平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)求法全解拔高1

1、坐標(biāo)的應(yīng)用（講義）知識(shí)點(diǎn)睛平面直角坐標(biāo)系知識(shí)回顧：1、 數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的一條直線(xiàn)，當(dāng)我們把兩條數(shù)軸如圖放置，就能構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系；它們有共同的原點(diǎn)，水平方向的數(shù)軸我們叫x軸或橫軸，鉛直方向的數(shù)軸我們叫y軸或縱軸；2、 我們用有序?qū)崝?shù)對(duì)（a,b）來(lái)表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)；數(shù)軸把平面直角坐標(biāo)系分成四個(gè)部分，分別是第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。每一個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)：（，），（，），（，），（，）；3、 每一個(gè)點(diǎn)（a,b）的坐標(biāo)由兩部分組成：A、它的符號(hào)，由它在坐標(biāo)系中的位置決定；B、它的長(zhǎng)度，a的絕對(duì)值表示點(diǎn)到縱軸的距離，b的絕對(duì)值表示點(diǎn)到橫軸的距離，一般需做橫平豎

2、直的垂線(xiàn)；4、 關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，x相同，y相反；關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，x相反，y相同；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，x、y都相反；于x軸平行的直線(xiàn)，y相同，x不同，可表示為y=b；于y軸平行的直線(xiàn)，x相同，y不同；可表示為x=a；坐標(biāo)系中求線(xiàn)段長(zhǎng)的方法：如果兩個(gè)點(diǎn)的連線(xiàn)平行于x軸或y軸，則其線(xiàn)段長(zhǎng)等于大坐標(biāo)小坐標(biāo)；如果不平行，則運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式：L=；5、牢記中點(diǎn)坐標(biāo)公式：6、平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的處理原則：A、過(guò)點(diǎn)做平行于x軸、y軸的垂線(xiàn)；B、 坐標(biāo)轉(zhuǎn)線(xiàn)段長(zhǎng)，線(xiàn)段長(zhǎng)轉(zhuǎn)坐標(biāo)；4) 點(diǎn)的存在性問(wèn)題：3 平行四邊形中已知三點(diǎn)坐標(biāo)確定第四點(diǎn)坐標(biāo)： ；4 等腰三角形中已知兩點(diǎn)坐標(biāo)確定第三點(diǎn)坐標(biāo)：

3、精講精練1.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A（-1，0），B（0，4），頂點(diǎn)C，D在第二象限內(nèi)，則C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是_，_（分別過(guò)C、D兩點(diǎn)構(gòu)造雙垂直模型，正方形四邊均相等，因此所構(gòu)造的雙垂直模型都是全等三角形。）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-2，-3），B（5，-2），C（2，4），D（-2，2），求四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積（構(gòu)造直角三角形，將坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段長(zhǎng)，利用勾股定理求出各邊長(zhǎng)即可；將此四邊形補(bǔ)成正方形，通過(guò)“補(bǔ)形以做差”，利用大正方形面積減去三個(gè)小直角三角形面積即可。）9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，2），B（3，0），

4、C（3，4）三點(diǎn)（1）求ABC的面積（2）如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P（m，），是否存在點(diǎn)P，使四邊形ABOP的面積與ABC的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由總結(jié)提升：1、此題需將坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段長(zhǎng)，方法是：如果兩個(gè)點(diǎn)的連線(xiàn)平行于x軸或y軸，則其線(xiàn)段長(zhǎng)等于大坐標(biāo)小坐標(biāo)；如果不平行，則運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式：L=；2、平面直角坐標(biāo)系中，我們常使用“分割以求和”或“補(bǔ)形以作差”來(lái)計(jì)算面積。比如此題就可以O(shè)A為共同的底邊分割成兩個(gè)小三角形求四邊形的面積。18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（x1，y1），B（x2，y2），取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M，分別作A，B到x軸的垂線(xiàn)段AE，BF，取EF

5、的中點(diǎn)N，則MN是梯形AEFB的中位線(xiàn)，故MNx軸，利用梯形中位線(xiàn)的知識(shí)，我們可以得到點(diǎn)M的坐標(biāo)是_（用x1，y1，x2，y2表示）（牢記中點(diǎn)坐標(biāo)公式）已知點(diǎn)M（-4，2），將坐標(biāo)系向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)M在新坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為_(kāi)（總結(jié)提升：牢記點(diǎn)的平移和坐標(biāo)系的平移不同；坐標(biāo)系的平移相當(dāng)于把點(diǎn)向反方向平移；）34.如圖，35.將ABC繞點(diǎn)C（0，36.-1）旋轉(zhuǎn)180°得到ABC，37.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)38.為（a，39.b），40.則點(diǎn)A的坐標(biāo)41.為（ ）A（-a，-b）B（-a，-b-1） C（-a，-b1）D（-a，-b-2）（總結(jié)提升：由于旋轉(zhuǎn)180

6、°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，且又在一條直線(xiàn)上，所以我們可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接求出。）42.如圖，已知A（，0），B（0，2），把AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到AOB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（ ）A（4，）B（，4） C（，3）D（，）（總結(jié)提升：首先把坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段長(zhǎng)，可以得出三角形AOB是一個(gè)含有30°角的直角三角形，又由于旋轉(zhuǎn)角是60°，所以A B垂直于橫軸，再把線(xiàn)段長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)即可。）50.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（4，1），B（0，3），請(qǐng)?jiān)趚軸上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A，B兩點(diǎn)距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_（總結(jié)提升：

7、這是一個(gè)典型的奶站問(wèn)題，做點(diǎn)B關(guān)于橫軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接此對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和A點(diǎn)，于橫軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)。求出直線(xiàn)的表達(dá)式，然后求出和橫軸的交點(diǎn)即可。）62.如圖，把一個(gè)矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，其中A（2，0），B（2，2），連接OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點(diǎn)A落在A的位置上，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)總結(jié)提升：欲求點(diǎn)A的坐標(biāo)，我們可以向橫軸做垂線(xiàn)并交橫軸于G點(diǎn)；根據(jù)折疊的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，折疊是一種全等變換，則BOA=BOA=60°，則AOG也=60°，則我們構(gòu)造的小直角三角形是一個(gè)含有30°角的直角三角形，根據(jù)三邊關(guān)系比，可求出相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)，然后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)即可。7

8、4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是正方形，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），E是線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，且AEB=60°，沿AE折疊后B點(diǎn)落在點(diǎn)F處那么F點(diǎn)的坐標(biāo)是_（總結(jié)提升：此題道理同上，我們過(guò)F點(diǎn)做橫軸的平行線(xiàn)，與BC相交與點(diǎn)H；根據(jù)折疊的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，BEA=AEF=60°，則角FEH=60°，我們構(gòu)造的是一個(gè)含有30°角的直角三角形，根據(jù)其三邊關(guān)系比，分別求出三邊的長(zhǎng)度，然后用2BH即是F的縱坐標(biāo)，2HF的相反數(shù)就是F的橫坐標(biāo)。）86.已知A（-2，0），B（3，0），C（0，-1），以A，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)作平行四邊形，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：總結(jié)提升：1

9、、 這是一個(gè)典型的“三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”平行四邊形的存在性的問(wèn)題。常用的處理模式是選擇其中的一邊既做邊也做對(duì)角線(xiàn)，以便不重不漏，由于在平面直角坐標(biāo)系中，我們選擇橫軸或縱軸上的線(xiàn)段，以方便計(jì)算；2、 若以AB為邊，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，我們過(guò)點(diǎn)C做AB的平行線(xiàn)，則有兩種情況，分別過(guò)兩個(gè)D點(diǎn)做此平行線(xiàn)的垂線(xiàn)，則可以構(gòu)造兩個(gè)小直角三角形，與相應(yīng)的三角形對(duì)應(yīng)全等，借助于其三邊的關(guān)系即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；3、 若以AB為對(duì)角線(xiàn)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，分別做兩邊的平行線(xiàn)相交與D點(diǎn)即可，然后再過(guò)D點(diǎn)做橫軸的垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形解題即可。97.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，-2），在y

10、軸上確定點(diǎn)P，使AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為：（總結(jié)提升：這是一個(gè)典型的“兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”求等腰三角形的存在性的題目。我們常用的處理模式是：“一條線(xiàn)，兩個(gè)圓”，也就是先做定線(xiàn)段OA的垂直平分線(xiàn)，與縱軸的交點(diǎn)即是其中的一個(gè)點(diǎn)，然后分別以?xún)蓚€(gè)定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)線(xiàn)段為半徑畫(huà)圓，與縱軸的交點(diǎn)即是其他的點(diǎn)。當(dāng)然最終還要排除上述各點(diǎn)中有可能重合的點(diǎn)。）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A（6，0），C（0，2），點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OMP是腰長(zhǎng)為3的等腰三角形時(shí)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為：總結(jié)提升：1、 根據(jù)“兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”求等腰三角形的存在性的解題模型，我們先判

11、斷誰(shuí)是定點(diǎn)，誰(shuí)是動(dòng)點(diǎn)，然后按照“一條線(xiàn)、兩個(gè)圓”的模型解題；2、 由于此題的特殊性，一條線(xiàn)不再使用，我們只考慮分別以?xún)蓚€(gè)定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)線(xiàn)段為半徑做圓，然后過(guò)這兩個(gè)圓與BC的交點(diǎn)向橫軸做垂線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理解題即可?？偣踩齻€(gè)點(diǎn)。113.如圖，方格紙中的每個(gè)小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，A，B兩點(diǎn)在小方格的頂點(diǎn)上，位置分別用（2，2），（4，3）來(lái)表示，請(qǐng)?jiān)谛》礁竦捻旤c(diǎn)上確定一點(diǎn)C，連接AB，AC，BC，使ABC的面積為2個(gè)平方單位，則點(diǎn)C的位置有個(gè)總結(jié)提升：1、此題首先需要通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)確定原點(diǎn)的位置；2、由于A、B兩點(diǎn)是定點(diǎn)，而C是動(dòng)點(diǎn)，我們先隨意確定一個(gè)C點(diǎn)的位置，使得由此構(gòu)成的三

12、角形的面積是2；3、根據(jù)平行線(xiàn)間的距離處處相等，為此我們過(guò)確定的C的位置做線(xiàn)段AB的平行線(xiàn)，這條平行線(xiàn)上的格點(diǎn)即是我們所求的點(diǎn)；4、同時(shí)在線(xiàn)段AB的另一側(cè)，也一定存在著另一條等距離的平行線(xiàn)，我們?cè)倏纯从袔讉€(gè)格點(diǎn)，兩項(xiàng)相加，即是全部的點(diǎn)。三、回顧與思考【參考答案】一、知識(shí)點(diǎn)睛1坐標(biāo)轉(zhuǎn)線(xiàn)段長(zhǎng)，線(xiàn)段長(zhǎng)轉(zhuǎn)坐標(biāo)；過(guò)點(diǎn)作橫平豎直的線(xiàn)2平移線(xiàn)段一線(xiàn)兩圓二、精講精練1（-4，5），（-5，1）2，3（1）6；（2）存在，（-3，）45（-1，5）6D7B8（3，0）9（-1，）10（-1，）11（1，1），（5，-1），（-5，-1）12（0，），（0，-2），（0，-），（0，-4）13（，2），（3-，2

13、），（3+，2）147坐標(biāo)的應(yīng)用（隨堂測(cè)試）1如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一矩形OABC，其中A（4，0），C（0，4），若將AOB沿OB所在直線(xiàn)翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，則D點(diǎn)的坐標(biāo)是_2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，其中A（2，0），ABO=30°，在y軸上取一點(diǎn)P，使PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)【參考答案】1（，6）2（0，），（0，），（0，），（0，）坐標(biāo)的應(yīng)用（作業(yè)）4. 在平面直角坐標(biāo)系中，ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，3），（5，-2），（-2，0），求ABC的周長(zhǎng)和面積（分割以求和，補(bǔ)形以作差）10. 如圖，已知A（0，4），B（2，0），把線(xiàn)段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)

14、針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B落在點(diǎn)B處，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（ ）A（6，4） B（4，6） C（6，5） D（5，6）（構(gòu)造雙垂直模型解題即可）15. 如圖，圖形關(guān)于點(diǎn)D（0，-2）成中心對(duì)稱(chēng)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，3），則點(diǎn)的坐標(biāo)為 （運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解題即可）22. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，0），將COE沿直線(xiàn)CE折疊，點(diǎn)O落在點(diǎn)D處，則點(diǎn)D的坐為 （過(guò)點(diǎn)D做橫軸的垂線(xiàn)，構(gòu)造含30°角的直角三角形，利用其三邊關(guān)系比解題即可）30. 在平面直角坐標(biāo)系中，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，0），（0，-3），（-2，-1），以這三點(diǎn)為平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，則第

15、四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：（按照“三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”求平行四邊形的村莊行解題模型解題即可）36. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（2，1），點(diǎn)T是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PTO是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)T的坐標(biāo)為：（根據(jù)“兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”求等腰三角形的存在性解題模型解題即可）41. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，4），點(diǎn)P為線(xiàn)段BC上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)POA為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為： 47. 把ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），如果要使ABD與ABC全等，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（總結(jié)提升：由于待求全等三角形和已知三角

16、形有共同的邊AB，因此此題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的題；由于AB平行于橫軸，所以我們以AB為折痕，把原三角形翻折過(guò)去，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就是D點(diǎn)的一個(gè)位置；再做出線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，以之為折痕，把原三角形再翻折過(guò)去，對(duì)應(yīng)點(diǎn)則是另一個(gè)D點(diǎn)的位置。最后把翻折得到的兩個(gè)三角形中的任意一個(gè)再翻折一次就可以得到第三個(gè)D點(diǎn)的位置。利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求即可。）【參考答案】1，2B3（-2，-7）45（2，-3），（-2，-7），（-2，3）6（，0），（，0），（4，0），（，0）7（，4），（3，4），（2，4） 8（-2，3），（4，-1），（-2，-1）坐標(biāo)的應(yīng)用(每日一題)1.如圖所示，已知邊長(zhǎng)為1 的正方形O

17、ABC在直角坐標(biāo)系中，B，C兩點(diǎn)在第二象限內(nèi)，OA與x軸的夾角為60°，求點(diǎn)B的坐標(biāo)（注意到此題中出現(xiàn)了含有30°角的直角三角形，過(guò)點(diǎn)A分別做橫軸和縱軸的垂線(xiàn)，構(gòu)造雙垂直模型即可）2.慧慧在一次數(shù)學(xué)課上，將一副30°，60°，90°和45°，45°，90°的三角板如圖放在直角坐標(biāo)系中，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A的坐標(biāo)剛好是（，0），求圖中兩個(gè)三角板的交點(diǎn)P的坐標(biāo)（注意到此題中出現(xiàn)了含有30°角和45°角的特殊直角三角形，我們可以利用其三邊關(guān)系比，先求出有關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)，然后過(guò)點(diǎn)P做橫軸的垂線(xiàn)，設(shè)此垂線(xiàn)長(zhǎng)為a，把OA表

18、示為含有a的代數(shù)式，列方程解題即可。）3.如圖所示，A（-，0），B（0，1）分別為x軸，y軸上的點(diǎn)，ABC為等邊三角形，點(diǎn)P（3，a）在第一象限內(nèi)，且滿(mǎn)足2SABP = SABC，求a的值總結(jié)提升：1、首先根據(jù)題目中提供的條件，計(jì)算出等邊三角形的面積；2、我們利用“坐標(biāo)系中求三角形面積的模型”來(lái)求三角形ABP的面積；先求出直線(xiàn)AP的表達(dá)式，設(shè)其與縱軸的交點(diǎn)是H，然后用“大坐標(biāo)小坐標(biāo)”求出BH的長(zhǎng)，則三角形ABP就被我們分隔成了分別以BH為共同底邊的兩個(gè)小三角形，左邊小三角形的高是A點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，右邊小三角形的高是P點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，據(jù)此列方程解題即可。4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在

19、x軸正半軸上，點(diǎn)A在第一象限，OE是AOB的中線(xiàn)，已知OBOE5，SAOB15求A、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)（總結(jié)提升：1、為了求點(diǎn)E的坐標(biāo)，我們過(guò)點(diǎn)E做橫軸的垂線(xiàn)，根據(jù)等底同高的兩個(gè)三角形面積相等，則三角形OEB的面積等于大三角形面積的一半；然后根據(jù)三角形面積公式求出高即是E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后再用勾股定理求出其橫坐標(biāo)即可；2、為了求點(diǎn)A的坐標(biāo)，注意到點(diǎn)E是AB兩點(diǎn)的中點(diǎn)，代入中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可。）5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為平行四邊形，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)B（4，4），C（1，3），OB，AC相交于點(diǎn)D.求A，D兩點(diǎn)坐標(biāo)；求四邊形OABC的面積. 總結(jié)提升：1、 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角線(xiàn)互相平分，因此D點(diǎn)是O、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)，先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)D也是A、C兩點(diǎn)的中點(diǎn)，代入中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可；2、 利用兩點(diǎn)之間的距離公式：L=，分別求出有關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)，可以判定此平行四邊形是菱形，根據(jù)菱形面積公式=兩條對(duì)角線(xiàn)乘積的一半，分別計(jì)算出兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度即可求出?！緟⒖即鸢浮?.解：過(guò)點(diǎn)B作BEy軸，垂足為EOA與x軸的夾角為60°AOE=30°在RtAOD中，OA=1，AOD=30°AD=，OD=，ADO=60°AB=1BD=1-在