曲線的凹凸性教案

1、課時(shí)教案授課章節(jié)及題目第四章曲線的凹凸性授課時(shí)間第15周周二第1、2節(jié)課次1學(xué)時(shí)2教學(xué)目標(biāo)與要求（分掌握、熟悉、了解三個(gè)層次）曲線的凹凸性的判定定理，會(huì)求曲線的凹凸區(qū)間。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凹凸性的方法教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)/、存在的連續(xù)點(diǎn)、也可能是曲線的凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)。教學(xué)用具無(wú)教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)、時(shí)間授課內(nèi)容教學(xué)方法課程導(dǎo)入（10分鐘）中值定理提問(wèn)一、曲線的凹凸與拐點(diǎn)1.凹凸性的概念：新課講解 （70分鐘） 新課講解 （70分鐘）鐘）定義f號(hào))f(X(X2)f(X2)OXi"如果恒:OXi設(shè)f（向上）凹的（曲K)yX 2 2那么稱(chēng)f（X在上巾圖您X.X1X22X1

2、X2X 2網(wǎng)點(diǎn)x,x2 .恒有講解講解啟發(fā)X1+X2)f(Xi)+f(X2)(2/2-那么稱(chēng)f(X»EI上的圖形是(向上)凸的(或凸弧).定義，設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù).如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱(chēng)該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱(chēng)該曲線在區(qū)間I上是凸的2.曲線凹凸性的判定定理設(shè)在ab上連續(xù).在(a內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù).那么若在(a,b)內(nèi)f(x)a0.則f在a,b上的圖形是凹的；(2)若在(a,b)內(nèi)f'(X)<0.則f(X)在a,b上的圖形是凸的.證明只證(1)(2)的證明類(lèi)似).設(shè)x1,x2wa,b

3、,(x<X2).記入22.由拉格朗日中值公式,得f(Xi)-f(X0)=fS)(X1-X0)=f(i)2x2.X1<1<X0.f(X2)-f(Xo)=f6)(X2-X0)=f'(J)1.X0<2<X2.兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得f(X1)+f(X2)-2f(X0)=f&-f仁1)X22X1=fW1)>0.即()2()>f(2).所以f(4在a,b上的圖形是凹的，拐點(diǎn)：連續(xù)曲線y=f(X(上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱(chēng)為這曲線的拐點(diǎn),確定曲線y=f(R的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟：(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域；(2)求出在二階導(dǎo)數(shù)f'

4、;(>)；(3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(4)判斷或列表判斷.確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)；注：根據(jù)具體情況（1）、（3）步有時(shí)省略.例1,判斷曲線y=1nx的凹凸性,1.1解：丫-X4一X2，因?yàn)樵诤瘮?shù)y=1nx的定義域（0,十8）內(nèi).y”<0.所以曲線y=1nx是凸的3，-1、例2,判斷曲線y=X的凹凸性.解：因?yàn)閥，=3x2.y"=6x"y"=0得*=0,當(dāng)X<0時(shí).y*<0.所以曲線在（-8,0內(nèi)為凸的；當(dāng)x>0時(shí).y*0,所以曲線在0,+如）內(nèi)為凹的，例3,求曲線y=2x3+3x212x+14的拐點(diǎn).解：y&

5、#39;=6x2+6x12.y*=12x+6=6（2x+1），令y*=0.得x=,因?yàn)楫?dāng)x<2-時(shí).y*<0；當(dāng)x>2-時(shí).y'a0.所以點(diǎn)（2.20-2）是曲線的拐點(diǎn).例4,求曲線y=3x44x3+1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間，解:（1）函數(shù)y=3/-4x3+1的定義域?yàn)椋ㄆ?，十七）；y'=12x312x2.y"=36x2-24x=36x（x-3）;2（3）解萬(wàn)程y'=0.得為=0.乂2；3（4）列表判斷：0)0(0.2/3)2/3(2/3.收)f”防間(F,0和J產(chǎn)上曲線是凹的.在區(qū)同網(wǎng)23上曲線是小的，點(diǎn)(01,1）和（211）是曲線的拐點(diǎn)c11)272327'一、一rr，、4例5向曲線y=x是否有拐點(diǎn)？解y'=4x3.y"=12x2,當(dāng)x#0時(shí).y"A0.在區(qū)間(一g,+8)內(nèi)曲線是凹的.因此曲線無(wú)拐點(diǎn),例6，求曲線y=3反的拐點(diǎn),解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?一00,+=0);、,-1M，r-2(2)y3我-V9x3守(3)函數(shù)無(wú)二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為X=0；(4)判斷：當(dāng)X<0時(shí).y*：>0；當(dāng)X>0時(shí).y“<0,因此.點(diǎn)(0,0)是曲線的拐點(diǎn)，環(huán)節(jié)、時(shí)間授課內(nèi)容教學(xué)方法課后作業(yè)(10分鐘)課堂小結(jié)：曲線的彎曲方向一一曲線的凹凸性；凹凸