數學分析教案 (華東師大版)第十一章反 常 積 分

1、第十一章 反 常 積 分 教學目的：1.深刻理解反常積分的概念及其斂散性的含義；2.熟練掌握無窮積分和瑕積分的性質與斂散性的判別。 教學重點難點：本章的重點是反常積分的含義與性質；難點是反常積分斂散性的判別。 教學時數：8學時 § 1 反常積分概念 （2學時） 教學目的：深刻理解反常積分的概念。 教學重點難點：反常積分的含義與性質 一 問題的提出: 例（P264）.二 兩類反常積分的定義 定義1. 設函數 定義在無窮區(qū)間 上，且在任何有限區(qū)間   上可積，如果存在極限 （1） 則稱此極限J為函數 在 上的無窮限反常積分（簡稱無窮積分），記作 ,并稱 收斂.如果極限（1）不存

2、在，為方便起見，亦稱   發(fā)散. 定義2. 設函數 定義在 上，在點 的任一右鄰域內無界，但在任何內閉區(qū)間  上有界且可積，如果存在極          則稱此極限為無界函數 在 上的反常積分，記作   并稱反常積分 收斂，如果極限不存在，這時也說反常積分  發(fā)散.   例1 討論積分 , , 的斂散性 . 計算積分 . 例 2 討論以下積分的斂散性 : ; . 例3 討論積分 的斂散性 . 例4 判斷積分 的斂散性 . 例5 討論瑕積分 的斂散性 ,并討論積分 的

3、斂散性 . 三 瑕積分與無窮積分的關系: 設函數 連續(xù) , 為瑕點. 有 , 把瑕積分化成了無窮積分;設 , 有 ，把無窮積分化成了瑕積分.可見 , 瑕積分與無窮積分可以互化. 因此 ,它們有平行的理論和結果 .§2. 無窮積分的性質與收斂判定（2學時） 教學目的：深刻理解反常積分斂散性的含義。 教學重點難點：反常積分斂散性的判別。 一 無窮積分的性質 在區(qū)間 上可積 , Const , 則函數 在區(qū)間 上可積, 且      . 和 在區(qū)間 上可積 , 在區(qū)間 上可積 , 且   . 無窮積分收斂的Cauchy準則: Th 積分 收

4、斂 . 絕對收斂與條件收斂: 定義概念.   絕對收斂 收斂, ( 證 )但反之不確.絕對型積分與非絕對型積分 .   二 比較判別法 非負函數無窮積分判斂法: 對非負函數,有 . 非負函數無窮積分斂散性記法. 比較判斂法: 設在區(qū)間 上函數 和 非負且，又對任何 > , 和 在區(qū)間 上可 積 . 則 < , < ； , . 例6 判斷積分 的斂散性. 推論1 （比較原則的極限形式） : 設在區(qū)間 上函數, . 則 > < < , 與 共斂散 : > , < 時, < ； > , 時, . ( 證 ) 推論2 （C

5、auchy判斂法）: ( 以 為比較對象, 即取   .以下 > 0 )設對任何 > , , 且 , < ；若 且 , . Cauchy判斂法的極限形式 : 設 是在任何有限區(qū)間  可積的正值函數. 且 . 則 > < ； > . ( 證 ) 例7 討論以下無窮積分的斂散性 : > >   三 狄利克雷判別法與阿貝爾判別法: 1.Abel判斂法: 若 在區(qū)間 上可積 , 單調有界 , 則積分 收斂. 2.Dirichlet判斂法: 設 在區(qū)間 上有界 ， 在 上單調，且當 時， .則積分 收斂. 例8 討論

6、無窮積分 與 的斂散性. 例9 證明下列無窮積分收斂 , 且為條件收斂 : , , . 例10 ( 乘積不可積的例 ) 設 , 。由例6的結果, 積分 收斂 . 但積分 卻發(fā)散.§3 瑕積分的性質與收斂判別（2學時） 教學目的：熟練掌握無窮積分和瑕積分的性質與斂散性的判別。 教學重點難點：無窮積分和瑕積分斂散性的判別。 類似于無窮積分的柯西收斂準則以及其后的三個性質，瑕積分同樣可由函數極限 的原意寫出相應的命題. Th ( 比較原則 ) P277 Th11.6.   系1 ( Cauchy判別法 ) P277 推論2.   系2 ( Cauchy判別法的極限形式 ) P277 推論3.   例11 判別下列瑕積分的斂散性 : ( 注意被積函數非正 ). .  例12 討論非正常積分 的斂散性. 注記. CR積分與R積分的差異: 1. R , 在 上 ; 但在區(qū)間 上可積 , 在區(qū)間 上有界 . 例如函數 2. R , | | R ,但反之不正確. R積分是絕對型積分. | |在區(qū)間 上可積