數(shù)學期望與方差的實際應用論文

1、例說數(shù)學期望與方差的實際應用【摘要】 數(shù)學期望作為概率分布中重要的數(shù)字特征之一，反應的是隨機變量取值的平均水平，方差則是反應隨機變量取值在其平均值附近的離散程度。利用概率論中數(shù)學期望與方差的思想可以計算出實際生活中的許多問題的最大可能值以及該事件發(fā)生的偏差的大小，從而為實際決策提供更具體的參考。關鍵詞 數(shù)學期望 方差 最佳決策 數(shù)學期望反應的是隨機變量取值的平均水平，而方差則是反應隨機變量取值在其平均值附近的離散程度?，F(xiàn)代實際生活中，越來越多的決策需要應用數(shù)學期望與方差這思想來對事件發(fā)生大小的可能性進行評估，通過計算分析可以比較科學地得出各個方案的預期效果及出現(xiàn)偏差的大小，從而決定要選擇的最佳

2、方案。在當前社會生產(chǎn)中，更多商家等追求的是效益最大化，以下我將就現(xiàn)實生活中的種種問題，利用離散型隨機變量的期望和方差的思想對實際問題進行分析計算，并通過各個方案的比較得出最佳方案。首先介紹一些基本概念知識：（1） 概率分布 設離散型隨機變量為，（i=1,2,3，、，、，），離散型隨機變量的概率為，其概率分布如下：（1） 數(shù)學期望 根據(jù)（1）的概率分布，即（=）=，i =1,2，n,稱和數(shù)為隨機變量的數(shù)學期望，簡稱期望，記作E()，則E()=p+p+p+。（3） 方差 由（2）推出數(shù)學期望E（）存在時，如果E-E()存在，則稱E-E()為隨機變量的方差，記為D(),有D()=E-E()=E()-

3、E()。1、 數(shù)學期望與方差在投資風險程度分析中的應用 在市場經(jīng)濟條件下，要想獲得較高的期望收益，必須把資金投向幾種不同的收益不同風險的金融資產(chǎn)上，而這將為投資者選擇投資方案提供一定的理論依據(jù)和數(shù)字參考，以便于投資者選擇可行的投資決策方案。下面以兩個例子進行說明： 例1、某投資者有10萬元,現(xiàn)有兩種投資方案:一是購買股票,二是存入銀行獲取利息。買股票的收益主要取決于經(jīng)濟形勢,假設可分三種狀態(tài):形勢好(獲利40000元)、形勢中等(獲利10000元)、形勢不好(損失20000元)。如果存入銀行,假設年利率8%,即可得利息8000元。又設經(jīng)濟形勢好、中等、不好的概率分別為30%、50%和20%。試

4、問該投資者應該選擇哪一種投資方案?分析：購買股票的收益與經(jīng)濟形勢有關，存入銀行的收益與經(jīng)濟形勢無關，因此，要確定選擇哪一種方案，就必須通過計算兩種方案對應的收益期望值來進行判斷。解：設為購買股票收益，為存入銀行收益，購買股票：狀態(tài)經(jīng)濟形勢好經(jīng)濟形勢中等經(jīng)濟形勢不好收益4000010000-20000概率0.30.50.2 E（)=40000×0.310000×0.520000×0.2=13000， D ()=4.41×10，存入銀行：狀態(tài)經(jīng)濟形勢好經(jīng)濟形勢中等經(jīng)濟形勢不好收益800080008000概率0.30.50.2 E（）=8000×0.

5、38000×0.58000×0.2=8000 D（）=0由計算結果表明， E（）<E（)，D（）< D ()，所以在該項投資中該投資者應該選擇把資金存入銀行。2、 數(shù)學期望與方差在經(jīng)濟決策中的應用數(shù)學期望與方差在諸多經(jīng)濟管理或決策中的應用是指從數(shù)量上研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的思想，企業(yè)家們往往是在考慮各種影響因素發(fā)生的概率下實施某種方案以達到最佳效果。例 ： 某企業(yè)需要就是否與一家外企聯(lián)營做出決策，經(jīng)過調(diào)查做出評估，聯(lián)營成功的概率為0.35，若聯(lián)營成功可增加利潤50萬元/月；若聯(lián)營失敗將損失20萬元/月；若不聯(lián)營利潤不變。企業(yè)該如何決策？解：用X表示選擇聯(lián)營能增加

6、的利潤值，則X 的概率分布為 P(X=50)=0.35，P(X=20)=0.65， 所以，選擇聯(lián)營能增加的利潤期望值為E(X)=50×0.35(20)×0.65=4.5，D(X)=1135， 若不聯(lián)營，增加的利潤為零， 因此，該企業(yè)應該作出聯(lián)營的決策。3、數(shù)學期望與方差在銷售利潤問題中的應用 在銷售行業(yè)中，不論是廠家的生產(chǎn)還是商家的銷售，總是追求利潤的最大化,供大于求或供不應求都不利于獲得最大利潤。但供應量和需求量又不是預先知道的。理性的廠家或商家往往根據(jù)過去的數(shù)據(jù)(概率），用數(shù)學期望和方差的有關知識，制定最佳的生產(chǎn)或銷售策略。 例1、某商場要根據(jù)天氣預報來決定節(jié)日是在商場

7、內(nèi)還是在商場外開展促銷活動。統(tǒng)計資料表明，每年國慶節(jié)商場內(nèi)促銷可獲經(jīng)濟效益2萬元，商場外促銷活動中遇到有雨天氣則帶來經(jīng)濟損失4萬元，無雨可獲得經(jīng)濟效益10萬元。9月30日氣象臺預報國慶節(jié)當?shù)赜杏甑母怕适?0。商場應該選擇哪一種促銷方式？分析：因為天氣有雨或無雨是一個不確定的因素，因此作出決策時要存在一定的風險，我們不能保證所作的決策一定會取得最好效益，但必須使效益的期望值是最高的。如果選擇商場外促銷方式恰逢天氣有雨，則帶來經(jīng)濟損失4 萬元，比商場內(nèi)促銷可獲得經(jīng)濟效益2萬元更不合算，這就是風險，這樣的決策稱為風險決。解：設商場為促銷活動獲得的經(jīng)濟效益為萬元，則(=10)=0.6, (=4)=0.

8、4,E()=10×0.6(4)×0.4=4.4(萬元) 綜上可知,商場外促銷方式可獲得經(jīng)濟效益的數(shù)學期望4.4 萬元,高于場內(nèi)促銷可獲得經(jīng)濟效益2萬元,故應選擇商場外促銷方式。4、數(shù)學期望與方差在委托售后服務問題中的應用 人們購買商品不僅要求質量，還要看售后服務，企業(yè)對售后服務的支出是必不可少的。企業(yè)的售后服務通常是委托給各地的維修部，那么如何選擇與維修部簽訂售后服務合同，是企業(yè)要考慮的問題。例1、 某家電企業(yè)經(jīng)調(diào)查預計明年向某地銷售3000 臺洗衣機，計劃與當?shù)氐囊患揖S修部簽訂保修合同，委托維修部承包維修業(yè)務，保修期一年。該企業(yè)與維修部對這批產(chǎn)品的保修有以下兩個方案選擇：

9、方案1：維修次數(shù)不限，一次性支付總維修費2000 元。方案2：維修次數(shù)少于300次，支付維修費1 000 元；若超過，每增加一次加付維修費5元。另根據(jù)過去的經(jīng)驗及產(chǎn)品的質量情況估計，今后一年內(nèi)洗衣機可能出現(xiàn)維修的次數(shù)及發(fā)生的概率為:維修次數(shù)300400500600700概率0.50.250.10.070.03問企業(yè)應選擇哪種方案？解：若選擇方案1，企業(yè)將支出維修費2000元。 若選擇方案2，則企業(yè)支出維修費X 的期望為: E(X)=1000×0.51500×0.252000×0.152500×0.073000×0.03=1440（元），可見方案

10、2優(yōu)于方案1，故該企業(yè)應與維修公司簽訂方案2。5、數(shù)學期望與方差在求職決策問題中的應用例：有三家公司都為碩士畢業(yè)生李宏提供了就職面試的機會，按面試的時間順序，這三家公司分別記為A 、B 、C ，每家公司都可提供極好、好和一般三種職位，每家公司將根據(jù)面試情況決定給予求職何種職位或拒絕提供職位。若規(guī)定求職雙方在面試以后要立即決定提供、接受或拒絕某種職位，且不容許毀約。咨詢專家為李宏的學業(yè)成績和綜合素質進行評估后認為，他獲得極好、好、一般職位的可能性分別為0.2 、0.3 、0.4，三家公司的工資數(shù)據(jù)如下： 公司職位極好好一般A350030002200B390029502500C4000300025

11、00李宏如果把工資數(shù)盡量大作為首要條件的話，那么他在各公司面試時，對該公司提供的各種職位應如何對策？解：由于面試有時間先后，使得李宏在A、B公司面試，作選擇時，還要考慮到后面C公司的情況，所以應先從C公司開始討論。C公司的工資期望值為：E(C)=4000×0.23000×0.32500×0.40×0.1=2700(元)；現(xiàn)在考慮B公司，因為B 公司的一般職位工資只有2500元，低于C公司的期望值，所以只接受B公司極好或好的職位，否則就到C公司應聘，如此決策時，他的工資期望值為：E(B)=3900×0.22950×0.32500

12、5;0.5=3015(元)；最后考慮A公司。由于A公司只有極好職位的工資超過3015 元,所以他只接受A公司的極好職位，否則就到B公司應聘。他的總決策是這樣的：先去A公司應聘，若A公司提供極好的職位就接受，否則去B公司應聘；若B公司提供極好或好的職位就接受，否則去C公司應聘，接受C公司提供的任何職位。在這一策略下,他的工資期望值為：E(A)=3500×0.23015×0.8=3112元。6、數(shù)學期望與方差在儀器比較方面的應用 儀器的優(yōu)劣，以及其使用價值對于生產(chǎn)家來說是很重要的一個因素，同時也是企業(yè)完成生產(chǎn)任務的保障，因此，數(shù)學期望與方差這一數(shù)字特征給商家在對儀器進行選購時提

13、供了參考。例：分別用A、B兩種測量儀器多次測量某一零件的直徑，結果如下：1181191201211220.060.140.600.150.051181191201211220.090.150.520.160.08試比較這兩種儀器的優(yōu)劣。解：用隨機變量和的數(shù)學期望與方差來做比較：E()=118×0.06119×0.14120×0.60121×0.15122×0.05=119.9；D()=E()E()14398.3；E()=118×0.09119×0.15120×0.52121×0.16122×0.08=119.9；D()=E()E()14398.6,因為A的方差小于B的方差，說明A儀器的精確度