羅琦選修21利用空間向量解立體幾何典型例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一、 空間角說(shuō)明：以下涉及的點(diǎn)均為所屬線或面上的任意點(diǎn)。在可以建立空間坐標(biāo)系的前提下，以下的點(diǎn)的坐標(biāo)可求出。1異面直線所成的角點(diǎn)A，B直線a,C，D直線b。構(gòu)成向量。所對(duì)應(yīng)的銳角或直角即為直線a(AB)與b(CD)所成的角。例1 如圖，已知直棱柱ABC-A1B1C1，在ABC中，CA=CB=1，棱AA1=2，求異面直線BA1，CB1所成的角。2線面所成的角與的角所對(duì)應(yīng)的銳角的余角或直角即為直線AP與平面所成的角，所以O(shè)AP與的角的余弦值的絕對(duì)值為直線AP與平面所成的角的正弦值。例2棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為C1D1、B1C1的中點(diǎn)，(1)

2、 求證：E、F、B、D共面；(2) 求點(diǎn)A1D與平面EFBD所成的角。3二面角的求法二面角，平面的法向量，平面的法向量。，則二面l角的平面角為或。所以，若將法向量的起點(diǎn)放在兩個(gè)半平面上(不要選擇起點(diǎn)在棱上)，當(dāng)兩個(gè)法向量的方向都向二面角內(nèi)或外時(shí)，則為二面角的平面角的補(bǔ)角；當(dāng)兩個(gè)法向量的方向一個(gè)向二面角內(nèi)，另一個(gè)向外時(shí)，則為二面角的平面角。EGFDCBA例2 如圖，平面ABCD，ADE是等邊三角形，ABCD是矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，EC與平面ABCD成300的角。(1)求證：EG平面ABCD；(2)若AD=2，求二面角E-FG-G的度數(shù)；(3)當(dāng)AD的長(zhǎng)是多少時(shí)，點(diǎn)D到平面EFG的

3、距離為2，請(qǐng)說(shuō)明理由。點(diǎn)到面的距離線到面的距離線到線的距離面到面的距離二、 空間距離1點(diǎn)到面的距離OAP點(diǎn)P到面的距離可以看成在平面的法向量的方向上的射影的長(zhǎng)度。2 異面直線間的距離異面直線a,b之間的距離可以看成在a,b的公垂向量的方向上EbaF的射影的長(zhǎng)度。例4長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1的中點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，求(1)異面直線D1F與B1E所成角的大??；(2)二面角D1-AE-D的大??；(3)異面直線B1E與D1F的距離。3 線面距離直線a與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)A到平面的距離就是直線a與平面之間的距離。其求法與點(diǎn)到面的

4、距離求法相同。如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為3，例5側(cè)棱長(zhǎng)為，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=BC。(1)求直線BC1與平面AB1D之間的距離；(2)求二面角B1-AD-B的大??；(3)求三棱錐C1-ABB1的體積。4 平面與平面間的距離平面與平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到平面的距離就是平面與平面間的距離。其求法與點(diǎn)到面的距離求法相同。例6如圖所示，在直三棱錐ABC-A1B1C1中，BC=2，CC1=4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1=1，D、F、G分別為CC1、C1B1、C1A1的中點(diǎn)。(1)求證：B1D平面ABD；(2)求證；平面EGF平面ABD；(3)求平面EGF與平面

5、ABD的距離。練習(xí)：1（2008安徽文）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的 菱形，, , ,為的中點(diǎn)。（）求異面直線AB與MD所成角的大??；（）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。2（2008安徽理）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大小； （）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。3（2008北京文）如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCAC.（）求證：PCAB；（）求二面角B-AP-C的大小.ACBDP4（2008北京理）如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大?。唬ǎ┣簏c(diǎn)到平面的

6、距離5 (2008福建文) 如圖，在四棱錐中，側(cè)面PAD底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=,底面ABCD為直角梯形，其中BCAD,ABCD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn)。（1）求證：PO平面ABCD;（2）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；（3）求點(diǎn)A到平面PCD的距離6(2008福建理) 如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD底面ABCD，側(cè)棱PA=PD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).（）求證：PO平面ABCD；（）求異面直線PD與CD所成角的大?。唬ǎ┚€段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若

7、不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.、7、(2008海南、寧夏理)如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1的對(duì)角線BD1上，PDA=60。（1）求DP與CC1所成角的大??；（2）求DP與平面AA1D1D所成角的大小。8. (2008湖北文)如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?（）求證： （）若，直線AC與平面所成的角為， 二面角9. (2008湖北理)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC側(cè)面A1ABB1.（）求證：ABBC；（）若直線AC與平面A1BC所成的角為,二面角A1-BC-A的大小為的大小關(guān)系，并予以證明.10. (2008湖南理)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，BCD60，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.11(2008湖南文) 如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，。（I）證明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角ABEP和的大小。18(2008全國(guó)卷理) 四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，（）證明：；（）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小19 (2008山東理)如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點(diǎn).（）證明：AEPD;