多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用答案

1、第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1填空題(1)若在區(qū)域上的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)， 連續(xù) ，則在上， 。(2)函數(shù)在點處可微的 必要 條件是在點處的偏導(dǎo)數(shù)存在。2求下列各極限(1) (2)解：原式 解：原式 (3) 解：原式 3設(shè)，求及解：，4求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1)解： 類似地(2)解： 同理可證得：(3)解： 5設(shè)，求全導(dǎo)數(shù)。解：， ， 依復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，全導(dǎo)數(shù)為 6設(shè)，求。解： 7求方程所確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解：關(guān)于求導(dǎo)，得到，即關(guān)于求導(dǎo)，有，即。8設(shè)，求所有二階偏導(dǎo)數(shù)。解：先求一階偏導(dǎo)數(shù)，得，再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得 ， ， ， 9設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求，。解一：記，則 ， 當(dāng)時，便得， 。解二

2、：（提示）直接對方程兩邊求偏導(dǎo)數(shù)，并明確是、的函數(shù)，即可得，。10設(shè)，求。解：令，則，則 。11設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求，。解：方程兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)，有 ，即 解得 類似地，方程兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)，解得 再求二階混合偏導(dǎo)數(shù)，得 把上述的結(jié)果代入，便得：。12設(shè)，求全微分。解：由于，所以全微分為 。13求函數(shù)在點的全微分。解：， 所以。14求曲面上點處的切平面方程和法線方程。解：記，則，于是曲面在點處的法線向量為從而，切平面方程為，即，法線方程為。15求曲線，上點，使在該點處曲線的切線平行于平面。解：曲線在點處的切線方程為又切線與平面平行，即切線的方向向量和平面的法向量垂直，應(yīng)有，即，得所以點的坐標(biāo)為。16求函數(shù)的極值。解：解方程組，求得駐點，由于，所以在點處，函數(shù)取得極大值，極大值為。17求函數(shù)的極值。解：解方程組，得駐點。由于，在點處，所以函數(shù)在點處取得極小值，極小值為。18二元函數(shù)在點處：連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在。解：應(yīng)選事實上，由于，隨的值不同而改變，所以極限不存在，因而在點處不連續(xù)，又，類似地，所以在處的偏導(dǎo)數(shù)存在。19設(shè)，求，。解：令，于是，得，。20設(shè)，求。解：令，于是在處。20設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求，并由此求和。解：方程兩邊求全微分，得，即，即