微分中值定理論文

1、引言通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)我們知道，微分學(xué)在數(shù)學(xué)分析中具有舉足輕重的地位，它是組成數(shù)學(xué)分析的不可缺失的部分。對(duì)于整塊微分學(xué)的學(xué)習(xí)，我們可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是構(gòu)成它理論基礎(chǔ)知識(shí)的一塊非常重要的內(nèi)容。由此可知，對(duì)于深入的了解微分中值定理，可以讓我們更好的學(xué)好數(shù)學(xué)分析。通過(guò)對(duì)微分中值定理的研究，我們可以得到它不僅揭示了函數(shù)整體與局部的關(guān)系，而且也是微分學(xué)理論應(yīng)用的基礎(chǔ)。微分中值定理是一系列中值定理總稱(chēng)，但本文主要是以拉格朗日定理、羅爾定理和柯西定理三個(gè)定理之間的關(guān)系1-3以及它們的推廣為研究對(duì)象，利用它們來(lái)討論一些方程根（零點(diǎn)）的存在性, 和對(duì)極限的求解問(wèn)題，以及一些不

2、等式的證明。中值定理的內(nèi)容及聯(lián)系 基本內(nèi)容45對(duì)于，微分中值定理的了解，我們了解到它包含了很多中值定理，可以說(shuō)它是一系列定理的總稱(chēng)。而本文主要是以其中的三個(gè)定理為對(duì)象，進(jìn)行探討和發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系。它們分別是“羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理和柯西（Cauchy）定理”。這三個(gè)定理的具體內(nèi)容如下：Rolle 定理 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)，使。Lagrange定理 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)，使Cauchy定理設(shè)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)，使得 。 三個(gè)中值定理之間的關(guān)系現(xiàn)在我們來(lái)看這三個(gè)定理，從這三個(gè)定理的內(nèi)容我們不難看出它們之

3、間具有一定的關(guān)系。那它們之間具體有什么樣的關(guān)系呢？我們又如何來(lái)探討呢？這是我們要關(guān)心的問(wèn)題，我們將利用推廣和收縮的觀點(diǎn)來(lái)看這三個(gè)定理。首先我們先對(duì)這三個(gè)定理進(jìn)行觀察和類(lèi)比，從中可以發(fā)現(xiàn)，如果把羅爾定理中的這一條件給去掉的話(huà)，那么定理就會(huì)變成為拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加這一條件的話(huà)，顯然就該定理就會(huì)成為了羅爾定理。通過(guò)這一發(fā)現(xiàn)，可以得到這樣的一個(gè)結(jié)論：拉格朗日定理是羅爾定理的推廣，而羅爾定理是拉格朗日定理的收縮，或是它的特例。繼續(xù)用這一思路來(lái)看拉格朗日定理和柯西定理，看看這兩者之間又是如何的聯(lián)系？我們先對(duì)柯西定理進(jìn)行觀察，從觀察中會(huì)是我們作出這樣的假設(shè)，如果令定理中的的話(huà)，發(fā)現(xiàn)

4、定理成為了拉格朗日定理。這使得我們發(fā)現(xiàn)他們二者之間的聯(lián)系， 拉格朗日定理是柯西定理收縮，而柯西定理則是拉格朗日定理的推廣。我們利用這一方法可以得到它們之間的關(guān)系。總的來(lái)說(shuō)，這三個(gè)定理既單獨(dú)存在，相互之間又存在著聯(lián)系。我們從上面的討論中可以總結(jié)得到，羅爾定理是這一塊內(nèi)容的基石，而拉格朗日定理則是這一塊內(nèi)容的核心，那么柯西定理是這一塊內(nèi)容的推廣應(yīng)用。如果我們從幾何的意義上來(lái)看這三個(gè)中值定理的話(huà)，那它們之間又是如何的呢？在這里我們不具體的給予研究，而是直接給予結(jié)果。若用幾何解釋?zhuān)骸叭粢粭l連續(xù)的曲線(xiàn)，曲線(xiàn)上端點(diǎn)除外的每一點(diǎn)都有切線(xiàn)存在，且存在的切線(xiàn)于軸相交的夾角不為直角；那么像這一類(lèi)曲線(xiàn)具有共同的屬性

5、曲線(xiàn)上有一點(diǎn)，它的切線(xiàn)與曲線(xiàn)端點(diǎn)的連線(xiàn)平行”。定理的推廣67前面我們已經(jīng)討論了定理之間的關(guān)系，接下來(lái)我們來(lái)看它們的推廣。從前面的內(nèi)容我們知道，這三個(gè)定理都要求函數(shù)在上是連續(xù)，在內(nèi)是可導(dǎo)。那么我們?nèi)绻讯ɡ碇械拈]區(qū)間，把它推廣到無(wú)限區(qū)間或，再把開(kāi)區(qū)間推廣到無(wú)限區(qū)間或的話(huà)，則這些定理是否還能滿(mǎn)足條件，或者我們能得出哪些相應(yīng)的定理呢？通過(guò)討論研究我們知道，按照以上的想法把中值定理的區(qū)間，推廣到無(wú)限區(qū)間上可以得到幾個(gè)相應(yīng)的定理，本文在此只提到其中的三個(gè)，下面給出定理以及證明。定理1 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)，使成立。證明：令，則，即可得到關(guān)于參數(shù)函數(shù)當(dāng)時(shí)，則即，再令在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，

6、且，由Rolle定理可得到，使成立令，有，而.，使成立 證畢定理2 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且，至少存在一點(diǎn)，使成立。定理2的證明可以參照定理1。定理3 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且，則至少存在一點(diǎn)，使成立。證明：設(shè)，則，即可得到關(guān)于參數(shù)函數(shù)當(dāng)時(shí)，則即，再令在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由Lagrange定理得，使成立即令，有，而，使 成立. 證畢定理的應(yīng)用通過(guò)上面對(duì)定理的研究和探討，加深了我們的理解。我們知道中值定理在解題中具有十分廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)在我們來(lái)看看這三個(gè)定理的具體運(yùn)用。我們學(xué)知識(shí)，不僅僅是為了讓我們知道，更主要的是學(xué)了要會(huì)用，這才是最關(guān)鍵的。 利用定理證明方程根（零點(diǎn)）的存在性例1 若在上連續(xù)

7、，在內(nèi)可導(dǎo)，證明在內(nèi)方程。分析：由于題目是要求方程是否有根存在，所以可以先對(duì)方程進(jìn)行變形，把方程變?yōu)椤Ｄ敲捶匠逃懈脑?huà)，則原方程也有根。變形之后的方程有存在，所以可以利用不定積分把方程，轉(zhuǎn)變?yōu)椤，F(xiàn)在我們返回來(lái)看題目，由題目中我們可以知道在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，由函數(shù)的連續(xù)性和求導(dǎo)的概念，可以得到函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，那么我們不難想到利用羅爾中值定理就可以證明該題了。證明:令，顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，而.根據(jù)Rolle定理, 至少存在一點(diǎn)，使. 證畢本文主要在于輔助函數(shù)的構(gòu)造，我們從結(jié)論出發(fā)，構(gòu)造輔助函數(shù)，使得該題可以利用中值定理來(lái)證明，接下來(lái)是考慮利用微分中值定理中的哪一個(gè)即可。對(duì)于構(gòu)造

8、輔助函數(shù)我們可以得到，所以選在利用羅爾定理證明。這是對(duì)解該類(lèi)問(wèn)題的總結(jié)，也是自己對(duì)該類(lèi)問(wèn)題解題提出的一個(gè)解題思路模式，大家可以借鑒。下來(lái)我們繼續(xù)看兩道例題：設(shè)在，在，證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使成立。分析：對(duì)于等式，則可以?xún)蛇呁裕吹仁阶蠖藶?，這個(gè)商式可看為函數(shù)在上的改變量與自變量的改變量之商，則會(huì)考慮利用Lagrange定理，那么可構(gòu)造輔助函數(shù)。證明: ，則在，在，由Lagrange定理，存在一點(diǎn)，使，即，即 證畢設(shè)在，在，證明:在內(nèi)存在一點(diǎn)，使成立。分析:等式兩邊同除以，即該等式的左端為，這個(gè)商式可看為函數(shù)與在閉區(qū)間上的改變量之商，則我們會(huì)想到利用柯西定理來(lái)證明，那么構(gòu)造輔助函數(shù)。證明：令，

9、對(duì) ，在上運(yùn)用Cauchy定理，得，即，即. 證畢 用定理求極限在求極限的題目里，有些題目如果運(yùn)用通常的一些方法來(lái)求解的話(huà)，則會(huì)使我們?cè)诮忸}過(guò)程中出現(xiàn)很大的計(jì)算量，或者比較繁瑣的解題過(guò)程。但是應(yīng)用中值定理的話(huà)，會(huì)為這一類(lèi)題目提供一種簡(jiǎn)單有效的方法。而用中值定理來(lái)解題，最關(guān)鍵在于輔助函數(shù)的構(gòu)造，然后在運(yùn)用中值定理解題，即可求出極限。例1 求，其中。分析：由于題目中有和，則可以試著構(gòu)造輔助函數(shù)，那么就可以得到在連續(xù)，在可導(dǎo)，即可以利用Lagrange定理解題了。解：根據(jù)題意，由Lagrangge定理，有其中，已知，試求。解： 令，則對(duì)于函數(shù)在上滿(mǎn)足Lagrangge定理可得： ， 當(dāng)時(shí)，把得到的上

10、述個(gè)不等式相加得： 即故 證明不等式對(duì)于數(shù)學(xué)體系來(lái)說(shuō)不等式是一塊很重要的內(nèi)容。故不等式的證明對(duì)數(shù)學(xué)是很重要的。當(dāng)我們學(xué)習(xí)了中值定理，知道了它在不等式的證明中起著巨大的作用?！拔覀兛梢愿鶕?jù)不等式兩邊的代數(shù)式選取一個(gè)來(lái)構(gòu)造輔助函數(shù)，再應(yīng)用中值定理得出一個(gè)等式后，對(duì)這個(gè)等式根據(jù)自變量的取值范圍的不同進(jìn)行討論，得到不等式”。下面我們來(lái)通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明定理在證明中的運(yùn)用。例1 設(shè)，對(duì)的情況，求證。分析：證明不等式最常用的方法有做差，做商，對(duì)于該題目如果直接應(yīng)用做差或者做商的話(huà)顯然是不行的。那我們是否能通過(guò)變形是，他們可以應(yīng)用做差或是做商呢？我們來(lái)看下不等式，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，等式兩邊就相等了，所以接下來(lái)排除，

11、分兩步討論。在觀察不等式兩邊的代數(shù)式，不難看出左邊的代數(shù)式比較復(fù)雜，則是否可以把左邊的代數(shù)式構(gòu)造輔助函數(shù)，是題目可以運(yùn)用中值定理解題呢？不妨設(shè)，。利用Cauchy定理即可證明。證明：當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立，當(dāng)時(shí)，取或，在該區(qū)間設(shè) ，由Cauchy定理得： 或即當(dāng)時(shí)，即又故，即當(dāng)時(shí)，則故，即由此，不等式得證例2 已知在滿(mǎn)足，且在內(nèi)取最大值，試證：。 分析：若能找到點(diǎn)，使，則要證的結(jié)論便轉(zhuǎn)化為變量的形式： ，則根據(jù) Lagrangge 定理證之即可。然而對(duì)于的尋找，應(yīng)該從題目中條件的在開(kāi)區(qū)間內(nèi)取到最大值入手。 定理推廣的應(yīng)用對(duì)于中值定理推廣到無(wú)限區(qū)間上，在于求解一些題目，如果應(yīng)用了中值定理的該推廣會(huì)比較

12、方便的得到解題，下面我們來(lái)看一個(gè)例子：例1 如果函數(shù)，求證：，使得。分析：對(duì)于該題目我們通常會(huì)采用這樣一種證法，令，有，即可得證。這種證明的方法，可以說(shuō)是利用極限方法來(lái)證明的，我們現(xiàn)在考慮是否還可以運(yùn)用其它的方法來(lái)證明。若要運(yùn)用中值定理來(lái)證明是否可以呢？下面給出該方法。證明： 由題得在連續(xù)，在可導(dǎo)，且可得：那么，由推廣定理的定理1，得到：，使得 證畢例 2 設(shè)在上可得，且，證明：，使得。證明 問(wèn)題相當(dāng)于要找，使，因函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，故，即又，即所以由定理2知，使得，即題目得證。 證畢中值定理的應(yīng)用廣泛，本文從幾個(gè)方面介紹了該定理的運(yùn)用。通過(guò)以上的例題讓大家知道，應(yīng)用這幾定理的關(guān)鍵和解題的難點(diǎn)，是在

13、于對(duì)輔助函數(shù)的構(gòu)造。在論文中通過(guò)一些題目的解題過(guò)程讓大家了解到對(duì)于一道題目來(lái)說(shuō)，他的解題的方法具有多樣性，對(duì)于方法的選擇是解題過(guò)程繁簡(jiǎn)的關(guān)鍵，選擇一種簡(jiǎn)便的方法可以使我們快速有效的作答。也希望通過(guò)這幾道例子能讓大家對(duì)定理加深理解和應(yīng)用。結(jié)論本課題的研究成果是通過(guò)大學(xué)階段的有關(guān)數(shù)學(xué)分析知識(shí)的學(xué)習(xí)，和一些相關(guān)學(xué)科內(nèi)容的知識(shí)的學(xué)習(xí)，并結(jié)合一些相關(guān)的參考圖書(shū)資料，以及通過(guò)網(wǎng)絡(luò)收集期刊、報(bào)刊和雜志上的相關(guān)內(nèi)容，其中還包括自己對(duì)這些內(nèi)容的理解，還通過(guò)多方面的了解和研究，且在和老師和同學(xué)們的一起探討下，我們了解到微分中值定理的內(nèi)在聯(lián)系，也對(duì)微分中值定理的推廣做了探討，接著對(duì)微分中值定理的應(yīng)用做了歸納總結(jié)。對(duì)微分中值定理本課題主要是以羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，三個(gè)定理之間的聯(lián)系為主要的研究對(duì)象，希望通過(guò)本課題能讓大家加深了對(duì)的這三個(gè)定理的理解和應(yīng)用，也希望通過(guò)例題的解析，能使得大家在應(yīng)用微分中值定理上更加的嫻熟。參考文獻(xiàn)：1盛曉蘭.例談微分中值定理的證題技巧J.技術(shù)監(jiān)督教育學(xué)刊,2009，1：16-19.2黨艷霞.淺談微分中值定理及其應(yīng)用J.廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,1:28-31.3劉章輝.微分中值定理及其應(yīng)用J.山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)