微分形式及其應用

1、微分形式及其應用1 引子 兩個函數(shù)，如何檢驗它們是否互為函數(shù)呢？比如 ，它們之間就有關系，這很明顯。但是對于復雜的函數(shù)就未必一眼看得出。另一個老實的辦法是，計算它們的雅克比行列式，因此它們相關，互為函數(shù)關系。 對于多元的就要麻煩些，要計算多個雅克比。比如，要想判定他們是否互為函數(shù)，就要判定，都為0才對。有沒有更好的表達方式呢？有利用外微分（過一會再解釋）好奇怪的運算規(guī)則：任何兩個函數(shù)微分的外積，互換次序得負；任何相同表達式微分的外積為0。，這讓我們想起了面積的定義。對了！外積的意義就是面積。我們重新理解一下（見圖）如果將作為兩個變量，則組成空間。作為的函數(shù)，當改變時，也隨之改變。當函數(shù)互不關聯(lián)

2、（不互為函數(shù)時），由于各自獨立改變，當遍歷一個非常小的方形區(qū)域時，也形成一個小面積。但是當函數(shù)互為關聯(lián)（互為函數(shù)時），由于各自改變不獨立，當遍歷一個非常小的方形區(qū)域時，僅在一個小線段上（或者在一個點，總之在低維的空間上）運動。由于就代表面積元，因此為0.可見，在高維空間中，微分形式非常有用?。? 微分形式我們看在二維空間上的一個線積分是 定義的一段曲線（在這里是半圓弧線）?？梢院苋菀追e分出來如果換一條曲線，會得到另一個值。比如，如果是定義的一段拋物線，可得積分如果不定義曲線，這個積分則不能得到具體的數(shù)值。因此，可以認為這個積分是曲線的函數(shù)，也就是說，給定一條曲線，它就能給出一個值。我們稱它為積

3、分形式。（只有形式，等待內(nèi)容曲線）如果去掉積分號我們則稱其為微分形式（只有形式，等待內(nèi)容曲線或1維的映射）。給定一個映射，如，我們就能計算這個微分我們稱映射將二維空間上的微分形式，拉回到1維空間上。微分形式是與坐標無關的。也就是說，一個積分形式，不論如何改變坐標系，只要定義的曲線不變，其積分值是不變的。同樣，一個微分形式，不論如何改變坐標系，只要定義的曲線不變，其微分是不變的。這個性質(zhì)，滿足了物理學描述客觀性的愿望，因此物理規(guī)律（物理方程）用微分形式表達非常簡單漂亮。3 微分形式的外積我們看面積分，給定一個面，就可以計算這個積分。但是這個表達式有一個缺憾，就是對于復雜表達，如定義模糊。我們看變

4、換變量時，這個表達式變?yōu)椋渲惺亲儞Q的Jacobi行列式。因此我們將其表達為，規(guī)定對于任何表達式，都要滿足，則變量改變就可以名正言順地寫為剛好滿足變量變換的關系。這樣我們類推地定義外積：我們知道一個微分形式（1-形式）描述了一個線形式?？梢酝评?，兩個1-微分形式，可以構(gòu)造出面形式（2-微分形式）。如果兩個1-微分形式外積為0，這兩個微分形式相關，即存在某個函數(shù)使得4 外微分 給定一個1-微分形式能否得到一個2-微分形式？可以通過外微分。我們定義一個微分形式的外微分，與這個微分形式的閉合回路積分有關。對于無窮小面元，有其邊界組成的閉合回路具體地5 微分形式的應用1 函數(shù)是常函數(shù)2 函數(shù)極值點表明

5、自變量改變時，函數(shù)值不變。比如，得到。如果將函數(shù)看成映射，在這一點的映射出現(xiàn)奇異，即這一點附近無窮小的鄰域映射為一點。非奇異點處奇異點處函數(shù)值空間函數(shù)值空間自變量空間自變量空間3 兩個函數(shù)相關（這在引子中給出了）如果將函數(shù)看成映射，將自變量整個空間映射成一條線或點（低于2維的空間）。Xfg 3個函數(shù)相關其他以此類推。4 條件極值即在情況下計算的極值。通常用Lagrange乘子法，這里可以用微分形式表達式。在極值點附近區(qū)域映射為線。Xfg非奇異點處奇異點處比如在約束，情況下計算的極值點。因為所以得到，與Lagrange乘子法計算的一致，但是方程簡單。多個約束以此類推，如兩個約束極值問題, 在情況

6、下計算的極值, 就可以按照下面方程給。5 計算偏導數(shù)問題在熱力學中經(jīng)常需要計算各種偏導數(shù)問題。采用微分形式可以方便地計算。熱力學中只有兩個自由參數(shù)。利用等關系定義變量間關系。將其外微分，得到那么熱力學可以方便地給出熱力學公式，比如，兩邊除以可以得到可以得到對任意一個等式，都可以改變自變量如 外微分后除以可以得到三對換關系就是求導換自變量比如方便得很6 正交曲線坐標系的求導公式形式地寫作，可以特解，其齊次方程的解 滿足的解為 根據(jù)微分關系記憶很容易 , 系數(shù)反對稱化是的要求例如 球坐標系根據(jù)這個公式可以寫出在球面坐標系下的各種梯度、旋度、散度等。方法是方向矢量的偏微分直接計算。記住這個公式，需要

7、借助立體圖。圖中畫出了點及經(jīng)過其點曲面坐標的三個單位矢量；改變形行成的大圓弧，改變形成的小圓，改變形成通過坐標原點的射線。改變不會影響這些方向。每個單位矢量在這些變化中，形成的圖形：大圓，小圓，上椎體，下椎體。（1）當改變時，是大圓的徑向，變化量為大圓半徑為1時對應的弧長，大圓切線方向；當改變時，是下椎體母線方向，改變量為母線長度為1時對應椎體邊弧長，方向小圓切線方向；（2）當改變時，是大圓切線方向，改變向心方向；當改變時，是上椎體母線方向，改變量為母線為1時的體邊弧長，方向小圓切線方向；（3）當改變時，平行移動；當改變時，是小圓切線，按照小圓轉(zhuǎn)動，改變向心方向；在柱面坐標系中，完全通過直觀可以給出7 包絡幾何（包絡線，包絡面等）理論含有參數(shù)的方程組代表空間幾何曲線或幾何面簇，當參數(shù)改變時，幾何曲線或幾何面會隨之改變。這些幾何簇的包絡就是他們共切的曲線。定義了一簇低維面，如果將參數(shù)改變后仍滿足，于是可以得到包絡幾何滿足的方程，這就定義了包絡幾何。設原方程代表N維空間中m維的曲面簇，x的維數(shù)是N，f的維數(shù)是（N-m），其包絡為N維空間中N+1-2（N-