命題及其關(guān)系充分條件與必要條件教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件2014高考會這樣考1.考查四種命題的意義及相互關(guān)系；2.考查對充分條件、必要條件、充要條件等概念的理解，主要以客觀題的形式出現(xiàn)；3.在解答題中考查命題或充分條件與必要條件復(fù)習備考要這樣做1.在解與命題有關(guān)的問題時，要理解命題的含義，準確地分清命題的條件與結(jié)論；2.注意條件之間關(guān)系的方向性、充分條件與必要條件方向正好相反；3.注意等價命題的應(yīng)用1 命題的概念在數(shù)學(xué)中把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題2 四種命題及相互關(guān)系3 四種命題的真假關(guān)系(1)

2、兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系4 充分條件與必要條件(1)如果pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)如果pq，qp，則p是q的充要條件注意對定義的理解:例如：若pq，則p是q的 充分不必要條件，p的必要不充分條件是q。難點正本疑點清源 1 等價命題和等價轉(zhuǎn)化(1)逆命題與否命題互為逆否命題；(2)互為逆否命題的兩個命題同真假；(3)當判斷原命題的真假比較困難時，可以轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假2 集合與充要條件設(shè)集合Ax|x滿足條件p，Bx|x滿足條件q，則有(1)若AB，則p是q的充分條件，若，則p是q的充分不

3、必要條件；(2)若BA，則p是q的必要條件，若，則p是q的必要不充分條件；(3)若AB，則p是q的充要條件；(4)若AB，且B A，則p是q的既不充分也不必要條件題型一四種命題的關(guān)系及真假例1已知命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”，則下列結(jié)論正確的是 (D)A否命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)，則m>1”是真命題B逆命題“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)”是假命題C逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)”是真命題D逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”是真命題思維啟迪

4、：根據(jù)四種命題的定義判斷一個原命題的逆命題、否命題、逆否命題的表達格式當命題較簡單時，可直接判斷其真假，若命題本身復(fù)雜或不易直接判斷時，可利用其等價命題逆否命題進行真假判斷解析命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”是真命題，所以其逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”是真命題探究提高(1)熟悉四種命題的概念是正確書寫或判斷四種命題真假的關(guān)鍵；(2)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假；(3)認真仔細讀題，必要時舉特例 命題“若x，y都是偶數(shù)，則xy也是偶

5、數(shù)”的逆否命題是 (C)A若xy是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù) B若xy是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C若xy不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù) D若xy不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)解析由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達是“x，y不都是偶數(shù)”，“xy是偶數(shù)”的否定表達是“xy不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若xy不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”，故選C.題型二充要條件的判斷例2已知下列各組命題，其中p是q的充分必要條件的是(D)Ap：m2或m6；q：yx2mxm3有兩個不同的零點 Bp：；q：yf(x)是偶函數(shù)Cp：coscos；q：tantan Dp：ABA；q：AU，BU，UBUA思維啟迪：首先要分清條件

6、和結(jié)論，然后可以從邏輯推理、等價命題或集合的角度思考問題，做出判斷解析對于A，由yx2mxm3有兩個不同的零點，可得m24(m3)>0，從而可得m<2或m>6.所以p是q的必要不充分條件；對于B，由f(x)f(x)yf(x)是偶函數(shù)，但由yf(x)是偶函數(shù)不能推出，例如函數(shù)f(x)0，所以p是q的充分不必要條件；對于C，當coscos0時，不存在tantan，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要條件；對于D，由ABA，知AB，所以UBUA；反之，由UBUA，知AB，即ABA.所以pq.綜上所述，p是q的充分必要條件的是D.探究提高判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：

7、一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題 給出下列命題：“數(shù)列an為等比數(shù)列”是“數(shù)列anan1為等比數(shù)列”的充分不必要條件；“a2”是“函數(shù)f(x)|xa|在區(qū)間2，)上為增函數(shù)”的充要條件；“m3”是“直線(m3)xmy20與直線mx6y50互相垂直”的充要條件；設(shè)a，b，c分別是ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a1，b，則“A30°”是“B60°”的必要不充分條件其中真命題的序號是 解析對于

8、，當數(shù)列an為等比數(shù)列時，易知數(shù)列anan1是等比數(shù)列，但當數(shù)列anan1為等比數(shù)列時，數(shù)列an未必是等比數(shù)列，如數(shù)列1,3,2,6,4,12,8顯然不是等比數(shù)列，而相應(yīng)的數(shù)列3,6,12,24,48,96是等比數(shù)列，因此正確；對于，當a2時，函數(shù)f(x)|xa|在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，因此正確；對于，當m3時，相應(yīng)的兩條直線互相垂直，反之，這兩條直線垂直時，不一定有m3，也可能m0.因此不正確；對于，由題意得，若B60°，則sin A，注意到b>a，故A30°，反之，當A30°時，有sin B，由于b>a，所以B60°或B120°

9、，因此正確綜上所述，真命題的序號是.題型三利用充要條件求參數(shù)例3已知集合Mx|x<3或x>5，Px|(xa)·(x8)0(1)求實數(shù)a的取值范圍，使它成為MPx|5<x8的充要條件；(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為MPx|5<x8的一個充分但不必要條件思維啟迪：解決此類問題一般是先把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，再根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解解(1)由MPx|5<x8，得3a5，因此MPx|5<x8的充要條件是a|3a5(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為MPx|5<x8的一個充分但不必要條件，就是在集合a|3a

10、5中取一個值，如取a0，此時必有MPx|5<x8；反之，MPx|5<x8未必有a0，故“a0”是“MPx|5<x8”的一個充分但不必要條件探究提高利用充要條件求參數(shù)的值或范圍，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化條件，準確地將每個條件對應(yīng)的參數(shù)的范圍求出來，然后轉(zhuǎn)化為集合的運算，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗 已知p：x24x50，q：|x3|<a (a>0)若p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍解設(shè)Ax|x24x50x|1x5，Bx|a3<x<a3，因為p是q的充分不必要條件，從而有AB.故解得a>4.等價轉(zhuǎn)化思想在充要條件關(guān)系中的應(yīng)用典例：(12分)已知p：2，q：

11、x22x1m20 (m>0)，且的必要而不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍審題視角(1)先求出兩命題的解集，即將命題化為最簡(2)再利用命題間的關(guān)系列出關(guān)于m的不等式或不等式組，得出結(jié)論規(guī)范解答解方法一 由q：x22x1m20，得1mx1m，2分：Ax|x>1m或x<1m，m>0，3分由p：2，解得2x10，5分：Bx|x>10或x<2 6分的必要而不充分條件AB，或即m9或m>9.m9.12分方法二p是q的必要而不充分條件，p是q的充分而不必要條件， 2分由q：x22x1m20，得1mx1m，q：Qx|1mx1m， 4分由p：2，解得2x10，p：Px|

12、2x10 6分p是q的充分而不必要條件，PQ，或即m9或m>9.m9. 12分答題模板第一步：求命題p、q對應(yīng)的參數(shù)的范圍第二步：求命題、對應(yīng)的參數(shù)的范圍第三步：根據(jù)已知條件構(gòu)造新命題，如本題構(gòu)造新命題“p且q”或“p或q”第四步：根據(jù)新命題的真假，確定參數(shù)的范圍第五步：反思回顧查看關(guān)鍵點、易錯點及解題規(guī)范溫馨提醒解決此類問題的關(guān)鍵是準確地把每個條件所對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍求解出來，然后轉(zhuǎn)化為集合交、并、補的基本運算答題時，可依答題模板的格式進行，這樣可使答題思路清晰，過程完整老師在閱卷時，便于查找得分點.溫馨提醒本例涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題轉(zhuǎn)化

13、為簡單、熟悉的問題來解決一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮，這是破解此類問題的關(guān)鍵.方法與技巧1 當一個命題有大前提而要寫出其它三種命題時，必須保留大前提，也就是大前提不動；對于由多個并列條件組成的命題，在寫其它三種命題時，應(yīng)把其中一個(或幾個)作為大前提2 數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題，但命題與定理是有區(qū)別的；命題有真假之分，而定理都是真的3 命題的充要關(guān)系的判斷方法(1)定義法：直接判斷若p則q,若q則p的真假(2)等價法：利用AB與，BA與，AB與綈B的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法(3)利用集合間的包

14、含關(guān)系判斷：若AB，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若AB，則A是B的充要條件失誤與防范1 判斷命題的真假及寫四種命題時，一定要明確命題的結(jié)構(gòu)，可以先把命題改寫成“若p則q”的形式2 判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“p的一個充分而不必要條件是q”等語言A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (2012·湖南)命題“若，則tan1”的逆否命題是(C)A若，則tan1 B若，則tan 1C若tan1，則 D若tan1，則解析由原命題與其逆否命題之間的關(guān)系可知，原命題的逆否命題：若tan 1，則.2 (2012·福建)已知向量a(x1,2

15、)，b(2,1)，則ab的充要條件是 (D)Ax Bx1 Cx5 Dx0解析a(x1,2)，b(2,1)，a·b2(x1)2×12x.又aba·b0，2x0，x0.3 已知集合Mx|0<x<1，集合Nx|2<x<1，那么“aN”是“aM”的(B)A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件解析因為MN，所以aMaN，反之，則不成立，故“aN”是“aM”的必要而不充分條件故選B.4 下列命題中為真命題的是(A)A命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題B命題“若x>1，則x2>1”的否命題C

16、命題“若x1，則x2x20”的否命題D命題“若x2>0，則x>1”的逆否命題解析對于A，其逆命題：若x>|y|，則x>y，是真命題，這是因為x>|y|，必有x>y；對于B，否命題：若x1，則x21，是假命題如x5，x225>1；對于C，其否命題：若x1，則x2x20，因為x2時，x2x20，所以是假命題；對于D，若x2>0，則x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命題的逆否命題是假命題，故選A.二、填空題(每小題5分，共15分)5 下列命題：若ac2>bc2，則a>b；若sinsin，則；“實數(shù)a0”是“直線x2ay

17、1和直線2x2ay1平行”的充要條件；若f(x)log2x，則f(|x|)是偶函數(shù)其中正確命題的序號是解析對于，ac2>bc2，c2>0，a>b正確；對于，sin 30°sin 150°則30°150°，所以錯誤；對于，l1l2A1B2A2B1，即2a4aa0且A1C2A2C1，所以對；對于顯然對6 已知p(x)：x22xm>0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為3,8)解析因為p(1)是假命題，所以12m0，解得m3；又因為p(2)是真命題，所以44m>0，解得m<8.故實數(shù)m的取值范圍是3

18、m<8.7 (2011·陜西)設(shè)nN，一元二次方程x24xn0有整數(shù)根的充要條件是n3或4解析x24xn0有整數(shù)根，x2±，4n為某個整數(shù)的平方且4n0，n3或n4.當n3時，x24x30，得x1或x3；當n4時，x24x40，得x2.n3或n4.三、解答題(共22分)8 (10分)判斷命題“若a0，則x2xa0有實根”的逆否命題的真假解原命題：若a0，則x2xa0有實根逆否命題：若x2xa0無實根，則a<0.判斷如下：x2xa0無實根，14a<0，a<<0，“若x2xa0無實根，則a<0”為真命題9 (12分)已知p：|x3|2，q：(

19、xm1)(xm1)0，若的充分而不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍解由題意得p：2x32，1x5.：x<1或x>5.q：m1xm1，：x<m1或x>m1.又的充分而不必要條件，且等號不能同時取到，2m4.法二：B組專項能力提升一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (2012·上海)對于常數(shù)m、n，“mn>0”是“方程mx2ny21的曲線是橢圓”的(B)A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析mn>0，或當m>0，n>0且mn時，方程mx2ny21的曲線是橢圓，當m<0，n<0時，方程mx2ny

20、21不表示任何圖形，所以條件不充分；反之，當方程mx2ny21表示的曲線是橢圓時有mn>0，所以“mn>0”是“方程mx2ny21的曲線是橢圓”的必要不充分條件2 已知p：1，q：|xa|<1，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍為(C)A(，3 B2,3 C(2,3 D(2,3)解析由1，得2<x3；由|xa|<1，得a1<x<a1.若p是q的充分不必要條件，則，即2<a3.所以實數(shù)a的取值范圍是(2,3，故選C.3 集合Ax|x|4，xR，Bx|x<a，則“AB”是“a>5”的(B)A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件解析Ax|4x4，若AB，則a>4.a>4D/a>5，但a>5a>4.故“AB”是“a>5”的必要不充分條件二、填空題(每小題5分，共15分)4 設(shè)有兩個命題p、q.其中p：對于任意的xR，不等式ax22x1>0恒成立；命題q：f(x)(4a3)x在R上為減函數(shù)如果兩個命題中有且只有一個是真命題，那么實數(shù)a的取值范圍