數(shù)學(xué)模型論文1

1、課 程 實(shí) 驗(yàn) 報(bào) 告課程名稱 數(shù)學(xué)模型課程設(shè)計(jì) 專 業(yè) * 班 級(jí) * 組 員 * * 指導(dǎo)教師 * 20*年 *月 *日 摘要本問(wèn)題討論的是典型的追擊類問(wèn)題，建立微分關(guān)系模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。對(duì)于一些實(shí)際問(wèn)題，我們可以很快的找到一個(gè)微分關(guān)系式，以建立一個(gè)微分方程模型，若有初值，此模型便是一個(gè)微分方程的初值問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中，一般來(lái)說(shuō)，決策因數(shù)很多，我們應(yīng)該找到最主要的因素，同時(shí)可以假設(shè)一些次要的因數(shù)是不存在的，或者是已知的以簡(jiǎn)化模型。在本問(wèn)題中，建立平面直角坐標(biāo)系后， 通過(guò)對(duì)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡和敵艦運(yùn)動(dòng)軌跡的分析，導(dǎo)彈發(fā)射后的任何時(shí)刻導(dǎo)彈都對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)，導(dǎo)彈做曲線運(yùn)動(dòng)，敵艦做直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡和

2、敵艦運(yùn)動(dòng)軌跡相交時(shí)，即導(dǎo)彈擊中敵艦。由此，建立導(dǎo)彈的數(shù)學(xué)模型為：得到模型后，再根據(jù)給定的條件，用微分方法對(duì)該模型求解。當(dāng)然我們也可以借助MATLAB軟件建模求解。運(yùn)用MATLAB軟件建模如下： 然后根據(jù)給定的條件編程運(yùn)行MATLAB同樣可以解決此類問(wèn)題。此論文的主要特點(diǎn)在于建立了合理、科學(xué)的速度可變，角度可變的數(shù)學(xué)模型,為求各種條件的追擊問(wèn)題準(zhǔn)備了條件，選用 MATLAB軟件求解，可以很方便的求出導(dǎo)彈與敵艦在任何時(shí)刻的位置，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)標(biāo)記，,具有一定的實(shí)際價(jià)值。一、問(wèn)題重述 某軍一導(dǎo)彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向120千米處海面上有敵艇一艘以90千米/小時(shí)的速度向正東方向行駛。該基地立即發(fā)射導(dǎo)彈跟蹤追擊敵艇

3、，導(dǎo)彈速率為450千米/小時(shí)，自動(dòng)導(dǎo)航系統(tǒng)使導(dǎo)彈在任一時(shí)刻都能對(duì)準(zhǔn)敵艇。 1 試問(wèn)導(dǎo)彈在何時(shí)何處擊中敵艇？ 2 如果當(dāng)基地發(fā)射導(dǎo)彈的同時(shí)，敵艇立即由儀器發(fā)覺(jué)。假定敵艇為高速快艇，它即刻以135千米/小時(shí)的速度與導(dǎo)彈方向垂直的方向逃逸，問(wèn)導(dǎo)彈何時(shí)何地?fù)糁袛惩В?3 敵艇與導(dǎo)彈方向成何夾角逃逸才好？從結(jié)論中你能得到些什么看法？二、問(wèn)題分析 建立平面直角坐標(biāo)系， 通過(guò)對(duì)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡和敵艦運(yùn)動(dòng)軌跡的分析， 在導(dǎo)彈發(fā)射后的任何時(shí)刻導(dǎo)彈都對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)，導(dǎo)彈做曲線運(yùn)動(dòng)，敵艦做直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡和敵艦運(yùn)動(dòng)軌跡相交時(shí)，即導(dǎo)彈擊中敵艦。要求導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡，建立仿真模型，根據(jù)給定的條件，對(duì)該模型求解。三、模型假設(shè)（

4、1）假設(shè)導(dǎo)彈基地在坐標(biāo)原點(diǎn)（2）假設(shè)導(dǎo)彈與敵艦的大小遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于它們的運(yùn)動(dòng)范圍，因此可以把它們看成質(zhì)點(diǎn)來(lái)對(duì)待（3）假設(shè)導(dǎo)彈軌跡與敵艦行駛方向在同一平面上（4）假設(shè)導(dǎo)彈擊中敵艦之前敵艦未發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈，即敵艦不改變行駛方向和行駛速度 四、模型建立：如圖建立坐標(biāo)系，取導(dǎo)彈基地為原點(diǎn)O(0,0)，x軸指向正東方，y軸指向正北方。當(dāng)t=0時(shí)，導(dǎo)彈位于點(diǎn)O，敵艦位于點(diǎn)A(0,H)，其中H=120km。設(shè)導(dǎo)彈在t時(shí)刻位置為P(x(t),y(t)，由題意 （1） 其中v1=450km/h,在t時(shí)刻，敵艦位于M(v2t,H)處，其中v2 =90km/h。由于導(dǎo)彈軌跡的切線方向必須指向敵艦，即直線PM的方向就是導(dǎo)彈軌跡上

5、點(diǎn)P的切線方向，故有 或 （2） 方程(1), (2)連同初值條件 x(0)=0,y(0)=0 (3)構(gòu)成了一個(gè)關(guān)于時(shí)間變量t的一階常微分方程組的初值問(wèn)題。為了獲得x與y的關(guān)系，要設(shè)法消去變量t，由(2)式得兩邊對(duì)t求導(dǎo)得：即：將上式與(1)合并，再加上初值條件，則得如下初值問(wèn)題 ：這就是導(dǎo)彈軌跡的數(shù)學(xué)模型。五、模型求解（1）模型中的二階方程可以降階。令 ， 則方程可降為一階可分離變量方程 即： 易得：由初值條件，得。從而又上式可改寫(xiě)為：于是有：這樣我們又得到一個(gè)可分離變量方程 積分得：利用 得：從而導(dǎo)彈軌跡方程為: 設(shè)導(dǎo)彈擊中敵艦于B(L,H)，以y=H代入上式，得： 擊中敵艦的時(shí)刻為 :

6、代入具體數(shù)據(jù)得： 導(dǎo)彈在 0.2778h后在距離為25km處擊中敵艦。 (2)運(yùn)用Matlab軟件建模如下： 建立模型： （1） （2） （3） （4） 求解并模擬模型，Matlab程序如下：syms x1 y1 x2 y2 t dy1dt dx1dt dy2dt dx2dt; solve('dy1dt/dx1dt=(y2-y1)/(x2-x1)','dy2dt/dx2dt=(x2-x1)/(y2-y1)','dy1dt2+dx1dt2=4502','dy2dt2+dx2dt2=1352','dy1dt','

7、;dx1dt','dy2dt','dx2dt');x1y1=ans.dx1dt,ans.dy1dt; dx1dt=x1y1(2,1); dy1dt=x1y1(2,2); pretty(dx1dt); pretty(dy1dt);x2y2=ans.dx2dt,ans.dy2dt; dx2dt=x2y2(2,1); dy2dt=x2y2(2,2); pretty(dx2dt); pretty(dy2dt);dx1dt=subs(dx1dt,t,'k*t');dy1dt=subs(dy1dt,t,'k*t');dx2dt=sub

8、s(dx2dt,t,'k*t');dy2dt=subs(dy2dt,t,'k*t');dx1dt=inline(dx1dt);dy1dt=inline(dy1dt);dx2dt=inline(dx2dt);dy2dt=inline(dy2dt);x1=0; y1=0; x2=0; y2=120; t=0.001;axis(0,40,0,140); grid on;set(gca,'nextplot','add'); for k=1:1000 x1=x1+dx1dt(x1,x2,y1,y2)*t; y1=y1+dy1dt(x1,x2

9、,y1,y2)*t; x2=x2+dx2dt(x1,x2,y1,y2)*t; y2=y2-dy2dt(x1,x2,y1,y2)*t; plot(x1,y1,'ro',x2,y2,'bs'); frame(k)=getframe; if sqrt(x1-x2)2+(y1-y2)2)<=0.3,break;endendT=k*t,x1,y1運(yùn)行結(jié)果：T=0.2660；x1=-32.8916；y1=109.8963 導(dǎo)彈在 0.266h 后在32.8916km 處擊中敵艦。（3）因?yàn)閷?dǎo)彈速度遠(yuǎn)大于敵艦速度，因此，依靠艦艇自身不能擺脫導(dǎo)彈的追擊，只有盡最大可能拖延

10、時(shí)間，尋求支援才可能安全逃離。而由前面計(jì)算可知，艦艇航向始終和導(dǎo)彈保持水平才能獲得最多的時(shí)間。六、模擬仿真檢驗(yàn)假設(shè)導(dǎo)彈與敵艦相距足夠近時(shí)敵艦即被擊中，逃逸方向與導(dǎo)彈速度方向夾角為,如圖建立坐標(biāo)系?？紤]到艦艇的體積，我們認(rèn)為當(dāng)導(dǎo)彈坐標(biāo)點(diǎn)與艦艇坐標(biāo)點(diǎn)距離小于一米時(shí)擊中艦艇。 導(dǎo)彈的坐標(biāo)為: , 艦艇的坐標(biāo)為: 在時(shí), 在時(shí)， 導(dǎo)彈的位置為： 其中： 此時(shí)敵艦的位置 。導(dǎo)彈沿 飛行。 當(dāng) 時(shí)，導(dǎo)彈位置為 ，敵艦位置為 導(dǎo)彈沿 方向飛行， 的傾角為： 從而 時(shí)，導(dǎo)彈位置為 敵艦位置為 。其中： 當(dāng) 時(shí)，仿真停止，取 七、模型思考 對(duì)于一些實(shí)際問(wèn)題，我們可以很快的找到一個(gè)微分關(guān)系式，以建立一個(gè)微分方程模

11、型，若有初值，此模型便是一個(gè)微分方程的初值問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中，一般來(lái)說(shuō)，決策因數(shù)很多，我們應(yīng)該找到主要的因素，可以假設(shè)一些次要的因數(shù)是不存在的，或者是已知的以簡(jiǎn)化模型。用微分方程建立模型是一個(gè)很重要，也很實(shí)用的思想，雖然建立正確的模型不太容易，但是便于我們理解。只要我們運(yùn)用正確的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)知識(shí)求解也并不是很難的。此模型的優(yōu)點(diǎn)有: 1,本文在正確,清楚地分析了題意的基礎(chǔ)上,建立了合理,科學(xué)的可變速度，可變角度的計(jì)算模型,為求各種條件的追擊問(wèn)題準(zhǔn)備了條件。2，選用 MATLAB軟件求解，可以很方便的求出導(dǎo)彈與敵艦在任何時(shí)刻的位置，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)標(biāo)記，,具有一定的實(shí)際價(jià)值.。當(dāng)然，此模型還有很多不足：1,沒(méi)有考慮導(dǎo)彈飛行過(guò)程中所受的空氣阻力，地心引力，以及其他一些可能引起誤差的外在因素