導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用高考題精選含答案

1、 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用高考題精選1.（2010 海南高考理科T3）曲線在點處的切線方程為（ ）（A） （B） （C） （D）【命題立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及熟練運用導(dǎo)數(shù)的運算法則進行求解.【思路點撥】先求出導(dǎo)函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點斜式求出切線方程.【規(guī)范解答】選A.因為 ，所以，在點處的切線斜率，所以，切線方程為，即，故選A.2.（2010山東高考文科8）已知某生產(chǎn)廠家的年利潤（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為（ ）(A) 13萬件 (B) 11萬件(C) 9萬件 (D) 7萬件【命題立意】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，考

2、查了考生的分析問題解決問題能力和運算求解能力.【思路點撥】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.【規(guī)范解答】選C，,令得或（舍去），當(dāng)時；當(dāng)時，故當(dāng)時函數(shù)有極大值，也是最大值，故選C.3.（2010山東高考理科7）由曲線y=,y=圍成的封閉圖形面積為（ ）（A）(B) (C) (D) 【命題立意】本題考查定積分的基礎(chǔ)知識，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積,考查了考生的想象能力、推理論證能力和運算求解能力. 【思路點撥】先求出曲線y=,y=的交點坐標(biāo)，再利用定積分求面積. 【規(guī)范解答】選A,由題意得: 曲線y=,y=的交點坐標(biāo)為(0,0)，(1,1)，故所求封閉圖形的面積為,故選A.4.（2010遼寧高考理科1

3、0）已知點P在曲線y=上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（ ） (A)0,) (B) (D) 【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了基本等式，函數(shù)的值域，直線的傾斜角與斜率?！舅悸伏c撥】先求導(dǎo)數(shù)的值域，即tan的范圍，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求的范圍。【規(guī)范解答】選D.5.（2010湖南高考理科4）等于（ ）A、 B、 C、 D、【命題立意】考查積分的概念和基本運算.【思路點撥】記住的原函數(shù).【規(guī)范解答】選D .=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.【方法技巧】關(guān)鍵是記住被積函數(shù)的原函數(shù).6.（2010江蘇高考8）函數(shù)y=x2(x0)的圖像在點(ak,

4、ak2)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為ak+1,，若a1=16，則a1+a3+a5的值是_【命題立意】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的切線方程以及數(shù)列的通項等內(nèi)容?！舅悸伏c撥】先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)y=x2(x0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線的斜率，然后求得切線方程，再由，即可求得切線與x軸交點的橫坐標(biāo)。【規(guī)范解答】由y=x2(x0)得，所以函數(shù)y=x2(x0)在點(ak,ak2)處的切線方程為：當(dāng)時，解得，所以.【答案】217.（2010江蘇高考4）將邊長為1m正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則S的最小值是_ _?！久}立意】 本題考查函數(shù)中的建模在實

5、際問題中的應(yīng)用，以及等價轉(zhuǎn)化思想?！舅悸伏c撥】可設(shè)剪成的小正三角形的邊長為，然后用分別表示梯形的周長和面積，從而將S用x表示，利用函數(shù)的觀點解決.【規(guī)范解答】設(shè)剪成的小正三角形的邊長為，則：方法一：利用導(dǎo)數(shù)的方法求最小值。，當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增；故當(dāng)時，S的最小值是。方法二：利用函數(shù)的方法求最小值令，則：故當(dāng)時，S的最小值是。【答案】【方法技巧】函數(shù)的最值是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一，高考不但在填空題中考查，還會在應(yīng)用題、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的的綜合解答題中考察。高中階段，常見的求函數(shù)的最值的常用方法有：換元法、有界性法、數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法和基本不等式法。8.（2010陜西高考理科3）從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)

6、任取一個點M（x,y）,則點M取自陰影部分的概率為 ；【命題立意】本題考查積分、幾何概率的簡單運算，屬送分題?！舅悸伏c撥】由積分求出陰影部分的面積即可【規(guī)范解答】陰影部分的面積為所以點M取自陰影部分的概率為答案：9（2010 海南高考理科T13）設(shè)y=f(x)為區(qū)間0,1上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0f(x) 1,可以用隨機模擬方法近似計算積分,先產(chǎn)生兩組（每組N個）區(qū)間0,1上的均勻隨機數(shù),和,由此得到N個點（i=1,2,N）,在數(shù)出其中滿足（i=1,2,N）的點數(shù)，那么由隨機模擬方法可得積分的近似值為 .【命題立意】本題主要考查了定積分的幾何意義以及幾何概型的計算公式.【思路點撥】由隨機模擬想到幾

7、何概型，然后結(jié)合定積分的幾何意義進行求解.【規(guī)范解答】由題意可知，所有取值構(gòu)成的區(qū)域是一個邊長為1的正方形，而滿足的點落在y=f(x)、以及、圍成的區(qū)域內(nèi)，由幾何概型的計算公式可知的近似值為.答案：10.（2010北京高考理科8）已知函數(shù)()=In(1+)-+， (0)。()當(dāng)=2時，求曲線=()在點(1，(1)處的切線方程；()求()的單調(diào)區(qū)間?！久}立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程及單調(diào)區(qū)間。解決本題時一個易錯點是忽視定義域?！舅悸伏c撥】（1）求出，再代入點斜式方程即可得到切線方程；（2）由討論的正負(fù)，從而確定單調(diào)區(qū)間?！疽?guī)范解答】（I）當(dāng)時， 由于， 所以曲線在點處的切

8、線方程為 即 （II），.當(dāng)時，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時，故的單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時，得，.所以在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是【方法技巧】（1）過的切線方程為。（2）求單調(diào)區(qū)間時要在定義域內(nèi)討論內(nèi)的正負(fù)。11.（2010安徽高考文科20）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值?！久}立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法，考查考生運算能力、綜合分析問題能力和問題的化歸轉(zhuǎn)化能力?！舅悸伏c撥】對函數(shù)求導(dǎo)，分析導(dǎo)數(shù)的符號情況

9、，從而確定的單調(diào)區(qū)間和極值?！疽?guī)范解答】+-0+極大值極小值【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值是解決函數(shù)單調(diào)性、極值問題的常用方法，簡單易行，具體操作流程如下：（1）求導(dǎo)數(shù)；（2）求方程的全部實根；（3）列表，檢查在方程的根左、右的值的符號；（4）判斷單調(diào)區(qū)間和極值。12.（2010北京高考文科8） 設(shè)定函數(shù)，且方程的兩個根分別為1，4。（）當(dāng)a=3且曲線過原點時，求的解析式；（）若在無極值點，求a的取值范圍?！久}立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的極值，二次函數(shù)等知識?！舅悸伏c撥】(1)由的兩個根及過原點，列出三個方程可解出；（2）是開口向上的二次函數(shù)，無極值點，則恒成立?！疽?guī)范解答

10、】由 得 因為的兩個根分別為1,4，所以 （*）（）當(dāng)時，（*）式為解得又因為曲線過原點，所以故（）由于a0,所以“在（-，+）內(nèi)無極值點”等價于“在（-，+）內(nèi)恒成立”。由（*）式得。又解 得即的取值范圍【方法技巧】（1）當(dāng)在的左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)時，為極大值點；當(dāng)在的左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正時，為極小值點（2）二次函數(shù)恒成立問題可利用開口方向與判別式來解決。恒大于0，則；恒小于0，則；13.（2010安徽高考理科17）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)。 (1)求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)且時，?！久}立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值、證明函數(shù)不等式，考查考生運算能力、綜合

11、分析問題能力和問題的化歸轉(zhuǎn)化能力。【思路點撥】(1)先分析的導(dǎo)數(shù)的符號情況，從而確定的單調(diào)區(qū)間和極值；(2) 設(shè)，把問題轉(zhuǎn)化為：求證：當(dāng)且時，?！疽?guī)范解答】（1），令，得，極小值在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，取得極小值為（2）設(shè)，由（1）問可知，恒成立，當(dāng)時，則0恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，即當(dāng)且時，?！痉椒记伞?、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)單調(diào)性問題的常用方法，簡單易行；2、證明函數(shù)不等式問題，如證，通常令，轉(zhuǎn)化為證明：。14.（2010天津高考文科20）已知函數(shù)f（x）=，其中a0. （）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程；（）若在區(qū)間上，f（x）0恒成立，求a的取值范圍.【命題立意】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。【思路點撥】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識求解曲線的切線方程及函數(shù)最值。【規(guī)范解答】（）當(dāng)a=1時，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）f(x)=