 .49632證法二 : 代入法491491( xyz)yz)xyzx(xy z)( xyz14 ( y 4x ) ( z 9x) ( 4z 9 y )14x6yxzyz412361 , y1 , z1時, 等號成立當(dāng)且僅當(dāng) y2x, z3x,即x6327 證明：利用柯西不等式c2 23131312a2b2a 2 a2b2b 2c2 c 2323232a 2b2c2abc專業(yè)資料整理WORD格式7專業(yè)資料整理WORD格式a3b3c32a b c 1a b c又因?yàn)閍2b2c2abbcca 在此不等式兩邊同乘以2，再加上a2b2c2得： a b c 3 a2b2c2a2b2c22a3b3c33 a2b2c2故 a3b3c3a2b2c239、證明：證明：11 1111(111 11 )2(1 11 )2 342n 1 2n23 42n2 42n111n1n22n所以求證