大學(xué)物理答案第十六章

1、第十六章 機(jī)械波16-1 一波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期，振幅，當(dāng)時(shí)，振動(dòng)位移恰為正方向的最大值設(shè)此方程以的速度沿直線傳播，試求(1)此波的波函數(shù)；(2)距波源和處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程和初相；(3)距波源15m和處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位差分析波源的周期和頻率就是機(jī)械波的周期和頻率，對(duì)于平面波，在忽略傳播過(guò)程中的能量損失的情況下，波源的振幅就是波的振幅，如果已知波速或波長(zhǎng)以及波源的初相，就能給出波函數(shù)由上一章的討論可知，當(dāng)給出振動(dòng)的初始位置和運(yùn)動(dòng)方向時(shí)，振動(dòng)的初相就確定了由波函數(shù)可以獲得波線上任一點(diǎn)的振動(dòng)方程；以及任一時(shí)刻波線上各點(diǎn)的位移，即波形波線上相位差為質(zhì)點(diǎn)間的距離（也可視為兩個(gè)相鄰的相位相同點(diǎn)間的距離）為一個(gè)

2、波長(zhǎng)解 (1)波源的角頻率為初始時(shí)波源振動(dòng)達(dá)正方向的最大值，即，波源的振動(dòng)方程為已知，波函數(shù)為(2)由波函數(shù)得處振動(dòng)方程為該處質(zhì)點(diǎn)初相為 處振動(dòng)方程為該處質(zhì)點(diǎn)初相為或(3)兩點(diǎn)相位差為 處質(zhì)點(diǎn)相位超前16-2 已知平面波波函數(shù)式中、以米計(jì)，以秒計(jì)，試求(1)波長(zhǎng)、周期、波速；(2)在處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；(3)在時(shí)，該處質(zhì)點(diǎn)的位移和速度這是原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)在哪一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？再經(jīng)過(guò)后該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)傳至何處？分析 本題強(qiáng)調(diào)這樣的概念：波的傳播過(guò)程是振動(dòng)狀態(tài)（或相位）的傳播過(guò)程在單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)狀態(tài)（或相位）傳播的距離稱為波的傳播速度，也稱為相速度，即本書中的波速（以區(qū)別于反映振幅或能量傳播的群速度）波在介質(zhì)

3、中傳播時(shí)，波線上各質(zhì)點(diǎn)仍在各自的平衡位置附近振動(dòng)，并不跟隨波前進(jìn)，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度為解 (1)將波函數(shù)與簡(jiǎn)諧波的標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)比，得(2)由波函數(shù)得處的振動(dòng)方程為(3)由波函數(shù)得時(shí)處質(zhì)點(diǎn)的位移為該時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度為是原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài) 再經(jīng)過(guò)該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)傳播的距離即傳至距該處或距原點(diǎn)處16-3 如圖16-3，一平面簡(jiǎn)諧波在空間傳播，已知波線上某點(diǎn)P的振動(dòng)規(guī)律為,根據(jù)圖中所示的兩種情況，分別列出以O(shè)為原點(diǎn)的波函數(shù)分析 本題可以沿兩條思路求解：(1)由于波線上各點(diǎn)的相位依次落后, 根據(jù)兩點(diǎn)間的距離可以判斷O點(diǎn)比P點(diǎn)相位超前多少或落后多少, 因已知P點(diǎn)的振動(dòng)方程，就能寫出O點(diǎn)的振動(dòng)方程，再寫出以O(shè)

4、為原點(diǎn)的波函數(shù)(2) 從P點(diǎn)的振動(dòng)方程直接寫出以P為原點(diǎn)的波函數(shù)，根據(jù)波函數(shù)的物理意義寫出O點(diǎn)的振動(dòng)方程，再寫出O為原點(diǎn)的波函數(shù)下面給出第一種解法y y v v l l O P x P O x 圖16-3解 (1)第一種情況，波沿x軸正向傳播，O點(diǎn)的相位比P點(diǎn)超前, 所以O(shè)點(diǎn)的振動(dòng)方程為 以O(shè)為原點(diǎn)的波函數(shù)為(2)第二種情況，波沿x軸負(fù)向傳播，O點(diǎn)在P點(diǎn)右側(cè)，O點(diǎn)的相位比P點(diǎn)超前，所以O(shè)點(diǎn)的振動(dòng)方程為 以O(shè)為原點(diǎn)的波函數(shù)為16-4 一平面余弦波在時(shí)的波形如圖16-4（a）所示(T為周期), 此波以v=36m/s的速度沿x軸正向傳播, (1)畫出t=0時(shí)刻的波形圖；(2) 求O、P點(diǎn)的振動(dòng)初相；

5、寫出O點(diǎn)的振動(dòng)方程及以O(shè)為原點(diǎn)的波函數(shù).分析 波形曲線，即y-x圖，給出了某一時(shí)刻波線上各點(diǎn)的位移已知波速時(shí)，從 時(shí)的波形可以推出t=0或t=T時(shí)的波形，從而可得O點(diǎn)的振動(dòng)方程, 進(jìn)而求出O為原點(diǎn)的波函數(shù)y/m 0.2 O P 0.4 x/m-0.2（a） y/m 0.2 0.4 O P x/m （b） 圖16-4解 (1) 時(shí)刻的波形沿x軸負(fù)向移動(dòng)即為t=0時(shí)的波形，或沿x軸正向移動(dòng)即得t=T時(shí)的波形，如圖16-4(b)(2) 由圖16-4(a)得 又對(duì)O點(diǎn)有，t=0時(shí)，有 （1） （2）由(1)式得，由(2)式得，所以應(yīng)取對(duì)P點(diǎn)， t=0時(shí)，有 (3) (4)因A=0.2m，由(3)式得，

6、滿足(4)式(3)波的角頻率 O點(diǎn)的振動(dòng)方程為 m以O(shè)為原點(diǎn)的波函數(shù)為 m 16-5 一平面波在t=0時(shí)的波形曲線如圖16-5中曲線(I)所示，波沿x軸正向傳播，經(jīng)過(guò)t=0.5s后, 波形變?yōu)榍€(II). 已知波的周期s, 試由圖中所給條件, 求(1)波函數(shù)；(2)A點(diǎn)的振動(dòng)方程分析 從波形曲線(I)可以求出振幅、波長(zhǎng)以及O點(diǎn)的初相. 但另一個(gè)重要的常數(shù)需結(jié)合兩條波形曲線考慮. 從圖上不難看出, 在0.5s內(nèi)波形在x軸正向移動(dòng)0.1m，于是可以計(jì)算出波速再根據(jù)周期、波長(zhǎng)、波速間的關(guān)系求出周期，進(jìn)而求出角頻率. y/m A () O 0.2 0.4 x/m ()圖16-5 解 由圖16-5知,

7、 A=0.1m, m, m/s s rad/s對(duì)O點(diǎn) (1) (2) 由(1)式得，由(2)式得，所以應(yīng)取故O點(diǎn)的振動(dòng)方程為 m以O(shè)為原點(diǎn)的波函數(shù)為 m(2)將m代入上式，得A點(diǎn)的振動(dòng)方程為 m 16-6 一平面波的波函數(shù)為 ，式中x，y以m為單位，t以s為單位, 試求:（1）波的振幅、頻率、波長(zhǎng)和波速；（2）何時(shí)原點(diǎn)處第一次出現(xiàn)波峰；（3）當(dāng)t=1s時(shí)，最靠近原點(diǎn)的兩個(gè)波峰位置. 分析 本書約定波函數(shù)以余弦函數(shù)表示, 因此可先把題目給的波函數(shù)化為余弦函數(shù)分列在原點(diǎn)兩側(cè)的第一個(gè)波峰應(yīng)是最靠近原點(diǎn)的波峰 解 (1)波函數(shù)化為余弦函數(shù)形式為 m (2) 將x=0, y=A代入波函數(shù)，當(dāng)?shù)谝淮纬霈F(xiàn)波

8、峰時(shí)，有 得 t=0.01s (3) 將t=1s代入波函數(shù)得t=1s時(shí)的波形方程欲出現(xiàn)波峰需滿足條件： 得最靠近原點(diǎn)的兩波峰位置為16-7 沿x軸負(fù)向傳播的平面簡(jiǎn)諧波在t=2s時(shí)的波形如圖16-17(a), 波速v=0.5m/s, 求O點(diǎn)的振動(dòng)方程及此波的波函數(shù).y/m y/m t=0時(shí) 0.5 0.5 -1 O 1 x/m O 1 x/m (a) 圖16-7 (b)分析 由已知條件算出T=4s. 欲從t=2s時(shí)的波形求出t=0時(shí)的波形, 只需將t=2s時(shí)的波形曲線沿x軸負(fù)向移動(dòng)半個(gè)波長(zhǎng)即得. 從t=0時(shí)的波形便可求出振動(dòng)方程的幾個(gè)常數(shù).解 從圖16-7(a)知 可得t=0時(shí)的波形如圖16-7

9、(b). 從圖知O點(diǎn)將向下運(yùn)動(dòng)，于是O點(diǎn)在t=0時(shí)有 (1) (2) 由(1)式得，由(2)式得，所以應(yīng)取O點(diǎn)的振動(dòng)方程為 m以O(shè)為原點(diǎn)的波函數(shù)為 m16-8 一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸負(fù)向傳播, 波長(zhǎng)為 P處質(zhì)點(diǎn)元的振動(dòng)規(guī)律如圖16-8. (1)求P點(diǎn)的振動(dòng)方程; (2)設(shè)OP=d, 求此波以O(shè)為原點(diǎn)的波函數(shù).分析振動(dòng)曲線是描繪波線上某點(diǎn)位移與時(shí)間關(guān)系的曲線，即y-t圖通過(guò)振動(dòng)曲線可知P點(diǎn)的初始條件有了P點(diǎn)的初始條件，可得P點(diǎn)的振動(dòng)方程由于波沿x軸負(fù)向傳播，因而O點(diǎn)的相位比P點(diǎn)落后解 (1)由振動(dòng)曲線知P點(diǎn)在t=0時(shí)有 (1) (2) yp/m A 0 1 2 3 t/s -A d x O P 圖1

10、6-8 由(1)式得，滿足(2)式因T=4s，則rad/s所以P點(diǎn)的振動(dòng)方程為 m(2)波沿x軸負(fù)向傳播, P點(diǎn)相位比O點(diǎn)超前,所以O(shè)點(diǎn)的振動(dòng)方程為 m有 以O(shè)為原點(diǎn)的波函數(shù)為m16-9圖16-9 (a)是一平面簡(jiǎn)諧波在t=0時(shí)的波形曲線. P點(diǎn)位于波線上x=1m處, 圖(b)是P處質(zhì)點(diǎn)元的振動(dòng)曲線. 求以O(shè)為原點(diǎn)的波函數(shù).y/m y/m 0.2 P O 1 2 x/m O 0.1 0.2 t/s -0.2(a) (b) 圖16-9 分析 題目已給出t=0時(shí)的波形曲線，似乎問(wèn)題很簡(jiǎn)單，但由于沒(méi)給出波的傳播方向，這樣從波形曲線無(wú)法判定t=0時(shí)O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向從題目給出的距O點(diǎn)為1 m處P點(diǎn)的振動(dòng)曲

11、線可以判明，當(dāng)t稍微大于零時(shí)其位移為正，因而t=0時(shí)P點(diǎn)將向上運(yùn)動(dòng)再觀察波形圖上x=1.5m處的質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)t=0時(shí)位于最大位移處，此后一定要向下運(yùn)動(dòng)回到平衡位置既然t=0時(shí)P點(diǎn)將向上最大位移處運(yùn)動(dòng)， 而1.5m處質(zhì)點(diǎn)已從最大位移返回，便可判斷出P點(diǎn)(1m處)的相位比1.5m處質(zhì)點(diǎn)落后，所以波沿x軸負(fù)向傳播解 從圖16-9(a)知 m, T=0.2s, A=0.2m.從圖16-9 (b)P點(diǎn)的振動(dòng)曲線并結(jié)合波形曲線(a), 判斷出波沿x軸負(fù)向傳播, 因而t=0時(shí)O點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)初相由下兩式?jīng)Q定： (1) (2) 由(1)式得，由(2)式得，所以應(yīng)取得波函數(shù)為 m S1 S2 30m xP o P

12、 x圖16-10 16-10 兩相干波源S1、S2具有相同的振幅、頻率和初相位已知振幅A=0.01m, 頻率為100Hz, 初相位為零. 兩波源相距30m, 相向發(fā)出二簡(jiǎn)諧波, 波長(zhǎng)為5m. 試求: (1)兩波源的振動(dòng)方程; (2)在兩波源連線中點(diǎn)處的合振動(dòng)方程.分析 相干波在相遇點(diǎn)的合振幅是各列波在相遇點(diǎn)引起的振動(dòng)的合成解 (1) 已知 rad/s所以S1、S2的振動(dòng)方程為(2) 如圖16-10, 取S1為坐標(biāo)原點(diǎn), 向右為正. 第一列波到達(dá)波源連線中點(diǎn)P的振動(dòng)方程為第二列波到達(dá)P點(diǎn)的振動(dòng)方程為所以P點(diǎn)的合振動(dòng)方程式為 m16-11 一簡(jiǎn)諧空氣波, 沿直徑為0.14m的圓柱形管傳播, 波的平

13、均強(qiáng)度為W/m2, 頻率為300Hz, 波速為300m/s. 求: (1)波的平均能量密度和最大能量密度; (2)每?jī)蓚€(gè)相鄰?fù)嗝骈g的波中含有的能量.分析 本題涉及的概念有: 能量密度、平均能量密度、平均能流、能流密度或波的強(qiáng)度. 從能量密度看到, 介質(zhì)單位體積中的能量不守恒, 隨時(shí)間作周期變化, 在給定時(shí)刻能量又隨單位體積平衡位置坐標(biāo)x作周期變化，因此波的傳播既是振動(dòng)相位的傳播又是能量的傳播，因此而稱為行波解 (1)平均能量密度為 平均強(qiáng)度為 能量密度為 最大能量密度為 (2)相鄰?fù)嗝骈g隔的距離為一個(gè)波長(zhǎng)，即 m相鄰?fù)嗝骈g的波中含有能量16-12 一簡(jiǎn)諧波在彈性介質(zhì)中傳播, 波速m/s,

14、 振幅A=1.0×10-4m, 頻率Hz. 若介質(zhì)的密度, 求: (1)該波的能流密度; (2) 若有一平面面積s=4.0×10-4m2, 波速v與該平面法線en的夾角為， 求一分鐘內(nèi)通過(guò)該面積的平均能流.解 (1)能流密度為(2)一分鐘內(nèi)通過(guò)垂直于波傳播方向的平均能流為16-13 若太陽(yáng)能電池板的接收面積為13cm2, 當(dāng)正對(duì)太陽(yáng)時(shí), 電池板產(chǎn)生0.45V電壓, 并提供0.20A電流. 設(shè)太陽(yáng)光的能流密度為1.0×103W/m2, 求太陽(yáng)能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿男?分析 1s內(nèi)太陽(yáng)能電池板產(chǎn)生的電能與1s內(nèi)電池板吸收的太陽(yáng)能之比就是能量轉(zhuǎn)換效率本題提供的太陽(yáng)的能流密度是

15、一常識(shí)性數(shù)據(jù)解 1 s內(nèi)太陽(yáng)能電池吸收的太陽(yáng)能為產(chǎn)生的電能為 E = 0.2×0.45 J = 0.09 J所以轉(zhuǎn)換效率為 A P B x x圖16-1416-14 兩相干平面波波源A、B相距20m, 作同頻率、同方向和等振幅的振動(dòng)， 它們所發(fā)出的波的頻率為100Hz，波速為200m/s，相向傳播, 且A處為波峰時(shí), B處為波谷, 求AB連線上因干涉而靜止的各點(diǎn)的位置.分析 兩相干波等振幅，所以相干減弱點(diǎn)的振幅為零，即因干涉而靜止A處為波峰時(shí)B處恰為波谷, 表明波源A與波源B的相位差為解 兩相干平面波波長(zhǎng)為m兩平面波相向傳播，相遇點(diǎn)在兩波源之間，設(shè)P在A、B間，距離波源A為x，如圖1

16、6-14，設(shè)波源B相位比波源A超前，有相遇點(diǎn)為干涉靜止時(shí)需滿足條件為得 所以AB連線上因干涉而靜止點(diǎn)的位置為x = k+10 m 16-15 如圖16-15, 兩列波長(zhǎng)均為的相干簡(jiǎn)諧波, 分別通過(guò)圖中的O1和O2點(diǎn), 通過(guò)O1點(diǎn)的簡(jiǎn)諧波在M1M2平面反射后與通過(guò)O2點(diǎn)的簡(jiǎn)諧波在P點(diǎn)相遇. 假定波在M1M2平面反射時(shí)有半波損失, O1和O2兩點(diǎn)的振動(dòng)方程分別為和, 且O1m+mP=8, O2P=3, 求: (1)兩列波分別在P點(diǎn)引起的振動(dòng)的振動(dòng)方程; (2)P點(diǎn)的合振幅(設(shè)介質(zhì)無(wú)吸收). M1 m M2 PO1 O2 圖16-15 分析 通過(guò)O1的簡(jiǎn)諧波在M1M2平面的m點(diǎn)反射，反射時(shí)有半波損失

17、，即對(duì)于通過(guò)O1的簡(jiǎn)諧波, M1M2平面是波密介質(zhì), 反射時(shí)反射波的相位改變介質(zhì)無(wú)吸收，即表明振幅保持不變解 (1) s 在M1M2面上反射有半波損失, 所以通過(guò)O1點(diǎn)的簡(jiǎn)諧波在P點(diǎn)的振動(dòng)方程為 通過(guò)O2點(diǎn)的簡(jiǎn)諧波在P點(diǎn)的振動(dòng)方程為 (2)由(16-22)式, P點(diǎn)合振動(dòng)的振幅為16-16 如圖16-16(a), 三列波長(zhǎng)均為的簡(jiǎn)諧波, 各自通過(guò)S1、S2、S3后在P點(diǎn)相遇，求P 點(diǎn)的振動(dòng)方程. 設(shè)三列簡(jiǎn)諧波在 S1、S2、S3 振動(dòng)的振動(dòng)方程分別為,且S2P=4,S1P=S3P=5, 并設(shè)介質(zhì)無(wú)吸收.分析振動(dòng)的合成采用旋轉(zhuǎn)矢量法最簡(jiǎn)便本題可用旋轉(zhuǎn)矢量法先求第一、二個(gè)振動(dòng)的合振動(dòng)，再與第三個(gè)合

18、成. 以此類推可作多個(gè)振動(dòng)的合成解 三列簡(jiǎn)諧波在P點(diǎn)的振動(dòng)方程分別為先將第一列波在P點(diǎn)引起振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量A1與第三列波在P點(diǎn)引起振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量A3合成，合旋轉(zhuǎn)矢量為A13, 如圖16-16(b). 合振動(dòng)方程為 再將A13與A2合成, 合旋轉(zhuǎn)矢量為A合, 如圖16-16（c）.合振動(dòng)方程為 P S1 S2 S3 (a) A1 O x A13 A3（b）A2 O x A13 A合 （c）圖16-1616-17 沿弦線傳播的一入射波的波函數(shù)為設(shè)波在x=L處(B點(diǎn))反射, (1)反射點(diǎn)為自由端, 寫出以B為原點(diǎn)的反射波的波函數(shù); (2)反射端為固定端又如何?分析 考慮在自由端反射的反射波無(wú)半波損失，

19、在固定端反射的反射波有半波損失，結(jié)合波函數(shù)的物理意義, 可寫出B點(diǎn)的振動(dòng)方程沿入射波的傳播方向, 波線上各點(diǎn)相位依次落后，且注意到入射波的波函數(shù)是以O(shè)為原點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為xB=L，于是以B為原點(diǎn)的反射波傳到坐標(biāo)x點(diǎn)時(shí), 傳播距離是L-x. . . x O B L圖16-17 解 (1)如圖16-17, 反射點(diǎn)B為自由端時(shí), 反射波無(wú)半波損失，B點(diǎn)坐標(biāo)xB=L，B點(diǎn)振動(dòng)方程為反射波沿BO方向傳播, BO間各點(diǎn)的相位均落后于B點(diǎn), BO上坐標(biāo)為x的任一點(diǎn)t時(shí)刻相位為所以B點(diǎn)為自由端時(shí), 以其為原點(diǎn)的反射波波函數(shù)為(2)當(dāng)反射點(diǎn)B為固定端時(shí), 反射波有半波損失，以B為原點(diǎn)的反射波波函數(shù)為16-18 兩

20、列波在同一直線上傳播, 波速均為1 m/s.它們的波函數(shù)分別為 式中各量均采用國(guó)際單位制. (1)試說(shuō)明在直線上形成駐波, 并給出波腹、波節(jié)的位置; (2)求在x=1.2m處的振幅. 分析 兩列在同一直線上沿正反方向傳播的等振幅相干波疊加形成駐波駐波波函數(shù)為 為振幅項(xiàng)結(jié)合書上對(duì)駐波的討論, 可總結(jié)出駐波區(qū)別于行波的兩個(gè)特點(diǎn)：在駐波中無(wú)能量傳播, 無(wú)相位傳播解 兩波函數(shù)改寫為 所以這兩列波是在同一直線上沿正反方向傳播的等振幅的相干波，在直線上疊加形成駐波，(16-24)式給出駐波波函數(shù)的形式為與已知條件比較，知 得 s ， Hz， m.所以駐波波函數(shù)為 m當(dāng) x 滿足時(shí)出現(xiàn)波腹, 即 (k=0,

21、1,2,.)解出x=k m出現(xiàn)波腹. 當(dāng) x 滿足時(shí)出現(xiàn)波節(jié), 即 (k=0,1,2,.)解出 m出現(xiàn)波節(jié). (2)x=1.2m處的振幅為 m .16-19 如圖16-19, 位于x=0 處的波源O作簡(jiǎn)諧振動(dòng), 產(chǎn)生振幅為A, 周期為T,波長(zhǎng)為的平面簡(jiǎn)諧波. 波沿x軸負(fù)向傳播, 在波密介質(zhì)表面B處反射. 若t=0時(shí)波源位移為正最大, 且OB=L, 求:(1)入射波的波函數(shù); (2)以B為原點(diǎn)的反射波的波函數(shù); (3)設(shè)L=, 證明BO間形成駐波, 并給出因干涉而靜止的點(diǎn)的位置. B O xL圖16-19 分析 將入射波的波函數(shù)寫出后與習(xí)題16-17 聯(lián)系應(yīng)不難求解. 解題時(shí)需十分留心的是題目已把坐標(biāo)取定, B點(diǎn)的坐標(biāo).解 (1)波源的初相由下式給出 (1) (2)從(1)式解出 滿足(2)式, 故 所以以O(shè)為原點(diǎn), 沿x軸負(fù)向傳播的入射波波函數(shù)為 (2)B點(diǎn)坐標(biāo)xB=-L, 且B點(diǎn)為波密介質(zhì)表面一點(diǎn), 在B點(diǎn)反射的反射波有半波損失，B點(diǎn)的振動(dòng)方程為反射波沿x軸正向傳播, BO間坐標(biāo)為-x的任一點(diǎn)t時(shí)刻相位為所以以B為原點(diǎn)的反射波波函數(shù)為(3) 因，所