數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值積分25355

1、第四章 數(shù)值積分一問題提出：（1）針對(duì)定積分，若,a=0,b=1，即有，但當(dāng)，時(shí)，很難找到其原函數(shù)。（2）被積函數(shù)并沒有具體的解析形式，即僅為一數(shù)表。二定積分的幾何意義定積分的幾何意義為，在平面坐標(biāo)系中I的值即為四條曲線所圍圖形的面積，這四條曲線分別是，y=0，x=a，x=b。三機(jī)械求積公式1.中矩形公式；幾何意義：用以下矩形面積替代曲邊梯形面積。2.梯形公式梯形公式的幾何意義：用以下梯形面積替代曲邊梯形的面積：3.辛普生公式辛普生公式的幾何意義：陰影部分的面積為拋物線曲邊梯形，該拋物線由三點(diǎn)構(gòu)成。4.求積公式的一般形式，其中稱為節(jié)點(diǎn)，稱為求積系數(shù)，或權(quán)。5.求積公式的代數(shù)精度（衡量求積公式準(zhǔn)

2、確度的一種方法）含義：衡量一個(gè)積分公式的好壞，要用具體的函數(shù)來衡量，尋找怎樣的函數(shù)來衡量呢？簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)是一個(gè)理想的標(biāo)準(zhǔn)。定義：若某積分公式對(duì)于均能準(zhǔn)確成立，但對(duì)于不能準(zhǔn)確成立。則稱該公式具有m次代數(shù)精度。解釋：代數(shù)精度只是衡量積分公式好壞的1種標(biāo)準(zhǔn)。例1研究中矩形公式的代數(shù)精度及幾何意義。解：當(dāng)時(shí)，公式左邊，公式右邊，左=右；當(dāng)時(shí)，公式左邊，公式右邊，左=右；當(dāng)時(shí)，公式左邊，公式右邊，左右；故中矩形公式具有1次代數(shù)精度。從定積分的幾何意義可以看出，當(dāng)被積函數(shù)為一條直線時(shí)，中矩形公式是嚴(yán)格成立的，中矩形面積與梯形面積相等，如下圖所示。例2研究梯形公式的代數(shù)精度及幾何意義。解：當(dāng)時(shí)，公式左邊

3、，公式右邊，左=右；當(dāng)時(shí)，公式左邊，公式右邊，左=右；當(dāng)時(shí)，公式左邊，公式右邊，左右。故梯形公式也具有1次代數(shù)精度。從定積分的幾何意義知，當(dāng)被積函數(shù)為一條直線時(shí)，其積分值本身就是一個(gè)梯形的面積，如下圖所示。例3研究辛普生公式的代數(shù)精度及幾何意義。解：當(dāng)時(shí)，公式左邊，公式右邊，左=右；當(dāng)時(shí)，公式左邊，公式右邊，左=右；當(dāng)時(shí)，公式左邊，公式右邊，左=右；當(dāng)時(shí)，公式左邊，公式右邊，左=右；當(dāng)時(shí)，左右；故梯形公式具有3次代數(shù)精度。當(dāng)被積函數(shù)為一條直線或一條拋物線時(shí)，過其曲線上3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造的拋物線就是其本身曲線，所以積分公式嚴(yán)格成立。當(dāng)被積函數(shù)為3次多項(xiàng)式時(shí)，辛普生公式也嚴(yán)格成立，如下圖所示，兩個(gè)曲邊梯形

4、面積剛好相等。6.求積公式的確定方法一：待定系數(shù)法。例1.構(gòu)造一個(gè)至少具有一次代數(shù)精度的積分公式。分析：構(gòu)造一次代數(shù)精度的公式，即當(dāng)及時(shí)，公式嚴(yán)格成立，故有2個(gè)約束條件，于是可以確定具有2個(gè)參數(shù)的積分公式。解：設(shè)積分公式為：。針對(duì)及，代入積分公式的左邊和右邊，有：，解得，于是有積分公式：。該公式即為梯形求積公式。例2.構(gòu)造一個(gè)至少具有2次代數(shù)精度的求積公式。解：設(shè)積分公式為。針對(duì)，及，代入積分公式的左邊和右邊，有：，解得：，積分公式為：該公式即為辛普生公式，需要注意的是，該公式的代數(shù)精度并不是2次，而是3次的。方法二，插值法（插值型求積公式），即過函數(shù)f(x)的n+1節(jié)點(diǎn)x0，x1，xn，作n次多項(xiàng)式函數(shù)，根據(jù)拉格朗日公式：，則有，其中，代數(shù)精度的分析：若被積函數(shù)是次數(shù)小于n的多項(xiàng)式函數(shù)，那么由其曲線上的n+1節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的n次多項(xiàng)式函數(shù)即是被積函數(shù)本身。則：插值型積分公式具有至少n次代數(shù)精度。解釋：若是一條直線，那么過其曲線上3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造的拋物線，其中必有，即；同理，若是一條