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1、1 (05年101中學(xué)考題)求下圖中陰影部分的面積: 2 (06年清華附中考題)從一個(gè)長(zhǎng)為8厘米,寬為7厘米,高為6厘米的長(zhǎng)方體中截下一個(gè)最大的正方體,剩下的幾何體的表面積是_平方厘米. 3 (06年三帆中學(xué)考試題)有一個(gè)棱長(zhǎng)為1米的立方體,沿長(zhǎng)、寬、高分別切二刀、三刀、四刀后,成為60個(gè)小長(zhǎng)方體(見左下圖).這60個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積總和是_平方米. 4 (06年西城八中考題)右上圖中每個(gè)小圓的半徑是1厘米,陰影部分的周長(zhǎng)是_厘米.(3.14) 5 (05年首師附中考題)一千個(gè)體積為1立方厘米的小正方體合在一起成為一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的大正方體,大正方體表面涂油漆后再分開為原來的小正方體,這些小
2、正方體至少有一面被油漆涂過的數(shù)目是多少個(gè)?第二講 小升初專項(xiàng)訓(xùn)練 幾何篇(二】1 與圓和扇形有關(guān)的題型【例1】()如下圖,等腰直角三角形ABC的腰為10厘米;以A為圓心,EF為圓弧,組成扇形AEF;陰影部分甲與乙的面積相等。求扇形所在的圓面積。【例2】()草場(chǎng)上有一個(gè)長(zhǎng)20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈,在羊圈的一角用長(zhǎng)30米的繩子拴著一只羊(見左下圖)。問:這只羊能夠活動(dòng)的范圍有多大?【例3】()在右圖中,兩個(gè)四分之一圓弧的半徑分別是2和4,求兩個(gè)陰影部分的面積差。【例4】()如圖,ABCD是正方形,且FA=AD=DE=1,求陰影部分的面積。(取3)【例5】()如下圖,AB與CD是兩條垂直的直徑
3、,圓O的半徑為15厘米, 求不規(guī)則立體圖形的表面積與體積【例6】()用棱長(zhǎng)是1厘米的正方塊拼成如下圖所示的立體圖形,問該圖形的表面積是多少平方厘米?【例7】()在邊長(zhǎng)為4厘米的正方體木塊的每個(gè)面中心打一個(gè)邊與正方體的邊平行的洞洞口是邊長(zhǎng)為1厘米的正方形,洞深1厘米(如下圖)求挖洞后木塊的表面積和體積【例8】()如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方體。在正方體的上面的正中向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方體小洞;接著在小洞的底面正中再向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為1/2厘米的小洞;第三個(gè)小洞的挖法與前兩個(gè)相同,邊長(zhǎng)為1/4厘米。那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米? 3 水位問題【例9】()一個(gè)酒精瓶,它的瓶身呈圓
4、柱形(不包括瓶頸),如下圖已知它的容積為26.4立方厘米當(dāng)瓶子正放時(shí),瓶?jī)?nèi)的酒精的液面高為6厘米瓶子倒放時(shí),空余部分的高為2厘米問:瓶?jī)?nèi)酒精的體積是多少立方厘米?合多少升?【例10】()一個(gè)高為30厘米,底面為邊長(zhǎng)是10厘米的正方形的長(zhǎng)方體水桶,其中裝有容積的水,現(xiàn)在向桶中投入邊長(zhǎng)為2厘米2厘米3厘米的長(zhǎng)方體石塊,問需要投入多少塊這種石塊才能使水面恰與桶高相齊?4 計(jì)數(shù)問題【例11】()右圖是由22個(gè)小正方體組成的立體圖形,其中共有多少個(gè)大大小小的正方體?由兩個(gè)小正方體組成的長(zhǎng)方體有多少個(gè)?由兩個(gè)小正方體組成的長(zhǎng)方體,根據(jù)擺放的方向可分為下 圖所示的上下位、左右位、前后位三種,其中上下位有13
5、個(gè),左右位有13個(gè),前后位有14個(gè),共有131314=40(個(gè))。【例12】有甲、乙、丙3種大小的正方體,棱長(zhǎng)比是1:2:3。如果用這三種正方體拼成盡量小的一個(gè)正方體,且每種都至少用一個(gè),則最少需要這三種正方體共多少?【解】: 設(shè)甲的棱長(zhǎng)是1,則乙的棱長(zhǎng)是2,丙的棱長(zhǎng)是3。一個(gè)甲種木塊的體積是1*1*1=1;一個(gè)乙種木塊的體積是2*2*2=8;一個(gè)丙種木塊的體積是3*3*3=27。3+2=5。則這三種木塊拼成的最小正方體的棱長(zhǎng)是5。體積是5*5*5=125。需要丙種木塊1塊,乙種木塊1+1*2+2*2=7塊。甲種木塊的體積是27,乙種木塊的體積是8*7=56。125-27-56=42。需要甲種
6、木塊42/1=42塊。1+7+42=50塊。5 三維視圖的問題【例13】現(xiàn)有一個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的正方體,一個(gè)長(zhǎng)寬為1cm高為2cm的長(zhǎng)方體,三個(gè)長(zhǎng)寬為1cm高為3cm的長(zhǎng)方體。下列圖形是把這五個(gè)圖形合并成某一立體圖形時(shí),從上面、前面、側(cè)面所看到的圖形。試?yán)孟旅嫒齻€(gè)圖形把合并成的立體圖形(如例)的樣子畫出來,并求出其表面積。例:【解】:立體圖形的形狀如下圖所示。(此題十分經(jīng)典)從上面和下面看到的形狀面積都為9cm2,共18cm2;從兩個(gè)側(cè)面看到的形狀面積都為7cm2,共14cm2;從前面和后面看到的形狀面積都為6cm2,共12cm2;隱藏著的面積有2cm2。一共有181612248(cm2)。6
7、 其他常考題型【例14】()有兩種不同形狀的紙板,一種是正方形的,另一種是長(zhǎng)方形的,正方形紙板的總數(shù)與長(zhǎng)方形紙板的總數(shù)之比是12.用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒.正好將紙板用完.問在所做的紙盒中,豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是多少?【解】:由于紙盒無蓋,所以一個(gè)豎式紙盒有一個(gè)正方形和4個(gè)長(zhǎng)方形,一個(gè)橫式紙盒有2個(gè)正方形和3個(gè)長(zhǎng)方形,那么一個(gè)豎式紙盒和兩個(gè)橫式紙盒共有5個(gè)正方形和10個(gè)長(zhǎng)方形,這時(shí)所用的正方形紙板與長(zhǎng)方形紙板的比恰是12,也就是說按照每做一個(gè)豎式紙盒,再做兩個(gè)橫式紙盒的比例做紙盒,就可以把兩種不同形狀的紙板用完.因此,在所做的紙盒中,豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之
8、比是12.【例15】左下圖是一個(gè)正方體,四邊形APQC表示用平面截正方體的截面。請(qǐng)?jiān)谟蚁路降恼归_圖中畫出四邊形APQC的四條邊。【解】:把空間圖形表面的線條畫在平面展開圖上,只要抓住四邊形APQC四個(gè)頂點(diǎn)所在的位置這個(gè)關(guān)鍵,再進(jìn)一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出。(1)考慮到展開圖上有六個(gè)頂點(diǎn)沒有標(biāo)出,可想象將展開圖折成立體形,并在頂點(diǎn)上標(biāo)出對(duì)應(yīng)的符號(hào),見左下圖。(2)根據(jù)四邊形所在立體圖形上的位置,確定其頂點(diǎn)所在的點(diǎn)和棱,以及四條邊所在的平面:頂點(diǎn):AA,CC,P在EF邊上,Q在GF邊上。邊AC在ABCD面上,AP在ABFE面上,QC在BCGF面上,PQ在EFGH面上。(3)將上
9、面確定的位置標(biāo)在展開圖上,并在對(duì)應(yīng)平面上連線。需要注意的是,立體圖上的A,C點(diǎn)在展開圖上有三個(gè),B,D點(diǎn)在展開圖上有二個(gè),所以在標(biāo)點(diǎn)連線時(shí)必須注意連線所在的平面。連好線的圖形如右上圖小結(jié)本講主要接觸到以下幾種典型題型:1)與圓和扇形有關(guān)的題型。參見例1,2,3,4,52)求不規(guī)則立體圖形的表面積與體積。參見例6,7,83)水位問題。參見例9,104)計(jì)數(shù)問題。參見例11,125)三維視圖的問題。參見例136)其他常考題型。參見例14,15【課外知識(shí)】剪正方體此題旨在培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象力和動(dòng)手能力將一個(gè)正方體(圖1)剪開可以展成一些不同的平面圖形(圖2)。圖1正方體
10、160; (1) (2) (3) (4)
11、 圖2 正方體的平面展開圖其中的圖2的(1),(2)都是“帶狀圖”,好像是一條完整的削下來的蘋果皮。仔細(xì)觀察(1),(2)兩個(gè)圖可以發(fā)現(xiàn),圖中的每個(gè)小正方形都有兩個(gè)邊與其它的正方形“共用”,除了兩頭的兩個(gè)正方形以外。再觀察圖(3)和圖(4),由于這兩個(gè)圖中每個(gè)都有一個(gè)正方形(粉色)有兩條以上的邊(圖(3)有3條,圖(4)有4條)與周圍的正方形“共用”。所以圖(3)和圖(4)都不是“帶狀圖”。問題1:運(yùn)用你的空間想象力或者動(dòng)手將圖2的四個(gè)圖折成正方體。問題2:除了圖(1)和圖(2)以外還有兩個(gè)正方體的平面展開圖也是“帶狀圖”,你能找出來嗎?答案:作業(yè)題 (注:作業(yè)題-例題類
12、型對(duì)照表,供參考)題1,2,3,4類型1;題5類型4;題6,7類型2;題8類型61、()如下圖,求陰影部分的面積,其中OABC是正方形.解:10.269 × 3.14-1810.26。2、()如下圖所示,求陰影面積,圖中是一個(gè)正六邊形,面積為1040平方厘米,空白部分是6個(gè)半徑為10厘米的小扇形。解:412平方厘米所要求的陰影面積是用正六邊形的面積減去六個(gè)小扇形面積正六邊可求得,需要知道半徑和扇形弧的度數(shù),由已知正六邊形每邊所對(duì)圓心角為60°,那么AOC120°,又知四邊形ABCD是平行四邊形,所以ABC120°,這樣就得求出扇形的面積。10406284
13、2(平方厘米)3、()如右圖,將直徑AB為3的半圓繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,此時(shí)AB到達(dá)AC的位置,求陰影部分的面積(取=3).解:整個(gè)陰影部分被線段CD分為和兩部分,以AB為直徑的半圓被弦AD分成兩部分,設(shè)其中AD右側(cè)的部分面積為S,由于弓形AD是兩個(gè)半圓的公共部分,去掉AD弓形后,兩個(gè)半圓的剩余部分面積相等.即=S,由于:+S=60°圓心角扇形ABC面積4、()如下圖,兩個(gè)半徑相等的圓相交,兩圓的圓心相距正好等于半徑,AB弦約等于17厘米,半徑為10厘米,求陰影部分的面積。解:陰影部分由兩個(gè)相等的弓形組成,我們只需要求出一個(gè)弓形面積,然后二倍就是要求的陰影面積了.由已知若分
14、別連結(jié)AO1,AO2,BO1,BO2,O1O2,如圖所示,就可以得到兩個(gè)等邊三角形(各邊長(zhǎng)等于半徑),則AO2O1BO2O160°,即AO2B120°。這樣就可以求出以O(shè)2為圓心的扇形AO1BO2的面積,然后再減去三角形AO2B的面積,就得到弓形面積,三角形AO2B的面積就是二分之一底乘高,底是弦AB,高是O1O2的一半。5、()2100個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方體堆成一個(gè)實(shí)心的長(zhǎng)方體.它的高是10米,長(zhǎng)、寬都是大于10(米)的整數(shù),問長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬之和是幾米?解:長(zhǎng)方體體積是2100立方米,高為10米,所以底面積為210平方米.210=1×210=2×105=3&
15、#215;705×42=6×357×30=10×21=14×15.可見,長(zhǎng)為15米,寬為14米,長(zhǎng)寬之和是15+14=29米.6、()有一個(gè)正方體,邊長(zhǎng)是5.如果它的左上方截去一個(gè)邊長(zhǎng)分別是5、3、2的長(zhǎng)方體(如下圖),求它的表面積減少的百分比是多少?解:原立方體的表面積=5×5×6=150.減少的表面積是兩塊3×2長(zhǎng)方形7、()如下圖,在棱長(zhǎng)為3的正方體中由上到下,由左到右,由前到后,有三個(gè)底面積是1的正方形高為3的長(zhǎng)方體的洞,求所得形體的表面積是多少?解:沒打洞之前正方體表面積共 6 × 3
16、5; 3= 54,打洞后,表面積減少 6又增加 6×4(洞的表面積).即所得形體的表面積是54-624=72.8、()現(xiàn)有一張長(zhǎng)40厘米、寬20厘米的長(zhǎng)方形鐵皮,請(qǐng)你用它做一只深是5厘米的長(zhǎng)方體無蓋鐵皮盒(焊接處及鐵皮厚度不計(jì),容積越大越好),你做出鐵皮盒容積是多少立方厘米?解:如圖,可有如下三種情況比較后可知:焊上(1)30×10×5=1500立方厘米(2)35×10×5=1750立方厘米(3)20×20×5=2000立方厘米最后一個(gè)容積最大。 小升初圖形問題練習(xí)題1、右圖是一個(gè)直角等腰三角形,直角邊長(zhǎng)2厘米,圖中陰影部分
17、面積是 2平方厘米.2.三角形ABC是直角三角形,陰影部分的面積比陰影部分的面積小28平方厘米. AB長(zhǎng)40厘米, BC長(zhǎng) 厘米.CAB3、ABC是等腰直角三角形. D是半圓周的中點(diǎn), BC是半圓的直徑,已知:AB=BC=10,那么陰影部分的面積是多少?(圓周率)A10DCB4.右圖中的正方形的邊長(zhǎng)是2厘米,以圓弧為分界線的甲、乙兩部分的面積差(大減小)是 平方厘米.(取3.14)2甲乙5、已知正方形的邊長(zhǎng)為10,求圖中陰影部分的面積是( )平方厘米。(2002年)6、下圖中大長(zhǎng)方形分別被分成面積為122,362,242,482,則圖中陰影部分的面積( )27、 如圖,AEF與BED的面積和是
18、2平方厘米,AE=ED,BD=2DC,則ABC的面積是( )平方厘米。8、 如圖,梯形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn),AOB與BOC的面積分別是25cm2和35cm2,梯形的面積是( ) 9、如下圖,正方形ABCD邊長(zhǎng)為lO厘米,BO長(zhǎng)8厘米。AE=_厘米。10. E是平行四邊形ABCD的CD邊上的一點(diǎn),BD、AE相交于點(diǎn)F,已知三角形AFD的面積是6,三角形DEF的面積是4,求四邊形BCEF的面積為多少?11、如圖,有四個(gè)長(zhǎng)方形的面積分別是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米,組合成一個(gè)大的長(zhǎng)方形,求圖中陰影部分的面積。 12、 如圖,在面積為1的三角形ABC中,DC=3BD,F是AD的中點(diǎn),延長(zhǎng)CF交AB邊于E,求三角形AEF和三角形CDF的面積之和。13、 如圖,BD是梯形ABCD的一條對(duì)角線,線段AE與梯形的一條腰DC
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