十大高中平面幾何幾何定理匯總及證明精整理

1、高中平面幾何定理匯總及證明1. 共邊比例定理有公共邊AB的兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)分別是P、Q，AB與PQ的連線交于點(diǎn)M，則有以下比例式成立： PAB的面積： QAB的面積PM：QM. 證明：分如下四種情況，分別作三角形高，由相似三角形可證SPAB=(SPAM-SPMB)=(SPAM/SPMB-1)×SPMB=(AM/BM-1)×SPMB(等高底共線，面積比=底長比）同理，SQAB=(AM/BM-1)×SQMB所以，SPAB/SQAB=SPMB/SQMB=PM/QM(等高底共線，面積比=底長比）定理得證！特殊情況：當(dāng)PBAQ時(shí)，易知PAB與QAB的高相等，從而S

2、PAB=SQAB，反之，SPAB=SQAB，則PBAQ。 2. 正弦定理在任意一個(gè)平面三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于外接圓半徑的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r為外接圓半徑，R為直徑）證明：現(xiàn)將ABC，做其外接圓，設(shè)圓心為O。我們考慮C及其對(duì)邊AB。設(shè)AB長度為c。若C為直角，則AB就是O的直徑，即c= 2r。  （特殊角正弦函數(shù)值） 若C為銳角或鈍角，過B作直徑BC交 O于C，連接C'A，顯然BC'= 2r=R。若C為銳角，則C'與C落于AB

3、的同側(cè)，此時(shí)C'=C（同弧所對(duì)的圓周角相等）在RtABC'中有若C為鈍角，則C'與C落于AB的異側(cè)，BC的對(duì)邊為a，此時(shí)C'=A，亦可推出  。考慮同一個(gè)三角形內(nèi)的三個(gè)角及三條邊，同理，分別列式可得  。3. 分角定理在ABC中，D是邊BC上異于B,C或其延長線上的一點(diǎn)，連結(jié)AD，則有BD/CD=(sinBAD/sinCAD)*(AB/AC)。證明：SABD/SACD=BD/CD (1.1)SABD/SACD=(1/2)×AB×AD×sinBAD/(1/2) ×AC

4、5;AD×sinCAD = (sinBAD/sinCAD) ×(AB/AC) (1.2)由1.1式和1.2式得BD/CD=(sinBAD/sinCAD) ×(AB/AC) 4. 張角定理在ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AD。那么sinBADAC+sinCADAB=sinBACAD。證明：設(shè)1=BAD，2=CAD由分角定理，SABD/SABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin1/sinBAC) (BD/BC)*(sinBAC/AD)=sin1/AC (1.1)SACD/SABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin2/sinBAC) (CD/BC)*

5、(sinBAC/AD)=sin2/AB (1.2)(1.1)式+(1.2)式即得 sin1/AC+sin2/AB=sinBAC/AD 5. 帕普斯定理直線l1上依次有點(diǎn)A,B,C，直線l2上依次有點(diǎn)D,E,F，設(shè)AE,BD交于G，AF,DC交于I，BF,EC交于H，則G,I,H共線。6. 蝴蝶定理設(shè)S為圓內(nèi)弦AB的中點(diǎn)，過S作弦CF和DE。設(shè)CF和DE各相交AB于點(diǎn)M和N，則S是MN的中點(diǎn)。證明：過O作OLED，OTCF，垂足為L、T，連接ON，OM，OS，SL，ST，易明ESDCSFES/CS=ED/FC根據(jù)垂徑定理得：LD=ED/2，F(xiàn)T=FC/2ES/CS=EL/CT又E=CESLCST

6、SLN=STMS是AB的中點(diǎn)所以O(shè)SABOSN=OLN=90°O，S，N，L四點(diǎn)共圓，（一中同長）同理，O，T，M，S四點(diǎn)共圓STM=SOM，SLN=SONSON=SOMOSABMS=NS 7. 西姆松定理過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長線上的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。證明：若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP，CP，則因PLBC，PMAC，PNAB，有B、L、P、N和P、M、C、L分別四點(diǎn)共圓，有NBP = NLP = MLP= MCP.故A、B、P、C四點(diǎn)共圓。若A、P、B、C四點(diǎn)共圓，則NBP= MCP。因PLBC，PMAC，PNAB，有B、L

7、、P、N和P、M、C、L四點(diǎn)共圓，有NBP = NLP= MCP= MLP.故L、M、N三點(diǎn)共線。西姆松逆定理：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。證明：PMAC，PNAB ,所以A,M,N,P共圓8. 清宮定理設(shè)P、Q為ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點(diǎn)，P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F，則D、E、F在同一直線上.證明：A、B、P、C四點(diǎn)共圓，因此PCE=ABP點(diǎn)P和V關(guān)于CA對(duì)稱所以PCV=2PCE又因?yàn)镻和W關(guān)于AB對(duì)稱，所以PBW=2ABP從這三個(gè)式子，有PCV=PB

8、W另一方面，因?yàn)镻CQ和PBQ都是弦PQ所對(duì)的圓周角，所以PCQ=PBQ兩式相加，有PCV+PCQ=PBW+PBQ即QCV=QBW即QCV和QBW有一個(gè)頂角相等，因此但是，所以同理 ，于是根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理，D、E、F三點(diǎn)在同一直線上。9. 密克定理三圓定理：設(shè)三個(gè)圓C1, C2, C3交于一點(diǎn)O，而M, N, P分別是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交點(diǎn)。設(shè)A為C1的點(diǎn)，直線MA交C2于B，直線PA交C3于C。那么B, N, C這三點(diǎn)共線。逆定理：如果是三角形，M, N, P三點(diǎn)分別在邊AB, BC, CA上，那么AMP、BMN、CPN 的外接圓交于一點(diǎn)O。完全

9、四線形定理如果ABCDEF是完全四線形，那么三角形的外接圓交于一點(diǎn) O，稱為密克點(diǎn)。四圓定理設(shè)C1, C2,C3, C4為四個(gè)圓，A1和B1是C1和C2的交點(diǎn)，A2和B2是C2 和C3的交點(diǎn)，A3和B3是C3和C4的交點(diǎn)，A4和B4是C1和C4的交點(diǎn)。那么A1, A2, A3, A4四點(diǎn)共圓當(dāng)且僅當(dāng)B1, B2, B3, B4四點(diǎn)共圓。證明：在ABC的BC,AC,AB邊上分別取點(diǎn)W,M,N，對(duì)AMN,BWN和CWM分別作其外接圓，則這三個(gè)外接圓共點(diǎn)。該定理的證明很簡單，利用“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角和為180度”及其逆定理。現(xiàn)在已知U是和的公共點(diǎn)。連接UM和UN，四邊形BNUW和四邊形CMUW分別是和

10、的內(nèi)接四邊形，UWB+UNB=UNB+UNA=180度UWB=UNA。同理UWB+UWC=UWC+UMC=180度UWB=UMC。UMC+UMA=180度UNA+UMA=180度，這正說明四邊形ANUM是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，而該圓必是，U必在上。10. 婆羅摩笈多定理圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線ACBD，垂足為M。EFBC，且M在EF上。那么F是A D的中點(diǎn)。證明：ACBD，MEBCCBD=CMECBD=CAD，CME=AMFCAD=AMFAF=MFAMD=90°，同時(shí)MAD+MDA=90°FMD=FDMMF=DF，即F是AD中點(diǎn)逆定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則一邊

11、中點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊。證明：MAMD，F(xiàn)是AD中點(diǎn)AF=MFCAD=AMFCAD=CBD，AMF=CMECBD=CMECME+BME=BMC=90°CBD+BME=90°EFBC11. 托勒密定理圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC證明：過C作CP交BD于P，使1=2，又3=4，ACDBCP得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC 。又ACB=DC

12、P，5=6，ACBDCP得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD 。 +得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC即AC·BD=AB·CD+AD·BC12. 梅涅勞斯定理當(dāng)直線交三邊所在直線于點(diǎn)時(shí)，。證明：過點(diǎn)C作CPDF交AB于P，則兩式相乘得梅涅勞斯逆定理：若有三點(diǎn)F、D、E分別在邊三角形的三邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。證明：先假設(shè)E、F、D三點(diǎn)不共線，直線DE與AB交于P。由梅涅勞斯定理的定理證明（如利用平行線分線段

13、成比例的證明方法）得：(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 AP/PB=AF/FB ； (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ； AB/PB=AB/FB ； PB=FB；即P與F重合。 D、E、F三點(diǎn)共線。13. 塞瓦定理在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。ADC被直線BOE所截，(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1ABD被直線COF所截， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 /約分得：(DB

14、/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=114. 圓冪定理相交弦定理：如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點(diǎn)P，連接AD、BC，由于B與D同為弧AC所對(duì)的圓周角，因此由圓周角定理知：B=D，同理A=C，所以。所以有：，即：。割線定理：如圖，連接AD、BC。可知B=D，又因?yàn)镻為公共角，所以有，同上證得。切割線定理：如圖，連接AC、AD。PAC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有PBC=D，又因?yàn)镻為公共角，所以有 ，易證 圖，PA、PC均為切線，則PAO=PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此 。

15、所以PA=PC，所以 。綜上可知， 是普遍成立的。弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)。點(diǎn)對(duì)圓的冪P點(diǎn)對(duì)圓O的冪定義為 點(diǎn)P在圓O內(nèi)P對(duì)圓O的冪為負(fù)數(shù)；點(diǎn)P在圓O外P對(duì)圓O的冪為正數(shù)；點(diǎn)P在圓O上P對(duì)圓O的冪為0。三角形五心：內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)外心：三角形三條邊的垂直平分線（中垂線）的相交點(diǎn)重心：三角形三邊中線的交點(diǎn)垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)旁心：三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心九點(diǎn)圓心：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的

16、中點(diǎn)九點(diǎn)共圓的圓心15. 根心定理三個(gè)兩兩不同心的圓，形成三條根軸，則必有下列三種情況之一：（1） 三根軸兩兩平行；（2） 三根軸完全重合；（3） 三根軸兩兩相交，此時(shí)三根軸必匯于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三圓的根心。平面上任意三個(gè)圓，若這三個(gè)圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行。根軸定義：A與B的根軸L1：到A與B的切線相等的點(diǎn)。B與C的根軸L2：到B與C的切線相等的點(diǎn)。證明設(shè)A、B、C三個(gè)圓，圓心不重合也不共線?？疾霯1與L2的交點(diǎn)P。因?yàn)镻在L1上，所以：P到A的切線距離=P到B的切線距離。因?yàn)镻在L2上，所以：P到B的切線距離=P到C的切線距離

17、。所以：P到A的切線距離=P到B的切線距離=P到C的切線距離。也就是：P到A的切線距離=P到C的切線距離。所以：P在A與C的根軸上。所以：三個(gè)根軸交于一點(diǎn)。16. 雞爪定理設(shè)ABC的內(nèi)心為I，A內(nèi)的旁心為J，AI的延長線交三角形外接圓于K，則KI=KJ=KB=KC。證明：由內(nèi)心和旁心的定義可知IBC=ABC/2，JBC=(180°-ABC)/2IBC+JBC=ABC/2+90°-ABC/2=90°=IBJ同理，ICJ=90°IBJ+ICJ=180°IBJC四點(diǎn)共圓，且IJ為圓的直徑AK平分BACKB=KC（相等的圓周角所對(duì)的弦相等）又IBK=I

18、BC+KBC=ABC/2+KAC=ABI+BAK=KIBKB=KI由直角三角形斜邊中線定理逆定理可知K是IJ的中點(diǎn)KB=KI=KJ=KC逆定理：設(shè)ABC中BAC的平分線交ABC的外接圓于K。在AK及延長線上截取KI=KB=KJ，其中I在ABC的內(nèi)部，J在ABC的外部。則I是ABC的內(nèi)心，J是ABC的旁心。證明：利用同一法可輕松證明該定理的逆定理。取ABC的內(nèi)心I'和旁心J，根據(jù)定理有KB=KC=KI'=KJ'又KB=KI=KJI和I'重合，J和J重合即I和J分別是內(nèi)心和旁心17. 費(fèi)爾巴哈定理三角形的九點(diǎn)圓與其內(nèi)切圓以及三個(gè)旁切圓相切設(shè)ABC的內(nèi)心為I，九點(diǎn)圓的

19、圓心為V。三邊中點(diǎn)分別為L，M，N，內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)分別是P，Q，R，三邊上的垂足分別為D，E，F(xiàn)。不妨設(shè)AB>AC。假設(shè)I與V相切于點(diǎn)T，那么LT與I相交，設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為S。過點(diǎn)S作I的切線，分別交AB和BC于V，U，連接AU。又作兩圓的公切線TX，使其與邊AB位于LT的同側(cè)。由假設(shè)知XTL=LDT而TX和SV都是I的切線，且與弦ST所夾的圓弧相同，于是XTL=VST因此LDT=VST則UDT+UST=180°這就是說，S，T，D，U共圓。而這等價(jià)于：LU×LD=LS×LT又 LP²=LS×LT故有 LP²=LU×

20、LD另一方面，T是公共的切點(diǎn)，自然在V上，因此 L，D，T，N共圓，進(jìn)而有LTD=LND由已導(dǎo)出的S，T，D，U共圓，得LTD=STD=180°-SUD=VUB=AVU-B而LND=NLB-NDB=ACB-NBD=C-B（這里用了LNAC，以及直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半）所以，就得到AVU=C注意到AV，AC，CU，UV均與I相切，于是有AIR=AIQUIS=UIPRIS=QIS三式相加，即知AIU=180°也即是說，A，I，U三點(diǎn)共線。另外，AV=AC，這可由AIVAIC得到。（這說明，公切點(diǎn)T可如下得到：連接AI，并延長交BC于點(diǎn)U，過點(diǎn)U作I的切線，切點(diǎn)為S，

21、交AB于V，最后連接LS，其延長線與I的交點(diǎn)即是所謂的公切點(diǎn)T。）連接CV，與AU交于點(diǎn)K，則K是VC的中點(diǎn)。前面已得到：LP²=LU×LD而2LP=(BL+LP)-(CL-LP)=BP-CP=BR-CQ=(BR+AR)-(CQ+AQ)=AB-AC=AB-AV=BV即 LP=BV然而LK是CBV的中位線于是 LK=BV因之 LP=LK故 LK²=LU×LD由于以上推導(dǎo)均可逆轉(zhuǎn)，因此我們只需證明： LK²=LU×LD。往證之這等價(jià)于：LK與圓KUD相切于是只需證：LKU=KDU再注意到 LKAB（LK是CBV的中位線），即有LKU=BA

22、U又AU是角平分線，于是LKU=CAU=CAK于是又只需證：CAK=KDU即證：CAK+CDK=180°這即是證：A，C，D，K四點(diǎn)共圓由于 AKKC（易得），ADDC所以 A，C，D，K確實(shí)共圓。這就證明了I與V內(nèi)切。旁切圓的情形是類似的。證畢另略證：OI2=R2-2RrIH2=2r2-2Rr'OH2=R2-4Rr'(其中r是垂心H的垂足三角形的內(nèi)切圓半徑，R、r是三角形ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑)FI2=1/2(OI2+IH2)-1/4OH2=(1/2R-r)2FI=1/2R-r這就證明了九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓內(nèi)切（九點(diǎn)圓半徑為外接圓半徑一半。F是九點(diǎn)圓圓心，I為內(nèi)心）18. 莫利定理將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形證明：設(shè)ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ為各角的三等分線，三邊長為a,b,c,三內(nèi)角為3，3，3，則+=60°。在ABC中，由正弦定理，得AF=csin/sin(+)。不失一般性，ABC外接圓直徑為1，則由正弦定理，知c=sin3，所以AF=（sin3*sin）/sin(60°-)= sin*s