微分中值定理及其應用2

1、第3章 微分中值定理及其應用 (第二講泰勒公式、函數(shù)極值等)一應用麥克勞林公式，按乘冪展開函數(shù)。解：是6次多項式， 計算出：故 二.當 時，求函數(shù) 的階泰勒公式。解： （在和之間） 三.求函數(shù)的階麥克勞林公式。解: 可表示為 一當時，證明。證: 設則設 則 當 時, , 故單調(diào)減少, 即所以在上單調(diào)減少. 當時, ,因此 , 即 二、當時，證明。解: 設即 當時, , 所以為單調(diào)增加 ,即 為增函數(shù), 三試證方程僅有一個實根。解: 顯然為方程的一個根又 時, 單調(diào)增加,在僅有一個零點.即方程僅有一個實根五在上存在二階導數(shù)且，證明：（1）在內(nèi)。（2）內(nèi)至少存在一點，使得。分析:(1)要證在上非零

2、,用反證法更方便,若不然,至少有一個零點,則由的三個零點,可推出有2個零點,從而有一個零點與已知矛盾. (2)要證,即證方程有解,則取 從而可以證明結論.證明:(1)反證法:若不然,則在內(nèi)至少有一點,使得,于是由已知在,上均滿足羅爾定理條件,因此,必存在,使得進一步知在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，因此，必存在使得，與已知矛盾。因此在上。（2）設由已知，在上連續(xù)可導，滿足羅爾定理的條件，因此，至少存在一點使得，即：,也即六，且，試證（1） 當時，；（2） 當時，。分析：對于這種題顯然用反證法證明：（1）設當時 ，任意取一點 由導數(shù)的定義知：將得：因為當時 ，且與條件相矛盾 所以假設不成立原命題成立

3、即：當時，（2）設當時 ，任意取一點由導數(shù)的定義知：將得：因為當時 ，且所以與條件相矛盾 所以假設不成立原命題成立即：當時，一、求函數(shù)的極值。解：點導數(shù)不存在，而函數(shù)有意義（）1 （）+ 最大極值點極大值：二試證明：如果函數(shù)滿足條件，那末這函數(shù)沒有極值。證明：,由條件，推出,為二次三項式，當時， ，從而為單調(diào)增加當時， ，從而為單調(diào)減少故無論對怎樣的，在總是單調(diào)的， 在無極值。二、 設 （1）討論在處的連續(xù)性。（2）取何值時取得極值。解：（1）由連續(xù)的定義知： 所以.= 而 . 所以= 所以在處連續(xù)（2）設 要使取得極值 則必須使在處取得極值. 設, 則 , 要使取得極值則有 ,而 所以 ,

4、因此, 所以. 所以當?shù)扔跁r，取得極值,由于 即為單調(diào)增函數(shù) 所以只要取得極值即可。所以當?shù)扔跁r取得極值。三利用函數(shù)的凹凸性，證明不等式解：設,對，由 知是上凹的,所以對任意 有即：四求函數(shù)的拐點。解： ,當時，又當時，不存在但注意到時曲線上的對應點為邊界點，因為曲線上的橫坐標都大于等于0，所以點不能是拐點，故曲線上可能是拐點的點為時的點及時的點,經(jīng)過驗證二者都是拐點。五問及為何值時，點為曲線的拐點？解： 令得由于，在的領域內(nèi)，在的兩側變號，所以，這時對應的要使為拐點，則 解得：六設二階可導，若，證明：。證明：由導數(shù)的定義：,應用麥克勞林公式將展開得：因為， ,所以（2）設互為反函數(shù)，且均在上

5、存在二階導數(shù)，于是（ ）。 A若則； B 若則； C 若則； D 若則； 分析： 依題意， 為奇函數(shù)，圖形關于原點對稱，對稱點處曲線凸凹性相反，即二階導數(shù)異號，因此A正確，故取A，而互為反函數(shù)的條件，函數(shù)曲線與的凸性關系與其單調(diào)性相關，在不明確單調(diào)性情況下，無法對C，D做判斷。（5）在內(nèi)具有二階導數(shù)，嚴格單調(diào)減少，且則（ ）。 A.在和內(nèi)均有； B.在和內(nèi)均有； C.在內(nèi)，在內(nèi)， ；D. 在內(nèi)，在內(nèi)，。分析： 由幾何直觀考慮，如圖，在處，切線為，且曲線上凸，從而知切線在曲線上方，即：，故取A（6）設在其定義域內(nèi)具有二階導數(shù)，則在定義域內(nèi)（ ）。A.若 ，也必有單調(diào)增加；B.若，也必有曲線是凹的；C.若，也必有恒為常數(shù)；D.連續(xù)。分析： 由導數(shù)討論函數(shù)性