山東省2015年高三復(fù)習(xí)圓錐曲線的考點(diǎn)知識(shí)

1、考點(diǎn)卡片1軌跡方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1曲線的方程和方程的曲線在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系以后，坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)都可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）表示，這就是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)當(dāng)點(diǎn)按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)形成曲線時(shí)，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）中的變量x、y存在著某種制約關(guān)系，這種制約關(guān)系反映到代數(shù)中，就是含有變量x、y的方程一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看做適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f（x，y）=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)那么這個(gè)方程就叫做曲線的方程，這條曲線就叫做方程的曲線2求曲線方程的一般步驟（直接法）（1）建系設(shè)點(diǎn)

2、：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用（x，y）表示曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）列式：寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合M|p（M）；（3）代入：用坐標(biāo)表示出條件p（M），列出方程f（x，y）=0；（4）化簡(jiǎn)：化方程f（x，y）=0為最簡(jiǎn)形式；（5）證明：證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是在曲線上的點(diǎn)【常用解法】（1）直接法：根據(jù)題目條件，直譯為關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系，再利用解析幾何有關(guān)公式（如兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、夾角公式等）進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)這種求軌跡方程的過(guò)程不需要特殊的技巧（2）定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)

3、化為某一基本軌跡的定義條件（3）相關(guān)點(diǎn)法：用所求動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）表示已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的坐標(biāo)（x0，y0），即得到x0=f（x，y），y0=g（x，y），再將x0，y0代入M滿足的條件F（x0，y0）=0中，即得所求一般地，定比分點(diǎn)問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題可用相關(guān)點(diǎn)法求解，相關(guān)點(diǎn)法的一般步驟是：設(shè)點(diǎn)轉(zhuǎn)換代入化簡(jiǎn)（4）待定系數(shù)法（5）參數(shù)法（6）交軌法2圓與圓的位置關(guān)系及其判定【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1圓與圓的位置關(guān)系2圓與圓的位置關(guān)系的判定設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，|O1O2|=d（1）幾何法：利用兩圓的圓心距與兩圓半徑的關(guān)系判斷 外離（4條公切線）：dr1+r2 外切（3條公切線）：d=

4、r1+r2 相交（2條公切線）：|r1r2|dr1+r2 內(nèi)切（1條公切線）：d=|r1r2| 內(nèi)含（無(wú)公切線）：0d|r1r2|（2）代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，但要注意一個(gè)x值可能對(duì)應(yīng)兩個(gè)y值3橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1橢圓的范圍2橢圓的對(duì)稱性3橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)（如上圖）：A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為拖圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)4橢圓的離心率離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e=，

5、且0e1離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個(gè)橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a25橢圓中的關(guān)系：a2=b2+c24橢圓的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】橢圓定義的應(yīng)用：1、利用定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、利用橢圓上點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離等于2a解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題5拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)：6拋物線的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)：7雙曲線的定義【定義】 雙曲線（Hyperbola）是指與平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值的點(diǎn)的軌跡，也可以定義為到定點(diǎn)與定直線的距離之

6、比是一個(gè)大于1的常數(shù)的點(diǎn)之軌跡雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交截線雙曲線在一定的仿射變換下，也可以看成反比例函數(shù)兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)（focus），定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率【標(biāo)準(zhǔn)方程】（a，b0），表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；（a，b0），表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線【性質(zhì)】 這里的性質(zhì)以（a，b0）為例講解：焦點(diǎn)為（±c，0），其中c2=a2+b2；準(zhǔn)線方程為：x=±；離心率e=1；漸近線：y=±x；焦半徑公式：左焦半徑：r=|ex+a|，右焦半徑：r=|exa|【實(shí)例解析】例1：雙曲線=1的漸近線方程為 解：由=0可得y=

7、±2x，即雙曲線=1的漸近線方程是y=±2x故答案為：y=±2x 這個(gè)小題主要考察了對(duì)漸近線的理解，如果是在記不住，可以把那個(gè)等號(hào)后面的1看成是0，然后因式分解得到的兩個(gè)式子就是它的漸近線例2：已知雙曲線的一條漸近線方程是x2y=0，且過(guò)點(diǎn)P（4，3），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為x2y=0，設(shè)雙曲線方程為y2=（0），雙曲線過(guò)點(diǎn)P（4，3），32=，即=5所求雙曲線方程為y2=5，即：=1 一般來(lái)書，這是解答題的第一問(wèn)，常常是根據(jù)一些性質(zhì)求出函數(shù)的表達(dá)式來(lái)，關(guān)鍵是找到a、b、c三者中的兩者，最后還要判斷它的焦點(diǎn)在x軸還是y軸，知道這些

8、參數(shù)后用待定系數(shù)法就可以直接寫出函數(shù)的表達(dá)式了【考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】 這里面的兩個(gè)例題是最基本的，必須要掌握，由于雙曲線一般是在倒數(shù)第二個(gè)解答題出現(xiàn)，難度一般也是相當(dāng)大的，在這里可以有所取舍，對(duì)于基礎(chǔ)一般的同學(xué)來(lái)說(shuō)，盡量的把這些基礎(chǔ)的分拿到才是最重要的，對(duì)于還剩下的部分，盡量多寫8雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（a0，b0）（a0，b0）圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1（c，0），F(xiàn)2（ c，0）F1（0，c），F(xiàn)2（0，c） 焦距|F1F2|=2ca2+b2=c2范圍|x|a，yR|y|a，xR對(duì)稱關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)（a，0）（a，0）（0，a）（0，a）軸實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛

9、軸長(zhǎng)2b離心率e=（e1）準(zhǔn)線x=±y=±漸近線±=0±=09雙曲線的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（a0，b0）（a0，b0）圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1（c，0），F(xiàn)2（ c，0）F1（0，c），F(xiàn)2（0，c） 焦距|F1F2|=2ca2+b2=c2范圍|x|a，yR|y|a，xR對(duì)稱關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)（a，0）（a，0）（0，a）（0，a）軸實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b離心率e=（e1）準(zhǔn)線x=±y=±漸近線±=1±=110圓錐曲線的共同特征【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】圓錐曲線的共同特征： 圓錐去想上的點(diǎn)

10、到一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為定值e當(dāng)0e1時(shí)，圓錐曲線是橢圓；當(dāng)e1時(shí)，圓錐曲線是雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)，圓錐去想是拋物線其中定點(diǎn)是圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，定直線是相應(yīng)于這個(gè)交點(diǎn)的準(zhǔn)線11直線與圓錐曲線的關(guān)系【直線與圓錐曲線的關(guān)系】 直線與圓錐曲線的關(guān)系主要是相不相交，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為多少，由此而引出的圓錐曲線到直線的距離，圓錐曲線與直線相切，直線截圓錐曲線的線段長(zhǎng)度等問(wèn)題，是高考的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考的一個(gè)難點(diǎn)下面簡(jiǎn)單的說(shuō)一個(gè)例題供大家參悟【例題講解】例：已知ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（0，1），（0，1），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m0）（1）求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程，并判斷

11、軌跡E為何種圓錐曲線；（2）當(dāng)m=時(shí)，過(guò)點(diǎn)F（1，0）的直線l交曲線E于M，N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q（M，Q不重合） 試問(wèn)：直線MQ與x軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：（1）設(shè)點(diǎn)C（x，y），由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m0），得：，化簡(jiǎn)得：mx2+y2=1（x0）當(dāng)m1時(shí)，軌跡E表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且除去（0，1），（0，1）兩點(diǎn)；當(dāng)m=1時(shí)，軌跡E表示以（0，0）為圓心，半徑是1的圓，且除去（0，1），（0，1）兩點(diǎn)；當(dāng)1m0時(shí)，軌跡E表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且除去（0，1），（0，1）兩點(diǎn)；當(dāng)m0時(shí)，軌跡E表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，且除

12、去（0，1），（0，1）兩點(diǎn)（2）當(dāng)m=時(shí)，曲線E的方程為由題意可知直線l的斜率存在切不等于0，則可設(shè)l：y=k（x1），再設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x2，y2） （x1x2）聯(lián)立，得（1+2k2）x24k2x+2k22=0，M，Q不重合，則x1x2，y1y2MQ所在直線方程為，令y=0，得=直線MQ過(guò)定點(diǎn)（2，0） 這個(gè)題符合高考的一貫命題思路，先求曲線表達(dá)式，第二問(wèn)討論的是直線與點(diǎn)的關(guān)系，嚴(yán)格的來(lái)說(shuō)線段也可以說(shuō)是點(diǎn)的關(guān)系解題思路就是應(yīng)用韋達(dá)定理，把直線的自變量和因變量都用x1，x2和參數(shù)k表示，然后看自變量和因變量的關(guān)系，應(yīng)該說(shuō)思路不難，難點(diǎn)在于計(jì)算，這也告訴大家，要解決好

13、這類題，計(jì)算能力必須加強(qiáng)，另外，考的時(shí)候盡量合理利用時(shí)間【考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】 本考點(diǎn)是非常重要的一個(gè)考點(diǎn)，基本上都是作為壓軸題的形式在考試中出現(xiàn)，解決這類題除了掌握常用的一些方法外，還需要加強(qiáng)計(jì)算的能力，在考試當(dāng)中盡量的多拿分12直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題【概述】 直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題是高考的必考點(diǎn)，比方說(shuō)求封閉面積，求距離，求他們的關(guān)系等等，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的關(guān)系，通過(guò)這兩個(gè)關(guān)系的變形去求解【實(shí)例解析】例：已知圓錐曲線C上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1（1，0）、F2（1，0）的距離之和為常數(shù)，曲線C的離心率（1）求圓錐曲線C的方程；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2的任意一條直線與圓錐曲線C相交于A、B，試證明在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)P，使的值是常數(shù) 解：（1）依題意，設(shè)曲線C的方程為（ab0），c=1，a=2，所求方程為（2）當(dāng)直線AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x1），由，得（3+4k2）x28k2x+4（k23）=0，從而，設(shè)P（t，0），則=當(dāng)，解得此時(shí)對(duì)kR，；當(dāng)ABx軸時(shí)，直線AB的方程為x=1，xA=xB=1，對(duì)，即存在x軸上的點(diǎn)