平面向量數量積及其應用復習用_第1頁
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文檔簡介

1、一、平面向量數量積的有關概念1. 兩個非零向量的夾角已知非零向量與,作,則AOB()叫與的夾角;說明:(1)當時,與同向;(2)當時,與反向;(3)當時,與垂直,記作;(4)注意在兩向量的夾角定義中,兩向量必須是同起點的,范圍為0°q180°.2. 數量積的概念已知兩個非零向量與,它們的夾角為,則··cos叫做與的數量積(或內積).規(guī)定;向量的投影:cosR,稱為向量在方向上的投影.投影的絕對值稱為射影.二、平面向量數量積的幾何意義及其性質、運算律1. 幾何意義:·等于的長度與在方向上的投影的乘積.2. 性質:(1).(2)(3)(4)(5)&

2、#183;0注:乘法公式成立;3. 運算律(1)交換律成立:;(2)對實數的結合律成立:;(3)分配律成立:.(4)向量的夾角:cos.注:平面向量數量積的運算不滿足結合律.當且僅當兩個非零向量與同方向時,0°,當且僅當與反方向時,同時與其他任何非零向量之間不涉及夾角這一問題.三、兩個向量的數量積的坐標運算已知兩個向量,則·.(1)垂直:如果與的夾角為90°,則稱與垂直,記作.兩個非零向量垂直的充要條件:·0,(2)平面內兩點間的距離公式設,則或.如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、,那么(平面內兩點間的距離公式).題型一 數量積的概念【例1

3、】判斷下列各命題正確與否:(1)若,··,則; (2)若··,則當且僅當時成立;(3)·0;(4)(·)(·)對任意向量,都成立;(5)對任一向量,有2|2 (6)·.【變式練習】1若、為任意向量,mR,則下列等式不一定成立的是()A. B. C. D.2設,是任意的非零平面向量,且相互不共線,則; |<|;(·)(·)不與垂直;(32)(32)9|24|2中,是真命題的有()AB C D3.已知下列各式:|22,()22·2,()222·2.其中正確的有()A1個 B

4、2個 C3個 D4個題型二 向量的模與數量積【例2】(1)已知、滿足|,|1,求|32|.(2)若|13,|19,|24,則|的值為_變式題1、已知(1)求 與 的夾角(2)求 和 (3)若作三角形ABC,求的面積。變式題2、已知a、b是非零向量,若a+b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直,試求a與b的夾角。變式題3.已知a=() ,b=()且.(1)求的最值。(2)是否存在k的值,使題型三 夾角問題【例3】設(cos,sin),(cos,sin),且與具有關系|k|k|(k0)(1) 與能垂直嗎?(2)若與的夾角為60°,求k的值【變式練習1】已知|4,|3,(2

5、3)·(2)61求:(1) 與的夾角;(2)| |和|;(3) 若,作三角形ABC,求ABC的面積; (4) 若(1,2),(3,x),且,的夾角為鈍角,求x的取值范圍 【變式練習2】. ,且(1)與的夾角為鈍角,則的取值范圍為_ 且 (2)與的夾角為銳角,則的取值范圍為_ (3)與的夾角為直角,則的取值為_題型四 向量的平行、垂直與數量積【例4】已知向量(1,2),(2,1),k,t為正實數,向量(t21) ,k,(1)若,求k的最小值;(2)是否存在k,t使?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由 【鞏固練習】1若平面四邊形ABCD滿足 ,則該四邊形一定是()A正方形 B

6、矩形 C菱形 D直角梯形2.設向量,滿足+=,|1,|2,則|2()A.1 B.2 C4 D53已知|1,|6,·()2,則向量與向量的夾角是()4定義運算|sin ,其中是向量,的夾角若|2,|5,6,則| 5若向量(2,1),(3,x),若(2),則x的值為 6若非零向量,滿足|,(2)·0,則與的夾角為 7.已知平面向量,則的值是_ _8.設是夾角為60°的兩個單位向量,且2,2,則|= 9.已知向量|10,|8,與的夾角120°,則向量在方向上的投影為( )A4 B4 C5 D510.已知向量與的夾角為,則等于( )A.5B.4C.3D.111在

7、ABC中,若,且···, 則ABC的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等邊三角形12.定義平面向量之間的一種運算“”如下:對任意的(m,n),(p,q),令mqnp,下面說法錯誤的是()A若與共線,則 BC對任意的R,有()() D()2(·)2|2|2 13.已知點O是ABC所在平面上的一點,CACB,設,若|4,|2,求·()14.已知ABC中,A(2,1),B(3,2),C(3,1),BC邊上的高為AD,求的坐標15.設(cos,sin),(cos,sin),且與具有關系|k|k|(k0) (1)求證:()();(

8、2)求將與的數量積表示為關于k的函數f(k);(3)求函數f(k)的最小值及取最小值時與的夾角.作業(yè)一、選擇題1. 已知:| |1,| |2, ,且,則向量與的夾角為( )A. 30°B. 60° C. 120° D. 150°2. 在中,M是BC的中點,AM1,點P在AM上,且滿足:,則( )A.B.C.D.3. 在中,O是坐標原點,若A.B.C.D.4.在ABC中,若,則ABC為 ( ) A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D無法確定5.若|=|=|, 則與+的夾角為 ( ) A30° B60° C150° D120

9、°6.已知|=1,|=,且()與垂直,則與的夾角為 ( ) A60° B30° C135° D45°7.若,則ABC為 ( )A直角三角形 B鈍角三角形C銳角三角形 D等腰直角三角形8.設|= 4,|= 3,夾角為60°,則|+|等于 ( )A37 B13 CD9.若 |= 1,|= 2,與的夾角為60,=3+,= ,若,則實數的值為( )AB CD10.設 a,b,c是平面內任意的非零向量且相互不共線,則下列結論正確的是( ) (a·b)·c(c·a)·b=0 |a | |b |< |ab | (b·c)·a(c·a)·b不與c垂直 (3a+2b) ·(3a2b)= 9|a | 24|b | 2 A B C D11.在ABC中,M是BC的中點,AM1,點P在AM上且滿足2,則·()等于( )A B C. D.12.已知向量(1,2),(2,4),|,若()·,則與的夾角為( )A120° B6

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