數(shù)學史的教學價值

1、 數(shù)學史的教學價值數(shù)學史研究數(shù)學概念、數(shù)學方法和數(shù)學思想的起源與發(fā)展，及其與社會政治、經(jīng)濟和一般文化的聯(lián)系。數(shù)學是人類文明的一個重要組成部分，幾千年來人類智慧的結(jié)晶。1972年，在第二屆國際數(shù)學教育大會（ICMC）成立了“數(shù)學史與數(shù)學教育關(guān)系國際研究小組”（The International Study Group on the Relationship between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM），標志著數(shù)學史與數(shù)學教育關(guān)系作為一個新的研究領(lǐng)域的出現(xiàn)。HMP研究的目標是結(jié)合數(shù)學史與數(shù)學教學，以便提升數(shù)學教育的成效。它與國際數(shù)學教育會議（

2、ICMC）同步，每四年舉辦一次國際性大型研討會。那么數(shù)學史對數(shù)學教育的意義有什么意義？它在當前的數(shù)學教學改革中應該發(fā)揮怎樣的作用？當前正在我國推進的基礎(chǔ)教育改革采取了一系列的措施，加強數(shù)學史和數(shù)學文化的教育。2003年頒布的普通高中數(shù)學課程標準（實驗）前言部分“二.課程的基本理念”第8條“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”，其中指出：“數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學課程應適當反映數(shù)學的歷史、應用和發(fā)展趨勢，數(shù)學對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學發(fā)展的推動作用，數(shù)學科學的思想體系，數(shù)學的美學價值，數(shù)學家的創(chuàng)新精神。數(shù)學課程應幫助學生了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成爭取到數(shù)學觀。為

3、此，高中數(shù)學課程提倡數(shù)學的文化價值，并在適當?shù)膬?nèi)容中提出數(shù)學文化的學習要求，設(shè)立數(shù)學史選講等專題?！北疚慕Y(jié)合數(shù)學教學中的案例探討數(shù)學史在數(shù)學教學中的意義和作用，從而理解數(shù)學的本質(zhì)、促進數(shù)學活動過程教學、培養(yǎng)數(shù)學探索創(chuàng)新精神等方面進行了論述。二、數(shù)學史在數(shù)學教學中的作用1. 數(shù)學史具有培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)造性思維能力的價值 進入21世紀，數(shù)學教育界談?wù)撟疃嗟氖侨绾闻囵B(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)造思維能力。米山國藏在分析致力于發(fā)現(xiàn)發(fā)明的數(shù)學精神時認為：“整個數(shù)學幾乎全部都是研究精神的產(chǎn)物，致力于發(fā)明發(fā)現(xiàn)的精神的產(chǎn)物。不能觸及到研究的精神，不知道發(fā)明、發(fā)現(xiàn)的著眼點、方針、法則等，就不可能培養(yǎng)具有創(chuàng)見性的頭腦?！备ベ嚨撬?/p>

4、爾反復強調(diào)：“學習數(shù)學的唯一正確方法是進行再創(chuàng)造，也就是由學生本人把要學的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來；教師的任務(wù)是引導和幫助學生去進行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生?！币虼耍瑢W習數(shù)學首先要培養(yǎng)創(chuàng)新精神。數(shù)學史是數(shù)學概念、數(shù)學結(jié)構(gòu)、數(shù)學關(guān)系的揚棄、發(fā)展和創(chuàng)新的結(jié)果。古希臘，畢達哥拉斯學派相信“萬物皆數(shù)”，即宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。但學派成員希帕蘇斯（Hipasus，公元前470念左右）首先發(fā)現(xiàn)：邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示的。希帕蘇斯因觸犯學派的信條被拋進大海。這事例顯示出數(shù)學的批判思維和批判精神不接受任何未經(jīng)檢驗的理論，也不承認

5、有絕對正確的理論，即使是哪些已被證明比較成熟的理論，也不應成為束縛甚至禁錮思想的教條，而應作為進一步探索研究的指南和起點。反駁舊思想，提出新問題，引出新成果，正是數(shù)學創(chuàng)造性、探索性本質(zhì)上的表現(xiàn)，也是衡量數(shù)學成果是否先進、有無價值的尺度。2.數(shù)學史具有挖掘數(shù)學思想方法，提高學生解決問題能力的價值數(shù)學教育的根本目的在于培養(yǎng)學生數(shù)學能力，即運用數(shù)學解決實際問題和進行發(fā)明創(chuàng)造的能力，而這種能力，不僅表現(xiàn)在對數(shù)學知識的記憶，而且更主要地反映在數(shù)學思想方法的素養(yǎng)。米山國藏曾指出：“學生們在初中、高中接受的數(shù)學知識，因畢業(yè)進入社會后幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的數(shù)學，所以通常是出校門后不到一兩年，很快就

6、忘掉了。然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，只有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終身?！睌?shù)學的發(fā)展，主要是數(shù)學思想的發(fā)展，美國數(shù)學史家M.克萊因?qū)⑵鋽?shù)學史名著取名為古今數(shù)學思想正是為了表達這一觀點。英國數(shù)學史家丹皮爾說：“再沒有什么故事能比科學思想發(fā)展的故事更有魅力了?！彼裕瑪?shù)學史是學習數(shù)學思想方法最好的素材了。例如，解決數(shù)學問題的一般方法化歸方法。“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱，其基本思想：人們在解決數(shù)學問題時，常常將待解決的問題A通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個問題B，而問題B是相對容易解決或已有固定解決的問題，且通過對問題

7、B的解決可得原問題A的解答。在歷史上，歐幾里得的幾何原本對命題所作的巧妙選擇和合乎邏輯的安排可謂是化歸思想方法的出色應用，他把每一個命題安排為前面某些命題的演繹推理的結(jié)論，而這些作為演繹推理前提的命題則又是它前面的命題演繹推理所得到，如此，將所有當時已知命題的證明歸結(jié)為某幾個簡單命題的推證，最后分析這些簡單命題的特征而選作公理，從而使得幾何變成一個嚴密的理論體系。3.數(shù)學史具有激發(fā)學習興趣的價值1972年8月24日美國數(shù)學家魏爾德（R.L.Wilder）在全美數(shù)學教師協(xié)會（NCTM）大會演講中稱：大家都知道一項最困難的問題是學生自認為對數(shù)學沒有任何需要，憤恨被迫學習數(shù)學。假如他能夠精神自主的話

8、就不要學習數(shù)學。這里魏爾德的演講反映了中學生數(shù)學學習動機的缺失。動機是激勵人、推動人去行動的一種力量，從心理學的觀點上講，動機可以分為兩個部分，人的好奇心、求知欲、興趣、愛好構(gòu)成了有利于創(chuàng)造的內(nèi)部動機；社會責任感構(gòu)成了有利于創(chuàng)造的外部動機。而興趣是最好的動機。布魯納說：“學習的最好刺激，乃是對所學材料的興趣?！倍毡局袑W生在奪取國際IEA（國際教育成就評價會）調(diào)查總分第一名的同時，卻發(fā)現(xiàn)日本學生不喜歡數(shù)學的比例也是第一，這說明他們?nèi)〉玫暮贸煽兪窃谏鐣?、學校、家長的壓力下獲得的。我國一個關(guān)于高中生學習數(shù)學情況調(diào)查也發(fā)現(xiàn)“我不喜歡數(shù)學，但為了高考，我必須學好數(shù)學”的學生占被調(diào)查的比例高達62.21

9、%，而對數(shù)學“很感興趣”的只有23.12%。美國學者Bidwell曾給傳統(tǒng)的數(shù)學課堂打了這樣的比喻：“在課堂里，我們常常這樣看待數(shù)學，好像我們是在一個孤島上學習似的。我們每天一次去島上學習數(shù)學，埋頭鉆進一個純粹的、潔凈的、邏輯上可靠的、只有清晰線條而沒有骯臟角落的書房。學生們覺得數(shù)學是封閉的、呆板的、冰冷無情的、一切都已發(fā)現(xiàn)好了的。”數(shù)學史是教育指南針。教師可以利用數(shù)學史挖掘生動的教學素材，對所學的數(shù)學內(nèi)容進行加工處理，會使數(shù)學課變成很有興趣的一種探索。數(shù)學史中有很多能夠培養(yǎng)學生學習數(shù)學興趣的內(nèi)容。首先與數(shù)學有關(guān)的游戲。例如，巧拿火柴棒、幻方、商人過河問題等，它們都有很強的操作性，可以在課堂上

10、或課后研究都可以起到很好的效果。其次是歷史上的一些數(shù)學名題，例如，七橋問題、哥德巴赫猜想等。許多歷史名題的提出與解決與大數(shù)學家有關(guān)。學生在探索解決這類問題時感到本人正在探索曾經(jīng)被大數(shù)學家探索過的問題，學生會有一種智力的挑戰(zhàn)，也會從中獲得成功的感受，這無疑可以培養(yǎng)他們的自信心等一系列的積極情感與體驗。4.數(shù)學史具有培養(yǎng)美學價值進行數(shù)學創(chuàng)造的最主要的驅(qū)策力是對美的追求。哲學家和數(shù)學家羅素從現(xiàn)代數(shù)學角度對數(shù)學的美曾直言不諱地說：“數(shù)學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也有至高無上的美正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純

11、凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數(shù)學里得到。”數(shù)學美在早期數(shù)學中就產(chǎn)生了萌芽。古希臘的畢達哥拉斯學派首先提出“美是和諧與比例的合度”的觀點，最早根據(jù)數(shù)與數(shù)的比例論述美及美的形式，認為美與事物形式所表現(xiàn)出來的均衡、對稱、和諧、多樣統(tǒng)一分不開。歐幾里得是數(shù)學演繹美與嚴謹美的鼻祖，他的幾何原本可以說是數(shù)學著作中的美學典范。他把豐富多彩的幾何知識按公理系統(tǒng)方式安排，使得反映多種幾何事實的公理、定理都能用論證串聯(lián)起來，組成一個井井有條的統(tǒng)一的有機整體，給人以多

12、樣統(tǒng)一的形態(tài)美的享受。數(shù)學美貫穿于數(shù)學科學發(fā)展歷史的始終，因此有效利用數(shù)學史，可以引導學生領(lǐng)悟數(shù)學美。教師應該從數(shù)學史中挖掘數(shù)學家的美學思想，要善于展示數(shù)學美的光環(huán)，引導學生采摘美的花朵，體驗美的享受，培養(yǎng)學生的審美能力，使學生在接受數(shù)學知識的過程中受到美的陶冶。5.數(shù)學史具有培養(yǎng)愛國情操的價值中國人在世界數(shù)學發(fā)展進程中，做出了偉大的貢獻。歷史上出現(xiàn)了劉徽、祖沖之父子、秦九韶、楊輝等著名數(shù)學家及九章算術(shù)、數(shù)書九章、測圓海鏡等名著，創(chuàng)造了許多世界一流的成果。中國數(shù)學典籍九章算術(shù)形成了以計算為中心的機械化算法體系與歐幾里得幾何原本的公理化演繹體系成為世界數(shù)學的兩大支柱。針對一些教學內(nèi)容，如勾股定理

13、、圓周率、劉徽割圓術(shù)、楊輝三角等，應以切實的史料去豐富他們，使學生為我們歷史悠久和曾經(jīng)有過的許多成就而感到自豪。而我們的數(shù)學教材一直缺少數(shù)學史方面的內(nèi)容，許多學生讀完小學、中學的課程，卻連幾個著名數(shù)學家也不知道，不清楚數(shù)學悠久、輝煌而曲折的發(fā)展史，也不了解現(xiàn)代數(shù)學最新的發(fā)展情況。正如李元數(shù)教授所說，我們現(xiàn)在學習一點中國數(shù)學史，并不是鉆牛角尖去考證：“我的本家以前是還是怎么樣這么樣”重要的是不要數(shù)典忘祖，被外國的權(quán)威誤導以為以前我們樣樣不如人。知道我們祖先的成就，再學習一些先進方法，想念在“戒驕戒躁、不亢不卑”的作風下定能迅速成長。6.有助于提高教師的數(shù)學素養(yǎng)的價值教師都有這樣的經(jīng)驗：學生如果知

14、道知識的來龍去脈，那么就能較好地掌握知識?！皵?shù)學是一個學習如何合情推理的好科學”。實際上，許多教師自己對數(shù)學不感興趣為學生而學，缺乏背景了解，以致于無法在課堂上得心應手地展現(xiàn)數(shù)學史的教學活動。作為數(shù)學教師，不僅要透徹地了解所教的那一部分知識，而且還要從客觀上人是數(shù)學知識的產(chǎn)生與發(fā)展，這就是知其所以然，從而能教其所以然。數(shù)學教師應研究具體的個人，數(shù)學家是數(shù)學發(fā)展的主體力量，他們的成果與思想方法產(chǎn)生了持久且深刻的影響，他們在數(shù)學研究中的思維活動經(jīng)驗，對于教師理解學生的數(shù)學思維過程，具有極大的啟發(fā)性。三、基于數(shù)學史的數(shù)學活動教學設(shè)計將數(shù)學教學看成數(shù)學活動教學的數(shù)學教學觀念，來源于數(shù)學觀的轉(zhuǎn)變，即將數(shù)

15、學看成是一種絕對真理的靜態(tài)數(shù)學觀向著承認數(shù)學是人類的一種經(jīng)驗或擬經(jīng)驗活動的動態(tài)數(shù)學觀轉(zhuǎn)變。在這一理念的指引下，出現(xiàn)了“在做中學”、“數(shù)學化過程教學”等以學生自主參與活動為特征的“數(shù)學活動過程教學”?；跀?shù)學史的數(shù)學活動教學的要求專業(yè)知識與歷史知識總是互補的。就是說，不僅研究學習歷史需要具備一定的專業(yè)知識，而且學習專業(yè)知識也同樣需要用歷史知識幫助分析和思考。數(shù)學史是數(shù)學教學的指南針，是學習數(shù)學、認識數(shù)學的工具。教師要在教學中有效發(fā)揮數(shù)學史的教學價值。1.教師應該在課前做好充分準備，深入研究數(shù)學知識，弄清相關(guān)的概念、定理、公理、公式的數(shù)學史知識2.數(shù)學史知識源遠流長，教師應該根據(jù)學生的現(xiàn)有的認知水

16、平和特點，適當選材，找出其中的重點和難點，利用數(shù)學史知識幫助學生理解。3.研究數(shù)學教學目標，制定合理的教學方法和過程。確定哪些知識需要數(shù)學史的幫助，在何時穿插教學才更適當。正確把握好數(shù)學史和課堂教學的主次，引導學生更好的學習。4.數(shù)學史是人類智慧的結(jié)晶，教師在給學生講解數(shù)學史知識時應當力求簡單通俗，使學生易于接受。5.引導學生閱讀課外讀物，開闊學生眼界，啟發(fā)和引導學生進行正確閱讀，使學生受益終身。四、基于數(shù)學史的數(shù)學活動教學設(shè)計案例學習者的特征分析：本節(jié)課的教學對象是高中一年級的學生，他們的知識結(jié)構(gòu)里還沒有形成“數(shù)學感”，雖然剛剛學習了等差數(shù)列和等比數(shù)列，對其性質(zhì)有一定掌握，對函數(shù)、方程思想有

17、一定理解，但他們問題解決以及小組合作能力不強，對知識缺乏獨立的見解。學習需要分析：1.教學目標：（1）知識和技能目標：掌握等比數(shù)列前n項和公式，能較熟練應用等比數(shù)列前n項和公式求和。（2）過程與方法目標：經(jīng)歷公式的推導過程，掌握錯位相消法法，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思。（3）情感、態(tài)度與價值觀目標：獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，提高數(shù)學推理的能力。2.教學重點：等比數(shù)列的前n項和公式的推導思路的獲得；等比數(shù)列前n項和公式的應用。3.教學難點：等比數(shù)列前n項和公式的推導思路的獲得；等比數(shù)列前n項和公式的應用。4.教法分析：教學過程分為問題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)

18、階段、定理證明階段、應用知識階段。探索與發(fā)現(xiàn)公式推導的思路是教學的重點。如果直接介紹“錯位相消法”求和，無疑就像波利亞所說的“帽子里跳出來的兔子”，所以在教學中采用以問題驅(qū)動、層層鋪墊，啟發(fā)學生獲得公式的推導方法。定理證明階段中融入數(shù)學史，介紹歐幾里德幾何原本中利用合比定理證明等比數(shù)列前n項和公式。在教學中介紹古人的證明方法，鍛煉學生的發(fā)散思維，促進學生對數(shù)學定理的理解與掌握。5.教學設(shè)計過程：問題情境古時候，在某個王國里有一位聰明的大臣，他發(fā)明了國際象棋，獻給了國王，國王從此迷上了下棋。為了對聰明的大臣表示感謝，國王答應滿足這個大臣的一個要求。大臣說：“就在這個棋盤上放上一些麥粒吧，第一個格

19、放1粒，第二個格放2粒，第三個格放4粒，然后是8粒，16粒.一直到第六十四個格?！薄澳阏嫔担【鸵@么一點麥粒？”國王哈哈大笑。大臣說：“就怕您的國庫粒沒有這么多麥粒！”你知道棋盤上一共放多少麥粒才能滿足大臣的要求嗎？1，2，4，8，16.構(gòu)成了一個等比數(shù)列。要求一共放多少麥粒，也就是要求該等比數(shù)列前64項的和。那么，怎么來求該等比數(shù)列的前64項的和呢？（讓學生帶著疑問進入下一階段的學習）探索發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列：1，2，4，8，.的和即 如果對等式兩邊同時乘以2，會產(chǎn)生什么情況？ -，得到 （粒）1000粒小麥約40克，18446744073709600000粒小麥約合737869762968噸小麥。

20、若將這些鋪在地面上，可講整個地球表面鋪上3厘米厚，國王怎么能滿足大臣的要求呢？對于一般情形，我們設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為q，則其前n項和 由學生討論得出結(jié)果 將等式兩邊同乘以公比q，則有 -，得到即 （1）此即為等比數(shù)列的前n項和公式結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，可得到 （2）要求學生思考：在上述公式中，那么等比數(shù)列的公比q為1，則會出現(xiàn)什么情形？又如何求它的前n項呢？學生們討論得出結(jié)果此時，（設(shè)為a），也就說，這一數(shù)列的每一項都相同，我們稱之為常數(shù)數(shù)列，它的前n項和教師穿插入歷史中的等比數(shù)列九章算術(shù)中的第三章“衰分”章第二題：今有牛、馬、羊食人苗。苗主責之粟五斗。羊主曰：“我羊食半馬“。馬主曰：”我馬食半?！?。今欲衰償之，問各出幾何。術(shù)曰：置牛四、馬二、羊一，各自為列衰，副并為法。以五斗乘未并者各