反常積分的幾種計算方法

1、目 錄摘 要 1關鍵詞 1Abstract 1Keywords10 前 言 11反常積分的定義 11.1無窮積分的定義 11.2 瑕積分的定義 . 22 反常積分的計算方法 32.1利用NewtonLeibniz公式計算反常積分 32.2利用變量替換法計算反常積分 32.3利用分部積分法計算反常積分 52.4利用分段積分自我消去法計算反常積分 72.5利用方程法計算反常積分 72.6利用級數法計算反常積分 92.7利用待定系數法計算反常積分10結束語 11參考文獻.11 反常積分的幾種計算方法摘要:該文主要對反常積分的計算方法進行歸納、總結.重點描述了在進行計算時各種方法的靈活使用.關鍵詞:反

2、常積分;變量替換;分部積分;級數法;待定系數法Several calculation methods of abnormal integralAbstract: This paper mainly sums up the calculation methods of abnormal integral. This paper emphasizes on describing the flexible use of various methods in the calculation.Keywords: Abnormal integral; Variable substitution; subs

3、ection integral; Series method; the method of undetermined coefficient 0前言反常積分是微積分學中一類重要的積分，反常積分的計算是學習積分計算中的重難點。本文不僅介紹了常見的三大基本方法：NewtonLeibniz公式、利用變量替換、利用分部積分法，還介紹了分段積分自我消去法、方程法、級數法和待定系數法等一些在解決問題時較適用的方法，通過引用一些經典例題使我們對這些方法有更加深刻的認識。但是在解決具體問題時要求我們注意各種方法的靈活性與相互滲透，這樣可以簡便計算。1反常積分的定義1.1無窮積分的定義定義1設函數定義在無窮區(qū)間

4、上,且在任何有限區(qū)間上可積,如果存在極限, 則稱此極限為函數在上的無窮限反常積分(簡稱無窮積分)，記作, 并稱收斂.如果極限不存在,為方便起見,亦稱發(fā)散.類似地,可定義在上的無窮積分：. 對于在上的無窮積分,它用前面兩種無窮積分來定義：. 1.2瑕積分的定義定義2設函數定義在區(qū)間上,在點的任一右領域上無界,但在任何內閉區(qū)間上有界且可積.如果存在極限, 則稱此極限為無界函數在上的反常積分,記作, 并稱反常積分收斂.如果極限不存在,這時也說反常積分發(fā)散.在定義中,被積函數在點近旁是無界的,這時點稱為的瑕點,而無界函數反常積分又稱為瑕積分.類似地,可定義瑕點為時的瑕積分：. 其中在有定義,在點的任一

5、左領域上無界,但在任何上可積.若的瑕點,則定義瑕積分 =. 其中在上有定義,在點的任一領域上無界,但在任何和上都可積.當且僅當式右邊兩個瑕積分都收斂時,左邊的瑕積分才是收斂的.又若兩點都是的瑕點,而在任何上可積,這時定義瑕積分 =, 其中為上任一實數.同樣地,當且僅當式右邊兩個瑕積分都收斂時,左邊的瑕積分才是收斂的.2反常積分的計算方法在計算反常積分時有三大基本方法：NewtonLeibniz公式、利用變量替換、利用分部積分法.設是反常積分, 為唯一的奇點(為有限數,或),計算：2.1利用NewtonLeibniz公式計算反常積分 若在連續(xù),且為的原函數,則. 例1 計算的值.解： 在上連續(xù),

6、從而在任何上可積, 為其瑕點，故2.2利用變量替換法計算反常積分若在上單調,有連續(xù)的導數,(為有限數或無窮大),則. (9)例2 計算的值.解：令則, .例3 證明等式,其中(假設二積分有意義).分析:比較該等式的兩邊,我們必須使得,因,此即要求,亦即.因此我們選取的變換如下：證明：令,此時成立,因此可得，.于是,在上式的右邊的第一個積分里,令,再將改寫成,二積分合并,得.因此該式得證.2.3利用分部積分法計算反常積分設在上有連續(xù)的導數,則. (10)例4 計算的值.解： 例5 計算積分.解：(困難在于被積函數中有對數符號,用分部積分法消去)原式 (我們看到,這里如果被積函數沒有分母的,用積化

7、和差公式,立即可以算出積分值.因此,我們希望設法應用公式將被積函數拆開).因為,第一個積分為0，第二個積分令,.例6 計算.解： ,分部積分可建立的遞推公式: ,即.,.在計算時我們也可以利用變量替換法進行求解,令,再直接引用公式.利用分部積分法我們常?？梢缘玫竭f推公式從而簡化運算.除了上述的三種基本方法外，根據具體情況，經常用的還有下列幾種方法：2.4利用分段積分自我消去法計算反常積分在這種方法的計算中主要分為兩步：第一步：將所需計算的積分區(qū)間進行分段；第二步：進行變量替換,通過變量替換可以將分段后的某些積分區(qū)間與其中的某些區(qū)間相抵消或者合并.例7 計算的值.解：=0通過上述計算我們可以發(fā)現

8、這種方法可以省略很多計算,關鍵在于對積分區(qū)間的分段和變量替換要找到最合適的,否則適得其反.2.5利用方程法計算反常積分使用方程法計算反常積分是分為兩步：第一步：通過變量替換,將原積分進行變形;第二步：將原積分與變形后的積分相加,通過計算相加后的積分從而求出原積分.例8 計算積分.解：=通過解方程得：.例9 計算積分.解：則.2.6利用級數法計算反常積分在運用級數法求反常積分時,關鍵在于積分區(qū)間進行分段,使所求的反常積分可以表示成級數的求和運算,從而簡化運算.例10 證明.證明: (1) 當時, ,由于積分收斂,故收斂.(2) .因此：.2.7利用待定系數法計算反常積分在使用待定系數法時通常先將

9、有理分式化為部分分式,再通過待定系數求解,在使用這種方法時通常結合多種方法求解.例11 計算積分.解：(拆為部分分式)設(為待定系數).將同乘等式兩邊.然后,得 ,其中于是 .注意到 (當時),因此 .結束語反常積分的計算方法靈活多變,對于任一問題都存在多種計算方法,我們在計算時要提取最簡便的方法,除了上述的幾種計算方法還有很多的計算方法需要我們去探究、歸納、總結,更重要的是我們要學會這些方法的靈活使用.參考文獻:1 費定輝等,基米多繼奇數學分析習題M,山東:山東科技出版社,1990.2 同濟大學應用數學系,高等數學M,北京:高等教育出版社，2002.3 劉玉蓮,傅沛仁.數學分析講義M.第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47.4 周建瑩,李正元.高等數學解題指南M.北京:北京大學出版社,2002.212-214.