平面向量的基本概念

1、平面向量的實(shí)際背景及基本概念1.向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。2.數(shù)量的概念：只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量。數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.3. 有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段。4. 有向線段的三要素：起點(diǎn)，大小，方向A(起點(diǎn)) B（終點(diǎn)）a 5.有向線段與向量的區(qū)別；（1）相同點(diǎn)：都有大小和方向（2）不同點(diǎn)：有向線段有起點(diǎn)，方向和長(zhǎng)度，只要起點(diǎn)不同就是不同的有向線段 比如：上面兩個(gè)有向線段是不同的有向線段。 向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在中的兩個(gè)有向線 段表示相同（等）的向

2、量。 向量是用有向線段來表示的，可以認(rèn)為向量是由多個(gè)有向線段連接而成6.向量的表示方法：用有向線段表示；用字母、（黑體，印刷用）等表示；用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：；7.向量的模：向量的大?。ㄩL(zhǎng)度）稱為向量的模，記作|.8.零向量、單位向量概念：長(zhǎng)度為零的向量稱為零向量，記為：0。長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量。9.平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行.即：0 。說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義； （2）向量、平行，記作. 10.相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）向量與相等，記作；（2）零向量與零向量相等； （3）任意兩個(gè)相等的非

3、零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有 向線段的起點(diǎn)無關(guān).11.共線向量與平行向量關(guān)系：BAOCDEF平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)）說明：（1）平行向量是可以在同一直線上的。 （2）共線向量是可以相互平行的。例1.判斷下列說法是否正確，為什么？（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（6）兩個(gè)非零向量相等當(dāng)且僅當(dāng)什么？（7）共線向量一定在同一直線上嗎？解析：（1）不是，方

4、向可以相反，可有定義得出。 （2）不是，當(dāng)兩個(gè)向量方向相同的時(shí)候，只要長(zhǎng)度不相等就不是相等向量，但是是平行的。 （3）零向量 （4）零向量 （5）共線向量（平行向量 （6）長(zhǎng)度相等且方向相同 （7）不一定，可以平行。例2.下列命題正確的是（ ）A.與共線，與共線，則與c也共線B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是平行四邊形的四頂點(diǎn)C.向量與不共線，則與都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的

5、平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以不正確；對(duì)于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若與不都是非零向量，即與至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有與共線，不符合已知條件，所以有與都是非零向量，所以應(yīng)選C.例3.如右圖所示，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量 相等的向量。解：按照向量相等的定義可知： 向量的加法運(yùn)算及其幾何意義向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.三角形法則（記憶口訣：“首尾相接，從頭指尾”）3.三角形法則的來由如圖，已知向量a、.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作a，則向量叫做a與的和，記作a，即 a，規(guī)定：a

6、+ 0-= 0 + aABCa+ba+baabbaba+ba4.向量加法的字母公式：5.平行四邊形法則圖1 如圖1,以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形,則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和.我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.6.平行四邊形法則與三角形法則的區(qū)別：（1） 平行四邊形法則是將兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起做出平行四邊形，最終和向量的結(jié)果的起點(diǎn)和兩個(gè)分向量的起點(diǎn)是同一起點(diǎn)。（2） 三角形法則要求第一個(gè)向量終點(diǎn)和第二個(gè)向量的起點(diǎn)連接在一起，然后連接第一個(gè)向量的起點(diǎn)和第二個(gè)向量的終點(diǎn)組成三角形，最終和向量的結(jié)果是：由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)。

7、7. 一般結(jié)論當(dāng)a,b不共線時(shí),|a+b|<|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊);當(dāng)a,b共線且方向相同時(shí),|a+b|=|a|+|b|;當(dāng)a,b共線且方向相反時(shí),|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中當(dāng)向量a的長(zhǎng)度大于向量b的長(zhǎng)度時(shí),|a+b|=|a|-|b|;當(dāng)向量a的長(zhǎng)度小于向量b的長(zhǎng)度時(shí),|a+b|=|b|-|a|.一般地,我們有|a+b|a|+|b|.二例題講解例1、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1, = a, = b, = c,則| a+b+c|等于（ ）A0 B3 C2 D2 . 解： D C A 作出正方形ABCD的圖形如上圖所示，那么：a+b=c,所以a

8、+b+c=2c,所以|a+b+c|=|2c|=2|c|=2,所以選D.例2.化簡(jiǎn):(1)+;(2)+;(3)+.例3.如圖所示,已知矩形ABCD中,|=4,設(shè)=a,=b,=c,試求向量a+b+c的模.解:過D作AC的平行線,交BC的延長(zhǎng)線于E,DEAC,ADBE.四邊形ADEC為平行四邊形.=,=.于是a+b+c=+=+=+=2,|a+b+c|=2|=8.1判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由。向量 AB與 CD是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上；單位向量都相等；任一向量與它的相反向量不相等； 一個(gè)向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0；共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同。2.（1）

9、判斷下列式子是否正確，若不正確請(qǐng)指出錯(cuò)誤原因. =0.-=0（2） 若將所有單位向量的起點(diǎn)歸結(jié)在同一起點(diǎn)，則其終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是_.（3） 將所有共線向量移至同一起點(diǎn)，終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是什么圖形？_3下列說法正確的是（ ）A. 平行向量是方向相同的向量 B. 長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量C. 零向量的長(zhǎng)度為0 D. 共線向量是在同一條直線上的向量4若非零向量與共線，則以下說法下確的是（ ）A. 與必須在同一直線上 B. 與平行，且方向必須相同C. 與平行，且方向必須相反 D. 與平行1、在四邊形中，若，則四邊形的形狀一定是 ( )(A) 平行四邊形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形2、兩列火

10、車從同一站臺(tái)沿相反方向開去，走了相同的路程，設(shè)兩列火車的位移向量分別為和，那么下列命題中錯(cuò)誤的一個(gè)是（ ）A、與為平行向量 B、與為模相等的向量 C、與為共線向量 D、與為相等的向量3、下列命題中正確的是( ) A.單位向量都相等 B.長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量 C.若a，b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>b D.對(duì)于任意向量a、b,必有|a+b|a|+|b| 平面向量的加法運(yùn)算1、 用三角形法則和平行四邊形法則分別畫出2、下列命題中正確的是( ) A.單位向量都相等 B.長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量 C.若a，b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>b D.對(duì)于任意向量a、b,必有|a+b|a|+|b| 3、已知正方形的邊長(zhǎng)為1， =a，=b，=c,則|a+b+c|等于( ) A.0 B.3 C. D.24、兩列火車從同一站臺(tái)沿相反方向開去，走了相同的路程，設(shè)兩列火車的位移向量分別為和，那么下列命題中錯(cuò)誤的一個(gè)是A、與為平行向量 B