微分中值定理的應用之中值點存在性研究

1、微分中值定理的應用之中值點存在性的研究1 引言微分中值定理（羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理）是微分學的基本定理，在微積分中占有非常重要的地位，有著廣泛的應用，其中證明某區(qū)間上滿足一定條件的中值點的存在性是微分中值定理非常重要的應用，也是在歷年考研試題中經(jīng)常出現(xiàn)的題型之一.利用中值定理證明中值點的存在性，要兼顧條件與結(jié)論，綜合分析，尋求證明思路，解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，而構(gòu)造輔助函數(shù)技巧性較強，本文通過一些典型題目的求解，全面總結(jié)了證明此類問題的技巧與方法.2 一個中值點的情形（1） 原函數(shù)法在利用微分中值定理證明中值點的存在性問題時，關(guān)鍵是根據(jù)所證明的結(jié)論構(gòu)造

2、輔助函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)最基本最重要的思想就是尋求原函數(shù)，而尋求原函數(shù)的方法又因所證結(jié)論不同而不同. 直接法這種方法的解題思路主要是根據(jù)題目所證結(jié)論中常數(shù)項的特點直接得到輔助函數(shù).例1 函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，證明:在內(nèi)至少存在一點，使得.分析：結(jié)論等號左側(cè)顯然是函數(shù)在區(qū)間兩端點函數(shù)值的差與區(qū)間長度之商,于是聯(lián)想到對函數(shù)使用拉格朗日中值定理.證明：令，顯然在上滿足拉格朗日中值定理條件.于是知：在內(nèi)至少存在一點，使 得 ，而 ，即得結(jié)論.證畢.例2 函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，試證：存在，使得.分析：將結(jié)論變形為，等式左端的形式很容易聯(lián)想到柯西中值定理，輔助函數(shù)顯然可取為.證明：令，易知，在上滿足柯西

3、中值定理的條件，于是可得：存在，使 ，即 ，亦即.證畢. 值法此方法的解題思路是：把常數(shù)部分設為，然后作恒等變形使等式一端為與構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為與構(gòu)成的代數(shù)式，分析關(guān)于端點的表達式是否為對稱式或輪換對稱式，若是，則把（或）改為，相應的函數(shù)值（或）改為，則替換變量后的表達式就是所求的輔助函數(shù).例3（拉格朗日中值定理） 如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在開區(qū)間內(nèi)可導，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得.分析：結(jié)論可變形為，令，則，顯然這是一個對稱式，故可令.證明：作輔助函數(shù)，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，因此上滿足羅爾定理的條件，于是至少存在一點使得，即，亦即.證畢.注：例1、例2也可以

4、用此方法證明. 積分法這種方法的基本思想是利用不定積分尋求輔助函數(shù)，具體做法如下：將結(jié)論中的換成，通過恒等變形將結(jié)論化成的形式，然后用觀察或直接積分（如果不易通過觀察得到）求得原函數(shù)，積分常數(shù)取為0. 例4 設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且.證明：至少存在一點，使.分析：結(jié)論即要證明函數(shù)在內(nèi)有根，而 ，即證明函數(shù)在內(nèi)有零點.因結(jié)論中含有函數(shù)導數(shù)，故可考慮利用羅爾定理.通過觀察易發(fā)現(xiàn)，于是輔助函數(shù)可取為.證明：令，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，于是由羅爾定理知：至少存在一點，使，而，故，即.證畢.注：例1，例2，例3也可使用這種方法證明.例5 設函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，證明：至少存在一點，使.分

5、析：結(jié)論即要證明函數(shù)在內(nèi)有零點，因結(jié)論中含有函數(shù)導數(shù)，故考慮利用羅爾定理，而此函數(shù)的原函數(shù)通過觀察可能感到有點困難.將變形為 ，即要證明函數(shù)在內(nèi)有零點.而，顯然與的導數(shù)有相同的零點，于是可取原函數(shù)為.證明：令,顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，于是由羅爾定理知：至少存在一點，使，而，故，又，于是.證畢.當所證明的結(jié)論中出現(xiàn)二階導數(shù)時通?？煽紤]兩次使用中值定理證明.例6 設函數(shù)在上有二階導數(shù)，且,，證明:在內(nèi)至少存在一點，使得.分析：結(jié)論即要證明函數(shù)在內(nèi)有零點，可考慮對函數(shù)使用羅爾定理,關(guān)鍵是要找到使得函數(shù)值相等的兩個點.而，易知，而由題設知顯然在上滿足羅爾定理條件，故必存在點,使得，在上對函數(shù)使用羅

6、爾定理即得結(jié)論.證明：顯然在上滿足羅爾定理的條件，故存在點,使得.因為，由條件易知在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，于是由羅爾定理知：在內(nèi)至少存在一點，使得.證畢.例7 設函數(shù)在上二階可導，且，.試證：（1）在內(nèi)；（2）至少存在一點，使.分析：（1）類似，或多用反證法證明.（2）仍可考慮使用羅爾定理，關(guān)鍵是尋找輔助函數(shù)，結(jié)論可變形為，即證函數(shù)在內(nèi)有零點.由 .故可取為原函數(shù).證明：（1）假設存在一點使，顯然在上滿足羅爾定理條件.于是存在，使得，.而在上又滿足羅爾定理條件，于是存在，使得，與題設條件矛盾.故在內(nèi).（2）令，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，由羅爾定理知至少存在一點，使得，又，故.由(1)知，即得

7、.證畢.（2） 泰勒公式法當題設中出現(xiàn)高階導數(shù)（三階或三階以上的導數(shù)）時，通?？煽紤]使用泰勒公式證明中值點的存在性.例8 若函數(shù)在上有三階導數(shù)，且，設，試證：在內(nèi)至少存在一個點，使.分析：由題設顯然函數(shù)在上有三階導數(shù)，故考慮利用的泰勒展開式.證明：在處的二階泰勒展開式為：至少存在一個點，使得.因為 ，所以 ，于是得.而，故.證畢.注：此題也可使用三次羅爾定理證明.例9 設函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導數(shù)，且，.試證：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使.證明：由，得在處的二階泰勒公式為 （介于0與之間，）.由題設知 ， ，兩式相減，可得.又在區(qū)間連續(xù)，從而在上也連續(xù)，故在區(qū)間上有最大值和最小值.從而有，由

8、介值定理知，至少存在一點，使得.證畢.3 兩個中值點的情形在證明兩個中值點存在性的命題時，通?？煽紤]使用兩次中值定理.例10 已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，證明:（1）存在，使；（2）存在不同的兩個點，使得分析：（1）即證函數(shù)在內(nèi)有零點，可用零點定理證之.（2）要證滿足條件的兩個不同點,可考慮在不同區(qū)間上使用中值定理.而(1)中點即把區(qū)間分為兩個區(qū)間，對在兩個區(qū)間上分別使用拉格朗日中值定理，再尋求兩個結(jié)論之間的關(guān)系即可.證明：(1) 令，顯然在上連續(xù)，且，則由零點定理知，至少存在一點，使，即.（2） 顯然在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理條件，故存在一點，使得，即；存在一點，使得，即.從而.證畢.

9、例11 函數(shù)在上連續(xù)，在可導，試證:存在，使得.分析：結(jié)論中兩點只要存在即可，不要求一定不同，故可在同一區(qū)間上使用兩次中值定理.同時結(jié)論中的部分可看作函數(shù)與在點處的導數(shù)之商，故聯(lián)想到柯西中值定理.再對使用拉格朗日中值定理，然后尋求兩個結(jié)論之間的關(guān)系.證明：令，易知與在上連續(xù)，在可導，且.由柯西中值定理知,存在，使得，即 ， .而由拉格朗日中值定理知，存在，使得 .由以上兩式得:存在 ， 使 即.證畢.4 含中值點的積分等式的證明這種命題的基本思路是：將題設中的定積分轉(zhuǎn)化為變限積分的函數(shù)，這一函數(shù)通常即可作為輔助函數(shù)，再結(jié)合微分中值定理得到證明.例12 設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，若極限存在，

10、證明：（1）在內(nèi)；（2）在內(nèi)存在一點，使；（3）在內(nèi)存在與（2）中不同的點，使.分析：（1）可用連續(xù)性及極限的相關(guān)知識證明.（2）將結(jié)論變形為，則左側(cè)可看作函數(shù)在端點函數(shù)值之差，而.再由等式特點可知對函數(shù)在上利用柯西中值定理即可.（3）結(jié)論中出現(xiàn)了，聯(lián)想到對函數(shù)在區(qū)間上利用拉格朗日中值定理.證明：（1）由存在及函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，知.又因知在內(nèi)單調(diào)增加，故當時，有.（2）令 ，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導，又，故滿足柯西中值定理的條件，所以存在一點，使得，即.(3) 對函數(shù)在區(qū)間上利用拉格朗日中值定理知存在，使得，即，代入（2）的結(jié)論，即得.證畢.注：將題設中的定積分轉(zhuǎn)化為變限積分的函數(shù)是定積分證明題中的常用方法.例13 設函數(shù)在上連續(xù)，且，.證明：在內(nèi)至少存在兩個不同的點，使.分析：直接證明函數(shù)在內(nèi)至少存在兩個不同的零點比較困難，若令，而，故可證在內(nèi)至少存在