平面與圓錐面的截線

1、平面與圓錐面的截線一、教學(xué)目標(biāo)：1. 知識(shí)與內(nèi)容：（1）通過(guò)觀察平面截圓錐面的情境，體會(huì)定理2（2）利用Dandelin雙球證明定理2中情況（1）（3）通過(guò)探究，得出橢圓的準(zhǔn)線和離心率，加深對(duì)橢圓結(jié)構(gòu)的理解2. 過(guò)程與方法：利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)，動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)Dandelin兩球的方法，幫助學(xué)生利用幾何直觀進(jìn)行思維，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，重視直覺(jué)的培養(yǎng)和訓(xùn)練，直覺(jué)用于發(fā)現(xiàn)，邏輯用于證明。3. 情感態(tài)度價(jià)值觀：通過(guò)親歷發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，提高對(duì)圖形認(rèn)識(shí)能力，重視合情推理和演繹推理的啟發(fā)、應(yīng)用和培養(yǎng)，讓學(xué)生辯證地觀察、分析問(wèn)題。二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：（1）定理2的證明 （2）橢圓準(zhǔn)線和離心率的探究難點(diǎn)：橢圓準(zhǔn)

2、線和離心率的探究三、教學(xué)過(guò)程橢圓是生活中常見(jiàn)的圖形，是圓錐曲線中重要的一種。生成橢圓的方法有許多，例如：（1）圓按某一個(gè)方向作伸縮變換可以得到橢圓，如圖1；（2）橢圓的定義（3）平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線的距離之比等于常數(shù)(0<e<1)的點(diǎn)的軌跡（4）一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積是一個(gè)負(fù)常數(shù)生成軌跡是橢圓；xyPD O（5）圓柱形物體的斜截口是橢圓，如圖2圖1如果用一平面去截一個(gè)正圓錐，所得截口曲線是橢圓嗎？還有其他情況嗎？讓我們共同來(lái)探究平面與圓錐面的截線。 思考：如果用一平面去截一個(gè)正圓錐，而且這個(gè)平面不通過(guò)圓錐的頂點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)哪些情況呢？歸納提升： 定理 在空間中，取直線為軸，直線

3、與相交于O點(diǎn)，其夾角為，圍繞旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸交角為（與平行，記住0），則： （1），平面與圓錐的交線為橢圓；（2），平面與圓錐的交線為拋物線；（3），平面與圓錐的交線為雙曲線。問(wèn)題：利用Dandelin雙球（這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部，一個(gè)位于平面的上方，一個(gè)位于平面的下方，并且與平面及圓錐均相切）證明：，平面與圓錐的交線為橢圓.討論：點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線m的距離比小于1）.證明1：利用橢圓第一定義，證明 FA+AE=BA+AC=定值，詳見(jiàn)課本.證明2：上面一個(gè)Dandelin球與圓錐面的交線為一個(gè)圓，并與圓錐的底面平行，記這個(gè)圓所在平面為/；如果平面

4、與平面/的交線為m，在圖中橢圓上任取一點(diǎn)A，該Dandelin球與平面的切點(diǎn)為F，則點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線m的距離比是（小于1）.（稱點(diǎn)F為這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)，直線m為橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)為離心率e.）點(diǎn)評(píng)：利用可以證明截線為拋物線，雙曲線的情況，以離心率的范圍為準(zhǔn). 拓展：1. 請(qǐng)證明定理2中的結(jié)論（2） 2. 探究雙曲線的準(zhǔn)線和離心率 3. 探索定理中（3）的證明，體會(huì)當(dāng)無(wú)限接近時(shí)平面的極限結(jié)果四、自我檢測(cè)練習(xí)1.平面截球面和圓柱面所產(chǎn)生的截線形狀是         .分析：聯(lián)想立體幾何及上節(jié)所學(xué)，可得結(jié)論，要注

5、意平面截圓柱面所得的截線的不同情況.答案：平面截球面所得的截線為圓；平面截圓柱面所得的截線為圓或橢圓；2.判斷橢圓、雙曲線、拋物線內(nèi)一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離之比與1的關(guān)系？分析：首先通過(guò)畫(huà)圖尋找規(guī)律，然后加以證明.答案：略.五、課外研究材料材料1. 閱讀，和你的同學(xué)一起探討文后的問(wèn)題：運(yùn)動(dòng)的天體受向心力和離心力的作用，天體運(yùn)行的速度不同，它所獲得的合力也不同，這樣就導(dǎo)致形成不同的運(yùn)行軌道，如人造衛(wèi)星發(fā)射的速度等于或大于7.9km/s（第一宇宙速度即環(huán)繞速度）時(shí)，它就在空中沿圓或橢圓軌道運(yùn)行；當(dāng)發(fā)射的速度等于或大于11.2 km/s（第二宇宙速度即脫離速度）時(shí)，物體可以掙脫地球引力的束縛，成為

6、繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造行星或飛到其它行星上去；當(dāng)速度等于或大于16.7 km/s（第三宇宙速度即逃逸速度）時(shí)，物體將掙脫太陽(yáng)引力的束縛，飛到太陽(yáng)系以外的宇宙空間去。例如：人造衛(wèi)星、行星、慧星等由于運(yùn)動(dòng)的速度的不同，它們的軌道是圓、橢圓、拋物線或雙曲線。（1）從天體運(yùn)行的軌跡看，圓錐曲線也存在著統(tǒng)一，難道在冥冥宇宙中，有什么神奇的力量，使天體運(yùn)行也遵循著一種統(tǒng)一的規(guī)律嗎？（2）邀請(qǐng)你們的物理老師、地理老師，請(qǐng)他們上一節(jié)天體運(yùn)行課，更深入的理解圓錐曲線材料2. 圓錐截線，是一個(gè)平面截正圓錐面而得到的曲線設(shè)圓錐軸截面母線與軸的夾角為，截面和圓錐的軸的夾角為當(dāng)截面不過(guò)頂點(diǎn)時(shí)，（1）當(dāng)時(shí)，即截面和一條母線平行時(shí)，交線是拋物線；（2）當(dāng)時(shí)，即截面不和母線平行，且只和圓錐面的一葉相交時(shí)，交線是橢圓特別地，當(dāng)，即截面和圓錐面的軸垂直時(shí)，交線是圓（3）當(dāng)0時(shí)，即截面不與母線平行，且和圓錐面的兩葉都相交時(shí)，交線是雙曲線當(dāng)截面過(guò)頂點(diǎn)時(shí)，（1）當(dāng)時(shí)，截面和圓錐面相切，交線退化為兩條重合直線（2）當(dāng)時(shí)，截面和圓錐面只相交于頂點(diǎn)，交線退化為一個(gè)點(diǎn)（3）當(dāng)0時(shí)，截面和圓錐面相交于兩條母線，交線退化為兩條相交直線前一類情況中，拋物線、橢圓（包含圓）和雙曲線這三種曲線叫做非退化的圓錐曲線有時(shí)，也把拋物線、橢圓和雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線后一類情況，交線是一個(gè)點(diǎn)或兩條直線（包括相交與重合），把它們