工程力學(xué)彈性桿件橫截面上的切應(yīng)力分析習(xí)題解

1、工程力學(xué)（1）習(xí)題全解第9章彈性桿件橫截面上的切應(yīng)力分析91扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式 ( ) = M x / I p 的應(yīng)用范圍有以下幾種，試判斷哪一種是正確的。（A）等截面圓軸，彈性范圍內(nèi)加載；（B）等截面圓軸；（C）等截面圓軸與橢圓軸；（D）等截面圓軸與橢圓軸，彈性范圍內(nèi)加載。正確答案是 A 。解： ( ) = M x I p 在推導(dǎo)時(shí)利用了等截面圓軸受扭后，其橫截面保持平面的假設(shè)，同時(shí)推導(dǎo)過程中還應(yīng)用了剪切胡克定律，要求在線彈性范圍加載。92 兩根長度相等、直徑不等的圓軸承受相同的扭矩受扭后，軸表面上母線轉(zhuǎn)過相同的角度。設(shè)直徑大的軸和直徑小的軸的橫截面上的最大切應(yīng)力分別為 1 max 和 2 ma

2、x ，切變模量分別為 G1 和 G2。試判斷下列結(jié)論的正確性。（A） 1 max 2 max ；（B） 1 max 2 max ；（C）若 G1G2，則有 1 max 2 max ；（D）若 G1G2，則有 1 max 2 max 。正確答案是C。解：因兩圓軸等長，軸表面上母線轉(zhuǎn)過相同角度，指切應(yīng)變相同，即 1 = 2 = 由剪切胡克定律 = G 知 G1 G2 時(shí)， 1 max 2 max 。9 3承受相同扭矩且長度相等的直徑為 d1 的實(shí)心圓軸與內(nèi)、外徑分別為 d2、D2 ( = d 2 / D2 ) 的空心圓軸，二者橫截面上的最大切應(yīng)力相等。關(guān)于二者重之比（W1/W2）有如下結(jié)論，試判斷

3、哪一種是正確的。（A） (1 4 ) 3 2 ；（B） (1 4 ) 3 2 (1 2 ) ；（C） (1 4 )(1 2 ) ；（D） (1 4 ) 2 3 /(1 2 ) 。正確答案是D。解：由 1 max = 2 max 得16M x d13=16M x D23 (1 4 )即d1D21= (1 4 ) 3（1）W1W2AA22d12（2）（1）代入（2），得W1W2=(1 4 )1 22394由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變模量分別為 G1 和 G2，且 G1 = 2G2。圓軸尺寸如圖所示。圓軸受扭時(shí)，里、外層之間 44 習(xí)題 9-4 圖= 1 =D2 (1 2 )無相對

4、滑動(dòng)。關(guān)于橫截面上的切應(yīng)力分布，有圖中所示的四種結(jié)論，試判斷哪一種是正確的。正確答案是C。解：因內(nèi)、外層間無相對滑動(dòng)，所以交界面上切應(yīng)變相等 1 = 2 ，因 G1 = 2G2 ，由剪切胡克定律得交界面上： 1 = 2 2 。95 圖示實(shí)心圓軸承受外扭轉(zhuǎn)力偶，其力偶矩 T = 3kNm。試求：1軸橫截面上的最大切應(yīng)力；2軸橫截面上半徑 r = 15mm 以內(nèi)部分承受的扭矩所占全部橫截面上扭矩的百分比；3去掉 r = 15mm 以內(nèi)部分，橫截面上的最大切應(yīng)力增加的百分比。解：1 1max =M xWP=TWP=Td 3=3 103 16 0.063= 70.7 MPa162 M r =A1 dA

5、 =r0M xI p 2d =2M xI pr 44M rM x=2r 44I p=2r 444 32=16r 4d 4= 16 (15 460116= 6.25%3 2 max =M xWp=3T1 ( ) 16 2 =75.4MPa習(xí)題 9-5 圖= 2 max= 41 4=1 421 42=115= 6.67%96圖示開口和閉口薄壁圓管橫截面的平均直徑均為 D、壁厚均為 ，橫截面上的扭矩均為 T = Mx。試：1證明閉口圓管受扭時(shí)橫截面上最大切應(yīng)力 max 2M xD 22證明開口圓管受扭時(shí)橫截面上最大切應(yīng)力 max 3M x 2D習(xí)題 9-6 圖3畫出兩種情形下，切應(yīng)力沿壁厚方向的分布

6、。 = D2DA 2D22M xD 2 max2由課本（818）式2 23M x2 max(a-1)(a-2)(b-1)(b-2)97由同一材料制成的實(shí)心和空心圓軸，二者長度和質(zhì)量均相等。設(shè)實(shí)心軸半徑為R0，空心圓軸的內(nèi)、外半徑分別為 R1 和 R2，且 R1/R2 = n，二者所承受的外扭轉(zhuǎn)力偶矩分別為 Ts 和 Th。若二者橫截面上的最大切應(yīng)力相等，試證明：=Th 1 + n 2解：由已知長度和質(zhì)量相等得面積相等：TS2RTS 45 ThR2R1Thd) =d 1 4 ( )1 ( )解：1 M x = dA =即： max =2M x D3M x 3M x= = D hbTs 1 n 2

7、R02 = (R22 R12 )（1） max =Tsd 316=Ts 02（2） max =Th(2R2 ) 316(1 n 4 )（3）由（2）、（3）式TsTh=3R03（4）由（1）代入（4）R02 = R22 R12333TsTh=( R22 R12 ) 2R23 (1 n 4 )=(1 n 2 ) 21 n 4=(1 n 2 ) 2(1 n 2 )(1 + n 2 )=1 n 21 + n 298直徑 d = 25mm 的鋼軸上焊有兩個(gè)凸臺，凸臺上套有外徑 D = 75mm、壁厚 =1.25mm 的薄壁管，當(dāng)桿承受外扭轉(zhuǎn)力遇矩 T = 73.6Nm 時(shí)，將薄壁管與凸臺焊在一起，然后

8、再卸去外力偶。假定凸臺不變形，薄壁管與軸的材料相同，切變模量 G = 40MPa。試：1分析卸載后軸和薄壁管的橫截面上有沒有內(nèi)力，二者如何平衡？2確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應(yīng)力。解：設(shè)軸受 T = 73.6Nm 時(shí)，相對扭轉(zhuǎn)角為 0且d 0d x=TGIp 1（1）T 撤消后，管受相對扭轉(zhuǎn)角 2 ，則軸受相對扭轉(zhuǎn)角1 = 0 2 ，此時(shí)軸、管受扭矩大小相等，方向相反，整個(gè)系統(tǒng)平衡。習(xí)題 9-8 圖1 + 2 = 0Tl M xlGI p 1 GI p 1M x = M x+M xlGI p 2（2）（3）（4） 01 2M x =I p2I p1 + I p2T（5）I p1 =M xWp

9、232=T I p2 T DI p1 + I p2 Wp2 I p1 + I p2 232（6）(a)I p2 =D 432D 2 4 D 75 432 72.5 4 124將 Ip1、Ip2 值代入（6）得管： h max=752(38349.5 + 393922) 10 12= 6.38 MPa軸： s max=I p1 2=I p1 ( I p1 + I p 2 ) 2=252(38349.5 + 393922) 38349.5 10 12= 21.86 MPa99 關(guān)于彎曲切應(yīng)力公式 = FQ S z* /(bI z ) 應(yīng)用于實(shí)心截面的條件，有下列論述，試分析哪一種是正確的。（A）細(xì)

10、長梁、橫截面保持平面； 46 R 3R2 (1 n 4 )=d 4=(25) 4 10 12 = 38349.5 10 121 () =1 ( 75 ) 10= 393922 10 12 m 10 373.6 M x dI p2 T d 393922 10 373.6 （B）彎曲正應(yīng)力公式成立，切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布；（C）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，橫截面保持平面；（D）彈性范圍加載，橫截面保持平面。正確答案是B。*彎曲正應(yīng)力公式成立；另外推導(dǎo)時(shí)在 Fx = 0 時(shí)，應(yīng)用了 沿截面寬度均勻分布假設(shè)。910試判斷梁橫截面上的切應(yīng)力作用線必須沿截面邊界切線方向的依據(jù)是：（A）橫截面保持平面；（B

11、）不發(fā)生扭轉(zhuǎn)；（C）切應(yīng)力公式應(yīng)用條件；（D）切應(yīng)力互等定理。正確答案是D。911 槽形截面懸臂梁加載如圖示。圖中 C 為形心，O 為彎曲中心。關(guān)于自由端截面位移有下列結(jié)論，試判斷哪一種是正確的。（A）只有向下的移動(dòng)，沒有轉(zhuǎn)動(dòng)；（B）只繞點(diǎn) C 順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)；（C）向下移動(dòng)且繞點(diǎn) O 逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)；（D）向下移動(dòng)且繞點(diǎn) O 順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。正確答案是D。習(xí)題 9-11 圖912 等邊角鋼懸臂梁，受力如圖所示。關(guān)于截面 A 的位移有以下論述，試分析哪一種是正確的。（A）下移且繞點(diǎn) O 轉(zhuǎn)動(dòng)；（B）下移且繞點(diǎn) C 轉(zhuǎn)動(dòng)；（C）下移且繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)；（D）下移且繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)。正確答案是D。91

12、3試判斷下列圖示的切應(yīng)力流方向哪一個(gè)是正確的。習(xí)題 9-12 圖正確答案是A 。(a)(b)(c)(d)習(xí)題 9-13 圖914 四種不同截面的懸臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如圖所示，圖中 O 為彎曲中心。試分析哪幾種情形下可以直接應(yīng)用 x = M z y / I z 和 = FQ S z* /(bI z ) 計(jì)算橫截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。（A）僅（a）、（b）可以；（B）僅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。正確答案是D。 47 習(xí)題 9-14 圖解：公式 = FQ S z (bI z ) 推導(dǎo)時(shí)應(yīng)用了局部截面的正應(yīng)力合成的軸力，該正應(yīng)力 x 則要

13、求915梁的受力及橫截面尺寸如圖所示。試：1繪出梁的剪力圖和彎矩圖；2確定梁內(nèi)橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力；3確定梁內(nèi)橫截面上的最大切應(yīng)力；4畫出橫截面上的切應(yīng)力流。解：1圖（a）： M A = 08 q 4 2 + FRB 4 = 0FRB = 18 kN Fy = 0 ， FRA = 22 kN剪力與彎矩圖如圖（b）、（c）；習(xí)題 9-15 圖2形心 C 位置d =80 20 2 + 60 208kN mqy= 55.45 mmI z =80 203 20 80312 12+ 20 80 4.55 +12CAFR A(a)BF R BzCd= 7.855758 106 mm4+ M m

14、axI z= = 114 MPa M maxI zS z*max = 80 20 45.45 +320 35.45 = 85287 10 9 m 3222 (kN)FQC A8CM (kN.m)(b)(c)180016.2B18Bz(d)(e) max =FQ S z*max I z=3 920 10 3 7.855758 10 6= 11.94 MPa4切應(yīng)力流如圖（e）。916 木制懸臂梁，其截面由 7 塊木料用 A、B 兩種釘子連接而成，形狀如圖所示。梁在自由端承受沿鉛垂對稱軸方向的集中力 FP 作用。已知 FP = 6kN， I z = 1.504 10 9 mm4；A種釘子的縱向間距

15、為 75mm，B 種釘子的縱向間距為 40mm，間距在圖中未標(biāo)出。試求：1A 類釘子每個(gè)所受的剪力；2B 類釘子每個(gè)所受的剪力。112= 1504166667 mm4* 3 A =* I z每根 A 種然受剪力：FQA = A 75 10 3 =I z* 75 10 3 =6 103 750000 10 9 75 10 31504166667 10 12= 224 N*3每根 B 種釘子受剪力： 48 80 20 10 + 80 20 60 + 60 20 110+ 80 20 45.452 + 60 20 54.5522 60 203 55.45 103=16.2 103 55.45 1037.855758 106 64.55 10 3 = 133 MPa=35.45A22 10 85287 10(400 400 3 250 300 3 100 200 3 )解： I z =S zA = 100