數(shù)學模型論文1

1、課 程 實 驗 報 告課程名稱 數(shù)學模型課程設計 專 業(yè) * 班 級 * 組 員 * * 指導教師 * 20*年 *月 *日 摘要本問題討論的是典型的追擊類問題，建立微分關系模型來解決實際問題。對于一些實際問題，我們可以很快的找到一個微分關系式，以建立一個微分方程模型，若有初值，此模型便是一個微分方程的初值問題。在實際應用中，一般來說，決策因數(shù)很多，我們應該找到最主要的因素，同時可以假設一些次要的因數(shù)是不存在的，或者是已知的以簡化模型。在本問題中，建立平面直角坐標系后， 通過對導彈運動軌跡和敵艦運動軌跡的分析，導彈發(fā)射后的任何時刻導彈都對準目標，導彈做曲線運動，敵艦做直線運動，當導彈運動軌跡和

2、敵艦運動軌跡相交時，即導彈擊中敵艦。由此，建立導彈的數(shù)學模型為：得到模型后，再根據(jù)給定的條件，用微分方法對該模型求解。當然我們也可以借助MATLAB軟件建模求解。運用MATLAB軟件建模如下： 然后根據(jù)給定的條件編程運行MATLAB同樣可以解決此類問題。此論文的主要特點在于建立了合理、科學的速度可變，角度可變的數(shù)學模型,為求各種條件的追擊問題準備了條件，選用 MATLAB軟件求解，可以很方便的求出導彈與敵艦在任何時刻的位置，實現(xiàn)實時標記，,具有一定的實際價值。一、問題重述 某軍一導彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向120千米處海面上有敵艇一艘以90千米/小時的速度向正東方向行駛。該基地立即發(fā)射導彈跟蹤追擊敵艇

3、，導彈速率為450千米/小時，自動導航系統(tǒng)使導彈在任一時刻都能對準敵艇。 1 試問導彈在何時何處擊中敵艇？ 2 如果當基地發(fā)射導彈的同時，敵艇立即由儀器發(fā)覺。假定敵艇為高速快艇，它即刻以135千米/小時的速度與導彈方向垂直的方向逃逸，問導彈何時何地擊中敵艇？ 3 敵艇與導彈方向成何夾角逃逸才好？從結論中你能得到些什么看法？二、問題分析 建立平面直角坐標系， 通過對導彈運動軌跡和敵艦運動軌跡的分析， 在導彈發(fā)射后的任何時刻導彈都對準目標，導彈做曲線運動，敵艦做直線運動，當導彈運動軌跡和敵艦運動軌跡相交時，即導彈擊中敵艦。要求導彈運動軌跡，建立仿真模型，根據(jù)給定的條件，對該模型求解。三、模型假設（

4、1）假設導彈基地在坐標原點（2）假設導彈與敵艦的大小遠遠小于它們的運動范圍，因此可以把它們看成質點來對待（3）假設導彈軌跡與敵艦行駛方向在同一平面上（4）假設導彈擊中敵艦之前敵艦未發(fā)現(xiàn)導彈，即敵艦不改變行駛方向和行駛速度 四、模型建立：如圖建立坐標系，取導彈基地為原點O(0,0)，x軸指向正東方，y軸指向正北方。當t=0時，導彈位于點O，敵艦位于點A(0,H)，其中H=120km。設導彈在t時刻位置為P(x(t),y(t)，由題意 （1） 其中v1=450km/h,在t時刻，敵艦位于M(v2t,H)處，其中v2 =90km/h。由于導彈軌跡的切線方向必須指向敵艦，即直線PM的方向就是導彈軌跡上

5、點P的切線方向，故有 或 （2） 方程(1), (2)連同初值條件 x(0)=0,y(0)=0 (3)構成了一個關于時間變量t的一階常微分方程組的初值問題。為了獲得x與y的關系，要設法消去變量t，由(2)式得兩邊對t求導得：即：將上式與(1)合并，再加上初值條件，則得如下初值問題 ：這就是導彈軌跡的數(shù)學模型。五、模型求解（1）模型中的二階方程可以降階。令 ， 則方程可降為一階可分離變量方程 即： 易得：由初值條件，得。從而又上式可改寫為：于是有：這樣我們又得到一個可分離變量方程 積分得：利用 得：從而導彈軌跡方程為: 設導彈擊中敵艦于B(L,H)，以y=H代入上式，得： 擊中敵艦的時刻為 :

6、代入具體數(shù)據(jù)得： 導彈在 0.2778h后在距離為25km處擊中敵艦。 (2)運用Matlab軟件建模如下： 建立模型： （1） （2） （3） （4） 求解并模擬模型，Matlab程序如下：syms x1 y1 x2 y2 t dy1dt dx1dt dy2dt dx2dt; solve('dy1dt/dx1dt=(y2-y1)/(x2-x1)','dy2dt/dx2dt=(x2-x1)/(y2-y1)','dy1dt2+dx1dt2=4502','dy2dt2+dx2dt2=1352','dy1dt','

7、;dx1dt','dy2dt','dx2dt');x1y1=ans.dx1dt,ans.dy1dt; dx1dt=x1y1(2,1); dy1dt=x1y1(2,2); pretty(dx1dt); pretty(dy1dt);x2y2=ans.dx2dt,ans.dy2dt; dx2dt=x2y2(2,1); dy2dt=x2y2(2,2); pretty(dx2dt); pretty(dy2dt);dx1dt=subs(dx1dt,t,'k*t');dy1dt=subs(dy1dt,t,'k*t');dx2dt=sub

8、s(dx2dt,t,'k*t');dy2dt=subs(dy2dt,t,'k*t');dx1dt=inline(dx1dt);dy1dt=inline(dy1dt);dx2dt=inline(dx2dt);dy2dt=inline(dy2dt);x1=0; y1=0; x2=0; y2=120; t=0.001;axis(0,40,0,140); grid on;set(gca,'nextplot','add'); for k=1:1000 x1=x1+dx1dt(x1,x2,y1,y2)*t; y1=y1+dy1dt(x1,x2

9、,y1,y2)*t; x2=x2+dx2dt(x1,x2,y1,y2)*t; y2=y2-dy2dt(x1,x2,y1,y2)*t; plot(x1,y1,'ro',x2,y2,'bs'); frame(k)=getframe; if sqrt(x1-x2)2+(y1-y2)2)<=0.3,break;endendT=k*t,x1,y1運行結果：T=0.2660；x1=-32.8916；y1=109.8963 導彈在 0.266h 后在32.8916km 處擊中敵艦。（3）因為導彈速度遠大于敵艦速度，因此，依靠艦艇自身不能擺脫導彈的追擊，只有盡最大可能拖延

10、時間，尋求支援才可能安全逃離。而由前面計算可知，艦艇航向始終和導彈保持水平才能獲得最多的時間。六、模擬仿真檢驗假設導彈與敵艦相距足夠近時敵艦即被擊中，逃逸方向與導彈速度方向夾角為,如圖建立坐標系。考慮到艦艇的體積，我們認為當導彈坐標點與艦艇坐標點距離小于一米時擊中艦艇。 導彈的坐標為: , 艦艇的坐標為: 在時, 在時， 導彈的位置為： 其中： 此時敵艦的位置 。導彈沿 飛行。 當 時，導彈位置為 ，敵艦位置為 導彈沿 方向飛行， 的傾角為： 從而 時，導彈位置為 敵艦位置為 。其中： 當 時，仿真停止，取 七、模型思考 對于一些實際問題，我們可以很快的找到一個微分關系式，以建立一個微分方程模

11、型，若有初值，此模型便是一個微分方程的初值問題。在實際應用中，一般來說，決策因數(shù)很多，我們應該找到主要的因素，可以假設一些次要的因數(shù)是不存在的，或者是已知的以簡化模型。用微分方程建立模型是一個很重要，也很實用的思想，雖然建立正確的模型不太容易，但是便于我們理解。只要我們運用正確的數(shù)學知識和計算機知識求解也并不是很難的。此模型的優(yōu)點有: 1,本文在正確,清楚地分析了題意的基礎上,建立了合理,科學的可變速度，可變角度的計算模型,為求各種條件的追擊問題準備了條件。2，選用 MATLAB軟件求解，可以很方便的求出導彈與敵艦在任何時刻的位置，實現(xiàn)實時標記，,具有一定的實際價值.。當然，此模型還有很多不足：1,沒有考慮導彈飛行過程中所受的空氣阻力，地心引力，以及其他一些可能引起誤差的外在因素