數(shù)學(xué)建模論文制動器試驗(yàn)臺的控制方法研究

1、制動器試驗(yàn)臺的控制方法研究摘要：該論文是研究一個(gè)控制器試驗(yàn)臺的控制方法問題。首先，我們根據(jù)題目的闡述，建立了一個(gè)連續(xù)數(shù)學(xué)模型來描述這個(gè)問題，此模型研究了電動機(jī)的驅(qū)動電流與時(shí)間之間的關(guān)系，對于給定的某一時(shí)刻的時(shí)間就得到一個(gè)與之相聯(lián)系的驅(qū)動電流，據(jù)此還可以得到相應(yīng)的扭矩和轉(zhuǎn)速。我們將力矩分為驅(qū)動力矩和制動力矩，以此為一個(gè)基礎(chǔ)來求驅(qū)動電流，這主要用到機(jī)械慣量恒力矩制動動力學(xué)方程 MTJ 0 nn0 TM ，通過變換構(gòu)建出我們的第一個(gè)數(shù)學(xué)模型；之后我們又利用能量守恒與折算能量的轉(zhuǎn)換，根據(jù)題目的條件與假設(shè)，我們構(gòu)建出第二個(gè)數(shù)學(xué)模型，由上述兩個(gè)模型制定各種控制方法。后面我們檢驗(yàn)出附表所反應(yīng)出來的控制方法不

2、太合理，而我們的模型則與實(shí)際較為吻合。由于解非線形規(guī)劃問題是一個(gè)很復(fù)雜的過程，我們選擇了將連續(xù)模型簡化成一個(gè)離散模型。在計(jì)算離散數(shù)據(jù)時(shí)，我們采用數(shù)學(xué)軟件作出圖形，再擬合數(shù)據(jù)，兩者之間基本吻合，當(dāng)然也少不了對大量數(shù)據(jù)的驗(yàn)證、檢驗(yàn)，結(jié)合相關(guān)物理知識和有關(guān)公式，最終得出極有說服力的數(shù)學(xué)模型。通過模型，我們得到電流值i可用于計(jì)算機(jī)合理并有效地控制發(fā)動機(jī)參與工作補(bǔ)償不足慣量，突出了控制器試驗(yàn)臺控制方法的科學(xué)性。關(guān)鍵詞：能量轉(zhuǎn)換 機(jī)械慣量恒力矩制動動力學(xué)方程 能量守恒 擬合 一 問題的重述汽車的行車制動器是汽車中重要的部件，它的作用是使車輛減速或停止。當(dāng)我們在對制動器進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)注意許多問題，必須在專門的

3、試驗(yàn)臺上進(jìn)行路試模擬實(shí)驗(yàn)。首先要讓電動機(jī)帶動主軸和飛輪轉(zhuǎn)動到預(yù)先設(shè)定的轉(zhuǎn)速后，再讓電動機(jī)斷電并同時(shí)施加制動。 路試車輛在制動時(shí)，載荷在車輛平動時(shí)具有的能量等效轉(zhuǎn)化為飛輪和主軸等機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動慣量，其它不可拆卸的部分為基礎(chǔ)慣量，二者之和為機(jī)械慣量。如果機(jī)械慣量不能完全提供進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，則由電動機(jī)參與工作補(bǔ)償慣量。 又已知電動機(jī)的驅(qū)動電流與扭矩成正比（比例系數(shù)為1.5A/N.m）。要確定電動機(jī)驅(qū)動電流和時(shí)間的關(guān)系是很困難的，我們必須把時(shí)間離散化，再根據(jù)觀測的瞬時(shí)速度或瞬時(shí)扭矩，設(shè)計(jì)出電流值，當(dāng)然也少不了用能量誤差的大小、大量數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)來評價(jià)該控制方法的優(yōu)劣。問題1：設(shè)車輛單個(gè)前輪的滾動半徑為0 286

4、m，制動時(shí)承受的載荷為6230 N，求等效的轉(zhuǎn)動慣量。問題2：飛輪組由3個(gè)外直徑1m、內(nèi)直徑02m的環(huán)形鋼制飛輪組成，厚度分別為00392m、00784m、01568m，鋼材密度為7810/，基礎(chǔ)慣量為10·，問可以組成哪些機(jī)械慣量？設(shè)電動機(jī)能補(bǔ)償?shù)哪芰肯鄳?yīng)的慣量的范圍-30，30 ·，對于問題1中得到的等效轉(zhuǎn)動慣量，需要用電動機(jī)補(bǔ)償多大的能量？問題3：建立電動機(jī)驅(qū)動電流依賴與可觀測量的數(shù)學(xué)模形。在問題1和問題2的條件下，假設(shè)制動減速度為常數(shù)，初始速度為5，制動50km/h后車速為零，計(jì)算驅(qū)動電流。問題4：對于所設(shè)計(jì)的路試等效的轉(zhuǎn)動慣量為，機(jī)械慣量為，主軸初轉(zhuǎn)速為，末轉(zhuǎn)速為

5、，時(shí)間步長為的情況，用某種控制方法試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)見附表。請對該方法執(zhí)行的結(jié)果進(jìn)行評價(jià)。問題5：按照地3問導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型，給出根據(jù)前一段時(shí)間觀測到的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與/或瞬時(shí)扭矩，設(shè)計(jì)本時(shí)間段電流值的計(jì)算機(jī)控制方法，并對該方法進(jìn)行評價(jià)。問題6：第5問給出的控制方法是否有不足之處？如果有，請重新設(shè)計(jì)一個(gè)盡量完善的計(jì)算機(jī)控制方法，并作評價(jià)。2 基本假設(shè)1）不考慮觀測誤差、隨機(jī)誤差和連續(xù)問題離散化所產(chǎn)生的誤差；2）假設(shè)路試時(shí)輪胎與地面的摩擦力為無窮大；3）路試車輛的承受載荷在車輛平動時(shí)具有的能量等效地轉(zhuǎn)化為實(shí)驗(yàn)車臺上飛輪和主軸等機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動是具有的能量；4）忽略車輪自身轉(zhuǎn)動具有的動量；5）假設(shè)驅(qū)動電流的能量全部用

6、來補(bǔ)償不足的能量，無損失；并且此能量等效于其作用于電阻為R的能量。3 參數(shù)說明 EJ 與等效轉(zhuǎn)動慣量相對應(yīng)的能量 I 電動機(jī)驅(qū)動電流 T 電動機(jī)驅(qū)動力矩 M 制動器制動力矩 J 機(jī)械轉(zhuǎn)動慣量 角加速度 角速度 初始角速度 0t 時(shí)間n 轉(zhuǎn)速n0 初始轉(zhuǎn)速JM、J1、JL 電動機(jī)軸、中間傳動軸、生產(chǎn)機(jī)械軸上的轉(zhuǎn)動慣量 j1M/1 電動機(jī)軸與中間傳動軸之間的速比jLM/L 電動機(jī)軸與生產(chǎn)機(jī)械軸之間的速比M、1、L 電動機(jī)軸、中間傳動軸、生產(chǎn)機(jī)械軸上的角速度4 問題的分析本問題是車輛在行駛過程中行車制動的物理問題。目的是為了檢測汽車制動器的綜合性能，需要在各種不同情況下進(jìn)行大量的路試。要求滿足題目要

7、求：電動機(jī)的驅(qū)動電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比，以及電動機(jī)驅(qū)動電流與時(shí)間之間的關(guān)系（通過觀察到的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速或瞬時(shí)扭矩間接求得），通過對數(shù)據(jù)擬合與求解，使得在假設(shè)的條件下求出轉(zhuǎn)速與時(shí)間、扭矩與時(shí)間的關(guān)系。首先，我們根據(jù)問題的需要，建立了一個(gè)連續(xù)數(shù)學(xué)模型來描述這個(gè)問題，此模型研究了電動機(jī)的驅(qū)動電流與時(shí)間之間的關(guān)系，對于給定的某一時(shí)刻的時(shí)間就得到一個(gè)與之相聯(lián)系的驅(qū)動電流，據(jù)次還可以得到相應(yīng)的扭矩和轉(zhuǎn)速。建立模型過程中，我們運(yùn)用了折算能量的轉(zhuǎn)換、機(jī)械慣量恒力矩制動動力學(xué)方程、能量守恒等，通過分析它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，我們最終夠建了一個(gè)電流與扭矩、時(shí)間、轉(zhuǎn)速之間相互聯(lián)系的關(guān)系模型，求解出某時(shí)刻的相應(yīng)電流值。 由于

8、解非線形規(guī)劃問題是一個(gè)很復(fù)雜的過程，我們選擇了將連續(xù)模型簡化成一個(gè)離散模型。在計(jì)算離散數(shù)據(jù)時(shí)，我們采用數(shù)學(xué)軟件作出圖形，再擬合數(shù)據(jù)，兩者之間基本吻合，我們便確定了模型的正確性。5 模型的構(gòu)建5.1 首先折算能量的轉(zhuǎn)換 要保證折算前后系統(tǒng)等效，折算前后系統(tǒng)的動能應(yīng)相等。由于轉(zhuǎn)動慣量和飛輪轉(zhuǎn)矩與運(yùn)動系統(tǒng)的動能有關(guān)，因此可根據(jù)動能守恒原則進(jìn)行折算。對于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，折算后系統(tǒng)總的動能應(yīng)等于折算前系統(tǒng)各軸動能之和，即所以，折算到電動機(jī)軸上的總轉(zhuǎn)動慣量為式中JM、J1、JL電動機(jī)軸、中間傳動軸、生產(chǎn)機(jī)械軸上的轉(zhuǎn)動慣量；j1M/1電動機(jī)軸與中間傳動軸之間的速比；jLM/L電動機(jī)軸與生產(chǎn)機(jī)械軸之間的速比；M、1

9、、L電動機(jī)軸、中間傳動軸、生產(chǎn)機(jī)械軸上的角速度。Jz即為等效轉(zhuǎn)動慣量。那么與等效轉(zhuǎn)動慣量相對應(yīng)的能量為：EJJz2。參見質(zhì)料來源5其次分析電流與扭矩、時(shí)間、轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系 我們將制動過程中的力矩分為制動力矩與驅(qū)動力矩，在制動過程中，當(dāng)制動力矩不足以達(dá)到制動效果時(shí)，由電動機(jī)的驅(qū)動電流產(chǎn)生驅(qū)動力矩，使之達(dá)到驅(qū)動效果；由題中假設(shè)“試驗(yàn)臺采用的電動機(jī)的驅(qū)動電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比（本題中比例系數(shù)取為1.5 A/N·m）”我們得到驅(qū)動電流與驅(qū)動力矩之間的關(guān)系：I1.5T。為此，我們必須求出驅(qū)動力矩T ；那么我們列出機(jī)械慣量恒力矩制動動力學(xué)方程，以便求解驅(qū)動力矩T；MTJ （1）0 （2）nn0

10、 (3)TM (4)那么：I1.5T1.5 M （5）即電流與扭矩、時(shí)間、轉(zhuǎn)速之間的模型。式中：制動器制動力矩為M，機(jī)械轉(zhuǎn)動慣量為 J，角加速度為，角速度為，初始角速度為0，時(shí)間為t，轉(zhuǎn)速為n，初始轉(zhuǎn)速為n0。參見文獻(xiàn)45.3最后夠建出整體模型 我們通過對問題的分析，得出了由能量守恒來計(jì)算一些未知量，能量守恒等式為：EJE jEb，式中EJ為與等效轉(zhuǎn)動慣量相對應(yīng)的能量，E j為機(jī)械慣量所具有的能量，Eb為驅(qū)動電流應(yīng)補(bǔ)償?shù)哪芰俊Ｓ纱说仁降茫篔z2J12EbI2Rt。6 模型的簡化與求解系統(tǒng)6.1問題一的分析與求解一、名詞解釋路試車輛的指定車輪在制動時(shí)承受載荷。將這個(gè)載荷在車輛平動時(shí)具有的能量（忽

11、略車輪自身轉(zhuǎn)動具有的能量）等效地轉(zhuǎn)化為試驗(yàn)臺上飛輪和主軸等機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動時(shí)具有的能量，與此能量相應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量(以下轉(zhuǎn)動慣量簡稱為慣量)在本題中稱為等效的轉(zhuǎn)動慣量。二、數(shù)據(jù)分析與解答那么根據(jù)物理知識有：Ek= (車輛的動能) =1/2mv2= Ej(轉(zhuǎn)動慣量的能量)=1/2J2，而車輛單個(gè)前輪的滾動半徑為0.286m，制動時(shí)承受的載荷為 6230N ；則有1/2mv2=1/2J2（v/=R=0.286m），代如數(shù)據(jù)計(jì)算得：J=52·。上題是關(guān)于一個(gè)車輪的分析，下面我們分析多個(gè)車輪的情況：根據(jù)QC/T479-1999貨車、客車制動器臺架試驗(yàn)方法，對于兩軸車（含雙后軸的三軸車），其前、后制動器應(yīng)

12、承擔(dān)的載荷分別為IF=/（1+）×(Ga+7%G0) r2/2g ·m·s2IR=/（1+）×(Ga+7%G0) r2/2g ·m·s2 如為雙后軸的三軸車，則其后制動器應(yīng)承擔(dān)的載荷 IDR為： IDR=1/2 IR 式中，IF、IR、ID分別為前、后制動器和雙后軸的三軸車后制動器應(yīng)承受的載荷，·m·s2；為前后軸制動之比；對于雙后軸的三軸車，為兩前后軸制動力之和作為后軸制動力； G0為汽車空車總質(zhì)量，；Ga 為汽車滿載總質(zhì)量，單位；r為車輪滾動半徑，單位m；g為重力加速度9.8m/s2。 經(jīng)計(jì)算，本文所述試驗(yàn)臺所

13、需模擬的不同單端制動器載荷范圍在2.588·m·s2-25.79·m·s2。根據(jù)，J=I×g得出單個(gè)制動器所應(yīng)承受的慣量范圍：25.378·-374.51·。 根據(jù)上述公式計(jì)算得出的被試制動器所受慣量，即為試驗(yàn)臺所需模擬的整車慣量。參考文獻(xiàn)4詳述了車輛制動器試驗(yàn)臺慣性飛輪的優(yōu)化組合設(shè)計(jì)方法，參考該文獻(xiàn)并對單片飛輪慣量進(jìn)行了圓整，最終選擇使用2片慣量為70·的大飛輪與7片慣量30·的小飛輪對被試制動器進(jìn)行慣量模擬，其中，2片大飛輪的構(gòu)成基本組，7片小飛輪構(gòu)成精確調(diào)解組，所選飛輪材料為45#鋼。參見文獻(xiàn)36.

14、2問題二的分析與求解一、數(shù)據(jù)分析由題設(shè)：飛輪為Fi(i=1,2,3)，飛輪外直徑為 R，飛輪內(nèi)直徑為r，飛輪厚度為L j(j=1,2,3)，飛輪質(zhì)量為mk(k=1,2,3)，飛輪轉(zhuǎn)動慣量為Jn(n=1,2,3)，基礎(chǔ)慣量為H=10·，則飛輪的體積為 V=(R2-r2)L，那么飛輪的質(zhì)量為m=V。 二、數(shù)據(jù)求解將數(shù)據(jù)代入公式m=(R2-r2)L計(jì)算得：m1=230.8264，m2=461.6527，m3=923.3054；由第一問知：J1=30.0074·， J2=60.0149·，J3=120.0297·，那么就可以組成八組機(jī)械慣量：10· 4

15、0.0074· 70.0149· 100.0233· 130.0297· 160.00371· 190.0446· 220.052·。又有電動機(jī)能補(bǔ)償?shù)哪芰肯鄳?yīng)的慣量范圍為-30,30, 則滿足條件的只有40.0074· 70.0149·，它們相應(yīng)的補(bǔ)償慣量分別為 -11.9926· 18.0149·。 6.3問題3的分析與求解 一、數(shù)據(jù)分析由題中已知條件知：初始速度V0=50/h=13.89m/s,制動后5.0 s后車速為零；那么制動加速度為=-=-2.778m/s2； 二、數(shù)據(jù)求解

16、 由模型I1.5T1.5 M計(jì)算得到： I137.38A. 6.4問題4的分析與求解 通過對所給數(shù)據(jù)的擬合、分析、整理，再將大量數(shù)據(jù)代入所得模型檢驗(yàn)得出以下圖形：（扭矩）（時(shí)間）（數(shù)據(jù)附表的數(shù)據(jù)經(jīng)過高次擬合后圖）注：波動曲線為原數(shù)據(jù)曲線 平滑曲線為擬合后所得曲線所得函數(shù)關(guān)系式為：M(t)=60t13-540t12+3430t11-15230t10+48560t9-111940t8+185430t7-216150t6+169710t5-82170t4+19770t3-750t2+60t+40N(t)=57.3943t+524.1514結(jié)合圖形我們可以知道： 最大誤差=×100 =

17、15;100 =5.7由此可以知道此種控制方法的誤差非常大，我們不能用此方法為基礎(chǔ)去設(shè)計(jì)制動器試驗(yàn)臺的控制方法；只有另辟溪徑。 6.5問題5的分析與求解由第三問導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型為I1.5T1.5 M和Jz2J12EbI2Rt；（參照程序）程序得到的電流值i可用于計(jì)算機(jī)控制發(fā)動機(jī)參與工作補(bǔ)償不足的能量。該方法的不足之處是：將轉(zhuǎn)速擬合為一次函數(shù)。忽略了電動機(jī)散熱損失的能量。 能量誤差還不夠小。 6.6問題6的分析與求解本控制方法肯定有不足之處，還需要改進(jìn)。 1 縮短時(shí)間步長； 2 尋找更為合理的函數(shù)曲線，使之更趨近實(shí)際情況； 3 還須改變一些條件，再進(jìn)行大量檢驗(yàn)。較為完善的方案為：M(t)=60t1

18、3-540t12+3430t11-15230t10+48560t9-111940t8+185430t7-216150t6+169710t5-82170t4+19770t3-750t2+60t+40N(t)= 0.5703 t5-7.2070 t4+32.9587 t3-64.8059 t2-8.2049 t + 515.6865I1.5T1.5 M(t)。 （參照程序）程序得到的電流值比以上分析的方法得到的電流值更為合理，更具有合理性，有效性和科學(xué)性。參 考 文 獻(xiàn)：1 馬文蔚.物理學(xué)(第五版)上冊 高等教育出版社2 馬文蔚.物理學(xué)(第五版)上冊習(xí)題分析與解答 高等教育出版社3 王志中，彭彥宏

19、，洪哲浩.車輛制動器試驗(yàn)臺慣性飛輪的優(yōu)化組合設(shè)計(jì)J.2006，33（2）：59-624 李洪山，孫英達(dá)，慶振華.電慣量模擬機(jī)械轉(zhuǎn)動慣量的研究5 張?jiān)獫?，基于快速氣動伺服的汽車慣性式制動器試驗(yàn)系統(tǒng)應(yīng)用研究， www.百度.com，2009-9-126 趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第2版） 高等教育出版社附錄：程序、t=0：0.01：4.67； M= 40.0000 40.0000 40.0000 41.2500 43.7500 45.0000 47.5000 50.0000 53.7500 55.0000 57.5000 58.7500 62.5000 62.5000 67.5000 67.

20、5000 72.5000 75.0000 81.2500 86.2500 91.2500 96.2500 101.2500 105.0000 110.0000 115.0000 120.0000 127.5000 133.7500 143.7500 150.0000 157.5000 161.2500 168.7500 172.5000 181.2500 186.2500 193.7500 198.7500 203.7500 208.7500 211.2500 216.2500 218.7500 222.5000 226.2500 230.0000 233.7500237.5000 238.7

21、500 242.5000 242.5000 247.5000 246.2500 245.0000 241.2500 245.0000 248.7500 256.2500 257.5000 262.5000 262.5000 266.2500 266.2500 266.2500 266.2500 266.2500 266.2500 265.0000 266.2500 268.7500 272.5000 273.7500 276.2500 277.5000 277.5000 272.5000 272.5000 268.7500 272.5000 267.5000 272.5000 270.0000

22、 277.5000 278.7500 282.5000 282.5000 282.5000 282.5000 280.0000 277.5000 276.2500 273.7500 273.7500 275.0000 276.2500 280.0000 280.0000 282.5000 281.2500 283.7500 282.5000 278.7500 276.2500 275.0000 277.5000 280.0000 281.2500 285.0000 283.7500 283.7500 282.5000 281.2500 278.7500 277.5000 273.7500 27

23、7.5000 277.5000 281.2500 281.2500 283.7500 285.0000 285.0000 283.7500 282.5000 282.5000 281.2500 278.7500 275.0000 276.2500 276.2500 280.0000 281.2500 285.0000 283.7500 285.0000 282.5000 285.0000 280.0000 281.2500 276.2500 275.0000 273.7500 276.2500 278.7500 280.0000 281.2500 282.5000 282.5000 282.5

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