平面鏡成像問(wèn)題再討論

1、平面鏡成像問(wèn)題再討論陳 雁（浙江省寧波市鎮(zhèn)海教師進(jìn)修學(xué)校，浙江 寧波，315200）1 用平面鏡成像的基本原理對(duì)競(jìng)賽題進(jìn)行簡(jiǎn)明求解貴刊2012年第11期刊登了“對(duì)一道競(jìng)賽題的再思考”，以下簡(jiǎn)稱“再思考”，文章對(duì)競(jìng)賽題的錯(cuò)誤答案進(jìn)行了分析，并給出了正確的結(jié)果。但文章中關(guān)于為何成7個(gè)像的討論和作圖過(guò)于復(fù)雜，本文試著用平面鏡成像的基本原理，簡(jiǎn)明得出成像的個(gè)數(shù)?！霸偎伎肌币晃挠懻摰母?jìng)賽題：如圖l所示，房間內(nèi)一墻角處相臨兩墻面掛了兩個(gè)平面鏡，兩平面鏡相互垂直，在該墻角緊靠鏡面處放有一個(gè)臉盆，盆內(nèi)有水某學(xué)生通過(guò)鏡面和水面最多能看到自己像的個(gè)數(shù)為 (A)3個(gè) (B)6個(gè) (C)9個(gè) (D)無(wú)窮原題答案是選項(xiàng)

2、(B)，是錯(cuò)誤的。正確的結(jié)論應(yīng)該能看到7個(gè)像。競(jìng)賽題中，臉盆內(nèi)的水可以看作水平面上的平面鏡。因此，本題就相當(dāng)于研究三面互相垂直平面鏡的成像問(wèn)題。平面鏡成像特點(diǎn)：像與物關(guān)于鏡面對(duì)稱。先討論二面互相垂直的平面鏡成像如圖2所示。M1、M2為互相垂直的平面鏡。S1、 S2是一次反射成像：S1是物體經(jīng)過(guò)平面鏡M1一次反射成的像，S2是物體經(jīng)過(guò)平面鏡M2成的像；S12是物體先經(jīng)過(guò)M1再經(jīng)過(guò)M2二次反射后所成的像。由于M1、M2互相垂直，所以物體先經(jīng)過(guò)M1后經(jīng)過(guò)M2反射所成的像S12與先經(jīng)M2后經(jīng)M1反射所成的像S21剛好重疊，物體S共成3個(gè)像。三面互相垂直的平面鏡的成像如圖3所示。M1、M2、M3為互相垂

3、直的平面鏡。根據(jù)平面成像特點(diǎn)，物體在平面鏡M1、M2所成的3個(gè)像連同物體S，在平面鏡M3中成4個(gè)像，物體S在三面互相垂直的平面鏡中共成7個(gè)像。7個(gè)像中，3個(gè)是正立的，4個(gè)是倒立的；其中S123是物體經(jīng)過(guò)三次反射后所成的像。由于三個(gè)平面鏡互相垂直，使得三次反射所成的像S123 、S132 、S213 、S231 、S312 、S321重疊。為了驗(yàn)證結(jié)果，筆者做了實(shí)驗(yàn)，能很清楚看到七個(gè)像。出題者，可能是遺漏了物體S在平面鏡M3中所成的像，給出了錯(cuò)誤的結(jié)果。2 對(duì)互成角度二面平面鏡成像規(guī)律的討論“再思考”一文中另一個(gè)結(jié)論：“像和被成像者關(guān)于鏡面對(duì)稱，既然是對(duì)稱的，它們應(yīng)該成對(duì)出現(xiàn)，成像個(gè)數(shù)就為奇數(shù)。

4、” 平面鏡成像個(gè)數(shù)一定為奇數(shù)嗎？從上面的討論可知，二面互相垂直的平面鏡應(yīng)該成4個(gè)像，因?yàn)榻?jīng)過(guò)二次反射所成的2個(gè)像重疊，所以能看到3個(gè)像。如果二次反射所成的像不重疊，那么成像個(gè)數(shù)可以是偶數(shù)個(gè)，這種情景存在嗎？如圖4所示，設(shè)兩平面鏡OM、QN鏡面夾角為，兩鏡面間有一物點(diǎn)S，與兩鏡面直線相交于0點(diǎn)的距離為R。根據(jù)平面鏡成像的特點(diǎn)，作物點(diǎn)S的像點(diǎn)S1、S2、S3、S4、. 和S1,、S2,、S3,、S4,、。S1、S2、S3、S4、.是物體經(jīng)過(guò)最后經(jīng)平面鏡OM反射所成的像點(diǎn)；像點(diǎn)S1,、S2,、S3,、S4,、為最后經(jīng)平面鏡ON反射所成的像點(diǎn)。物點(diǎn)經(jīng)過(guò)二平面鏡多次反射后，成像位置在二平面鏡延長(zhǎng)線之間，

5、則這個(gè)像即為最后成像，如圖4中的像S7、S7,。如果S7、S7,不重疊，則成像為偶數(shù)個(gè)。筆者查閱了一些關(guān)于二平面鏡成像個(gè)數(shù)規(guī)律的文章，多數(shù)只給出了360o/為整數(shù)時(shí)成像個(gè)數(shù)規(guī)律，對(duì)于360o/為非整數(shù)的情況，采用結(jié)合作圖法，也只給出某幾個(gè)數(shù)值下成像的個(gè)數(shù)，并沒(méi)有給出一般成像規(guī)律。筆者試著用平面鏡成像的基本原理，對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行深入的討論分析，以得出互相角度二平面鏡之間成像個(gè)數(shù)的一般規(guī)律。直接研究物點(diǎn)S經(jīng)二平面鏡反射成像個(gè)數(shù)，試過(guò)幾種方法，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比較復(fù)雜，很難得出一般規(guī)律。為此，換一種思路，先討論二平面鏡自身成像情況，在此基礎(chǔ)上，再討論物點(diǎn)成像個(gè)數(shù)規(guī)律。2.1平面鏡自身成像：任意夾角的二平面鏡，當(dāng)

6、它們之間物點(diǎn)S經(jīng)過(guò)二平面鏡多次反射成像時(shí)，平面鏡本身作為物體，經(jīng)過(guò)彼此平面鏡的多次反射也能成像。二平面鏡OM、ON之間的夾角為，根據(jù)平面鏡成像原理，二平面鏡成像如下圖所示，小標(biāo)號(hào)表示反射的次數(shù)。如OM1為平面鏡OM經(jīng)過(guò)一次反射后成的像，OM2為平面鏡OM經(jīng)過(guò)二次反射成的像同理，ON1為平面鏡ON經(jīng)過(guò)一次反射后成的像，ON2為平面鏡ON經(jīng)過(guò)二次反射成的像根據(jù)平面鏡成像原理，OM2可以看作OM經(jīng)過(guò)虛鏡ON1反射成像，OM4可看作虛物OM2經(jīng)過(guò)虛鏡ON2反射成像二平面鏡經(jīng)過(guò)多次反射后，成像位置在其自身延長(zhǎng)線OA、OB之間，則為最后成像位置，因?yàn)榇藭r(shí)的像位于平面鏡背面，從這些“像”發(fā)出的光線不能射到鏡

7、面，因而不能再成像。設(shè)360o/=L+/。由平面鏡成像原理可知，成像的相鄰鏡面，把圓分為若干個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域的圓心角均等于。作二平面鏡夾角平分線CD，根據(jù)平面鏡成像的對(duì)稱性原理，二平面鏡所成像關(guān)于角平分線CD對(duì)稱。若L為奇數(shù)，平面鏡及其所成的像將圓分為2K+1個(gè)圓心角為的區(qū)域和1個(gè)圓心角為的區(qū)域，L=2K+1。最后的K、K,區(qū)域沒(méi)有重疊部分。所分區(qū)域關(guān)于角平分線CD對(duì)稱，如圖5所示。若L為偶數(shù)，平面鏡將圓周分為2K個(gè)圓心角為的區(qū)域和1個(gè)圓心角為的區(qū)域， L=2K。平面鏡成像關(guān)于角平分線對(duì)稱，在角平分線的二側(cè)各形成圓心角為的K個(gè)區(qū)域，最后的K、K,區(qū)域部分重疊，重疊部分所對(duì)圓心角-。如圖6所示。

8、2.2 物點(diǎn)S成像情況：物點(diǎn)S位于平面鏡MN之間，經(jīng)過(guò)多次反射，在每個(gè)圓心角為的區(qū)域內(nèi)成一個(gè)像。因像點(diǎn)位于二平面鏡之間，平面鏡OM、ON的延長(zhǎng)線OA、OB在最后的K、K,區(qū)域內(nèi)，所以問(wèn)題變得比較復(fù)雜。物點(diǎn)S最終能成幾個(gè)像，關(guān)鍵要討論以下二個(gè)方面：第一：最后的K、K,區(qū)域的像SK、SK,的位置：如果SK、SK,位于二平面鏡的延長(zhǎng)線OA、OB之間，則不能再成像；如果SK、SK,位于二平面鏡的延長(zhǎng)線OA、OB之外，則能再次經(jīng)平面鏡反射成像.第二：最后成的二個(gè)像會(huì)不會(huì)重疊：如果最后的二個(gè)像重疊，則成像數(shù)要減去一個(gè)。顯然，物點(diǎn)S成像個(gè)數(shù)與它所處的位置有關(guān)。設(shè)物點(diǎn)S與二鏡面交點(diǎn)0的連線OS與鏡面OM的夾角

9、為，根據(jù)平面鏡成像的對(duì)稱性原理可知， OSK-1、OSK與OMK的夾角均為，與ONK的夾角均為-。因?yàn)槌上竦膶?duì)稱性，只需要研究從0逐漸增大到/2時(shí)，成像的情況即可。下面分別就L為奇、偶數(shù)情況對(duì)成像個(gè)數(shù)進(jìn)行討論。L為奇數(shù)：物點(diǎn)S在每個(gè)圓心角為的區(qū)域中成1個(gè)像，成2K個(gè)像，再對(duì)K、K,區(qū)域的像SK、SK,，進(jìn)行討論。因最后的鏡面像OMK（ONK）與OA（或OB）的夾角等于（-）/2，故將分成（-）/2和（-）/2</2二種情況進(jìn)行討論。（1）（-）/2. K區(qū)域中像點(diǎn)SK能再次成像SK+1； K,區(qū)域的像SK,位于二平面鏡延長(zhǎng)線OA、OB之間，不能再成像，如圖7所示。.像SK,和SK+1是否

10、會(huì)重疊：SKOB=-（-）/2-=（+）/2-，SK經(jīng)過(guò)鏡面ON反射再次成像SK+1，二者關(guān)于鏡面ON的延長(zhǎng)線OB對(duì)稱，有：SK+1OB=SKOB=（+）/2-；SK,OB=（-）/2 +=（+）/2+像SK+1和像SK,不可能重疊。事實(shí)上，SK+1、SK關(guān)于OB對(duì)稱，OMK、OMK-1關(guān)于OB對(duì)稱，像點(diǎn)SK+1不可能位于K,區(qū)域，所以像SK+1和像SK,不可能重疊。結(jié)論：當(dāng)OS與平面鏡OM的夾角（-）/2時(shí)，共成2K+1=L個(gè)像。（2）（-）/2</2 .K、K,區(qū)域中的二個(gè)像SK、SK,均能再次成像，最后二個(gè)像為SK+1 、SK+1,，如圖8所示。.像SK+1 、SK+1,是否會(huì)重疊

11、：SK+1OB=SKOB=（+）/2-；SK+1,OA=SK,OA=-（-）/2；SK+1,OB=-SK+1,OA=（3-）/2-SK+1,OB>SK+1OBSK+1,OB-SK+1OB=-像SK+1 、SK+1,不重疊。共成2K+2=L+1個(gè)像。（當(dāng)=時(shí)，SK+1 、SK+1,重疊，成L個(gè)像。事實(shí)上，當(dāng)=時(shí)，360o/=L+/= L+1，為偶數(shù)，成L奇數(shù)個(gè)像，與后面討論的當(dāng)360o/為偶數(shù)時(shí)，成360o/-1個(gè)像一致。）結(jié)論：當(dāng)OS與平面鏡的夾角大于（-）/2</2時(shí)，共成L+1個(gè)像。（3）特例：=0，360o/=L+/= L為奇數(shù)。由于=0，最后的鏡面像OMK、ONK重合，與O

12、A、OB的夾角等于/2，如圖9所示。.</2， 只K區(qū)域的像SK能再次成像SK+1，且SK+1和像SK,不重疊，共成2K+1=L個(gè)像。.=/2，K、K,區(qū)域的像SK、SK,恰好位于二平面鏡的延長(zhǎng)線OA、OB上，不能再成像，共成2K=L-1個(gè)像。L 為偶數(shù)：物點(diǎn)在每個(gè)區(qū)域中成1個(gè)像，共成2K個(gè)像。同理，對(duì)K、K,區(qū)域的像SK、SK,，進(jìn)行討論。最后成像的鏡面OMK（ONK）與OA（或OB）的夾角等于/2。將分成</2和/2/2二種情況進(jìn)行討論。（1）</2. K區(qū)域中的像SK能再次反射成像為SK+1，K,區(qū)域的像SK,位于OA、OB之間，不能再次成像。如圖10所示。.SK+1與

13、SK,是否會(huì)重疊：SKOB=/2-SK+1OB=SKOB=/2-SK,OB=/2+SK+1與SK,不可能重疊。事實(shí)上，SK+1與SK,關(guān)于OMK對(duì)稱，SK,OMK=SK+1OMK=/2。結(jié)論：當(dāng)OS與平面鏡OM的</2時(shí)，共成L+1個(gè)像。（2）/2/2 . K、K,區(qū)域的像SK、SK,均不能再次成像。如圖11所示。.由于K、K,區(qū)域有重疊部分，所以還需要要討論K、K,區(qū)域的像SK、SK,是否重疊：SKOB=-/2SK,OB=+/2若0，像SK、SK不會(huì)重疊，共成2K=L個(gè)像。結(jié)論：當(dāng)OS與平面鏡OM的/2時(shí)，共成L個(gè)像；若=0，成L-1個(gè)像。（3）特例：=0，即360o/=L+/= L，

14、為偶數(shù)。最后的K、K,區(qū)域完全重疊，像SK、SK,重疊，共成2K-1=L-1個(gè)像。結(jié)論：=0，成像L-1個(gè)。2.3 成像規(guī)律：（1）互成角度二面平面鏡成像個(gè)數(shù)，與二平面鏡夾角有關(guān)，還與物點(diǎn)位置有關(guān)。（2）物點(diǎn)S最后成像只有二種情況會(huì)重疊：.360o/為偶數(shù)，因最后二個(gè)區(qū)域完全重疊，故最后成像一定重疊；.360o/為奇數(shù)，當(dāng)物點(diǎn)S位于二平面鏡角平分線上時(shí)，最后成像重疊，最后像點(diǎn)位于角平分線的延長(zhǎng)線上。這二種情況，成像個(gè)數(shù)均為L(zhǎng)-1。（3）成像個(gè)數(shù)列表：360o/=L+/成像個(gè)數(shù)L為奇數(shù)（-）/2L（-）/2</2L+1特例：=0</2L=/2L-1L為偶數(shù)</2L+1/2/2L特例：=0L-1為二平面鏡夾角；為物點(diǎn)S與平面鏡交點(diǎn)O的連線與二平面鏡的夾角。2.4舉例：L為奇數(shù)：1.=72 o：360o/=5，<36 o，成5個(gè)像；=36o，成4個(gè)像。2.=240 o：36