第五章電子自旋

1、第五章 電子自旋 從歷史上看，電子自旋先由實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)，然后才由狄拉克（Dirac）方程從理論上導(dǎo)出的。進(jìn)一步研究表明，不但電子存在自旋，中子、質(zhì)子、光子等所有微觀粒子都存在自旋，只不過取值不同。自旋和靜質(zhì)量、電荷等物理量一樣，也是描述微觀粒子固有屬性的物理量。 在電子自旋的學(xué)習(xí)中，首先要了解電子自旋的實(shí)驗(yàn)依據(jù)及自旋假設(shè)，重點(diǎn)掌握電子自旋的描述，同時(shí)能應(yīng)用電子自旋的理論解釋原子光譜現(xiàn)象。1 電子自旋的實(shí)驗(yàn)依據(jù)及自旋假設(shè)1.1 光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)在人們考慮電子軌道角動(dòng)量時(shí)，量子數(shù)只能取一系列分立值：，只能初步解釋原子光譜的一些規(guī)律，后來(lái)在比較精密的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)：在無(wú)外場(chǎng)情況下，原有譜線存在細(xì)致的分裂現(xiàn)

2、象，光譜線的這種自然分裂現(xiàn)象被稱為光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)現(xiàn)象，其原因不能有電子的軌道角動(dòng)量來(lái)解釋，還必須考慮其內(nèi)部因素電子存在自旋。如鈉原子光譜中有一譜線，波長(zhǎng)為D=5893Å。但精細(xì)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上，這是由兩條譜線組成的。 D1=5895.93 Å D2=5889.95 Å Na的D線：3p3s的精細(xì)結(jié)構(gòu)有二條。 粗單線精細(xì)雙線1.2 反常塞曼效應(yīng)（Anomalous Zeeman effect） 如果將原子至于均勻磁場(chǎng)中，也能觀測(cè)到光譜線的分裂現(xiàn)象塞曼效應(yīng)。塞曼效應(yīng)分正常（簡(jiǎn)單）和反常（復(fù)雜）兩種情況，前者可以用軌道角動(dòng)量的空間量子化來(lái)解釋，即軌道磁量子數(shù)只能取個(gè)奇

3、數(shù)值。但后者則無(wú)法僅用軌道角動(dòng)量來(lái)解釋，必須認(rèn)為電子具有除軌道角動(dòng)量之外的其它半整數(shù)角動(dòng)量。1.3 斯特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)（Stern-Gerlach）（1922年） 當(dāng)使基態(tài)的氫原子束通過不均勻磁場(chǎng)時(shí)，觀測(cè)到原子束僅分裂成兩束，即僅兩個(gè)態(tài)。這個(gè)實(shí)驗(yàn)直接證實(shí)了半整數(shù)角動(dòng)量的存在。因?yàn)?，?duì)于基態(tài)，無(wú)軌道磁矩；而角動(dòng)量的空間分量是 ，因只有兩個(gè)態(tài)，量子數(shù)只能是，它不可能是軌道的，只能是電子自身固有的角動(dòng)量，稱其為電子自旋角動(dòng)量，并用表示。1.4 （G. Uhlenbeck）（烏倫貝克） S.Goudsmit（古德斯密特）假設(shè) 1925年二人合作根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果提出電子自旋的假設(shè)：（1）電子具有自旋角動(dòng)量，它

4、在空間任何方向上的投影值（測(cè)量值）僅取兩個(gè)值，例如 方向 （1）（2）由于電子具有自旋，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，它也具有自旋磁矩（內(nèi)稟磁矩），它與自旋角動(dòng)量關(guān)系是 （2） 和分別是電子的電荷和質(zhì)量，在空間任何方向上的投影值（測(cè)量值）僅取兩個(gè)值 （玻爾磁子） （3）電子自旋與軌道角動(dòng)量的不同之處：電子自旋純粹是一種量子特征，它沒有對(duì)應(yīng)的經(jīng)典物理量，不能由經(jīng)典物理量獲得其算符。電子自旋雖具有角動(dòng)量的力學(xué)特征，但不能像軌道角動(dòng)量那樣表達(dá)成坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)，即電子自旋是電子內(nèi)部狀態(tài)的反映，它是描述微觀粒子的又一個(gè)動(dòng)力學(xué)變量，是繼之后的描寫電子自身狀態(tài)的第四個(gè)量；電子自旋值不是的整數(shù)倍而只能是；電子自旋的回轉(zhuǎn)磁比率，

5、它是電子軌道運(yùn)動(dòng)回轉(zhuǎn)磁比率 的兩倍。2. 自旋的描述2.1 自旋波函數(shù)（1）電子狀態(tài)波函數(shù) 實(shí)驗(yàn)表明，電子不是一個(gè)簡(jiǎn)單的只具有三個(gè)自由度的的粒子，它還具有自旋這個(gè)自由度，要對(duì)它的狀態(tài)作出完全的描述還必須考慮其自旋狀態(tài)。確切的說(shuō)，要考慮電子自旋在某給定方向上的投影的取值，所以電子狀態(tài)波函數(shù)中還應(yīng)包含自旋投影這個(gè)變量。習(xí)慣上取軸方向投影變量記為，這樣電子狀態(tài)波函數(shù)應(yīng)寫為 （4） 規(guī)定第一行對(duì)應(yīng)電子自旋為的狀態(tài)，第二行對(duì)應(yīng)電子自旋為的狀態(tài)。在對(duì)電子狀態(tài)波函數(shù)進(jìn)行歸一化時(shí)，必須考慮既對(duì)空間坐標(biāo)積分又要對(duì)自旋變數(shù)求和，即 （5） 其中，分別表示在時(shí)刻在處單位體積內(nèi)找到自旋為和的電子的概率。表示在時(shí)刻在處

6、單位體積內(nèi)找到電子的概率。（2）自旋波函數(shù) 空間變量和自旋變量雖然是彼此獨(dú)立的，但這并不意味者空間運(yùn)動(dòng)和自旋運(yùn)動(dòng)在任何情況下都相互無(wú)關(guān)，在許多情況下二者是相互聯(lián)系相互作用的，因此，空間變量和自旋變量一般是不能分離的，只是在某些特殊情況下，軌道與自旋的相互作用小到可以忽略時(shí)，波函數(shù)才可以分離變量，寫成 （6）式中是描述電子自旋狀態(tài)的波函數(shù)，簡(jiǎn)稱為自旋波函數(shù)，一般應(yīng)表示為二分量形式 （7） 其中 表示自旋的概率，表示自旋的概率。自旋波函數(shù)的歸一化條件為 （8）的具體形式要在具體表象中確定。2.2自旋算符 和所有力學(xué)量一樣，在量子力學(xué)中自旋角動(dòng)量也應(yīng)用算符表示。在量子力學(xué)中決定算符本質(zhì)屬性的是它的對(duì)

7、易關(guān)系，所以按一般角動(dòng)量理論，自旋算符的對(duì)易關(guān)系定義為 （9）它的分量式為 （10）或簡(jiǎn)記為 其中 力學(xué)量算符的本征值就是實(shí)驗(yàn)中的觀測(cè)值，由斯特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)可知，自旋算符的本征值都是，寫為 （11）式中 為自旋量子數(shù)，它只能取值；為自旋磁量子數(shù)，它只能取值或。定義自旋平方算符為 （12）由于本征值 ，所以的本征值為 （13）注意平方算符的本征值是唯一的，又稱為常數(shù)算符。 引入無(wú)量綱的泡利算符， （14）由的對(duì)易關(guān)系可得 （15） （16）或簡(jiǎn)記為 其中 的本征值 （17） 常數(shù)算符及的本征值分別為 （18） （19）算符間還存在反對(duì)易關(guān)系 （20）由（16）、（20）可得 ，與。 應(yīng)注意：上述

8、和是兩套平行的描述自旋的算符，只是的本征值計(jì)算起來(lái)簡(jiǎn)潔一些。2.3自旋算符的矩陣形式 自旋函數(shù)是矩陣，作用在自旋函數(shù)上的自旋算符應(yīng)該是矩陣。令泡利（Pauli）矩陣 由表象理論知，若采用表象，則應(yīng)是對(duì)角化的，對(duì)角元素即為其本征值，由于的本征值為，所以 （21）關(guān)于在表象中的具體形式，可根據(jù)算符的厄米性，設(shè)利用可得 于是 這樣寫成 （22）由于的本征值為1 所以 單位矩陣則 令 （為實(shí)數(shù)） 這樣 （23） 類似可得 （24）利用 可得 即有 由于和之間有一個(gè)相角不定性（相當(dāng)于取定軸后，軸取向并未取定，只確定了軸之間的關(guān)系），習(xí)慣上取 從而可得，在表象中，泡利矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式為 （25）在表象中，自

9、旋算符矩陣表示的標(biāo)準(zhǔn)形式為 （26）注意以下兩點(diǎn)： （1）只是在三個(gè)特殊方向上的投影，若以表示在任意方向（方向余弦是）的投影，則 （27） （2）以上討論的是表象，若在表象中，應(yīng)為對(duì)角矩陣，通過坐標(biāo)輪換得 矩算 符 陣表象 2.4本征值和本征函數(shù)令的本征函數(shù)為，對(duì)應(yīng)的本征值為，寫出本征方程 即由此可得 有非零解的條件 由此得 ，即的本征值為。 對(duì)應(yīng) 得 所以 利用歸一化條件 得 我們?nèi)?（實(shí)際取 中的相角） 所以 （29）同理 （30） 這兩個(gè)對(duì)應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)正交 并且構(gòu)成電子自旋態(tài)的一組正交歸一完備系，電子的任意自旋態(tài)均可以它們?yōu)榛刚归_ （31） 注意以下幾個(gè)問題： （1）表象中，

10、的本征值和本征函數(shù) 由于本征值不隨表象而變化，可見的本征值均為，相應(yīng)的本征函數(shù)為 （32）它們可用的本征函數(shù)來(lái)展開 （2）利用球坐標(biāo)系分析任意方向上的投影算符的本征函數(shù) 求解本征方程 容易得到 即本征值也為 取 則利用第二式 得 利用歸一化條件得 取 則 于是得 同理可得 當(dāng)時(shí)，可得 ；當(dāng)時(shí)，可得 。顯然的本征函數(shù)可以用的本征函數(shù)展開 由此可以看出，在態(tài)中，出現(xiàn)的本征值為的概率為，本征值為 的概率為 。（3）任意表象中的本征值和本征函數(shù)例如，在表象中，可利用以下算符的本征方程求解本征值和本征函數(shù) 事實(shí)上，將表象結(jié)果通過坐標(biāo)輪換即可： 可自行證明2.5對(duì)波函數(shù)作用的任意算符考慮到自旋問題，任意狀態(tài)波函數(shù)都應(yīng)是二分量形式