大四畢業(yè)論文淺談數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的價值

1、 淺談數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的價值 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生 許衛(wèi)國 指導(dǎo)老師 郭英新 摘要： 本文結(jié)合數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，解析幾何，數(shù)學(xué)模型，實變函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容，解釋了數(shù)學(xué)中三種創(chuàng)造性思維及應(yīng)用價值，這三種創(chuàng)造性思維分別是創(chuàng)新思維（創(chuàng)優(yōu)機智），逆向思維，發(fā)散思維。其中，創(chuàng)新思維主要介紹了數(shù)學(xué)模型的思想；從在教學(xué)中注意培養(yǎng)反方向的思考與訓(xùn)練、級數(shù)收斂逆向求極限、間接展開，逆向轉(zhuǎn)化介紹了逆向思維；從不同角度分析問題、幾何旋轉(zhuǎn)，結(jié)論不同，發(fā)展學(xué)生發(fā)散思維方面介紹了發(fā)散思維。關(guān)鍵詞：創(chuàng)新思維，逆向思維，發(fā)散思維, 拓展Shallowly discusses the mathematics creative t

2、hought the value Student majoring in Mathematics and applied mathematics Xuweiguo Tutor GuoyingxinAbstract: This article unifies the mathematical analysis, the advanced algebra, the analytic geometry, the mathematical model, the real variable function and so on the related content, explained in math

3、ematics three kinds of creative thought and the application value, these three kinds of creative thought respectively is innovates the thought (to improve quality quick-wittedly), the negative thinking, disperses the thought. Among them, the innovation thought mainly introduced the mathematical mode

4、l thought; From pays attention to the raise reversed direction in the teaching the ponder and the training,級數(shù)收斂 the reversion asks the limit, indirectly to launch, the reversion transformation introduced the negative thinking; From the different angle analysis question, the geometry revolve, the con

5、clusion was different, develops the student to disperse the thought aspect to introduce dispersed the thought. Key word: The innovation thought, the negative thinking, disperses the thought, the development Key words:The innovation thought, the negative thinking, disperses the thought, the developme

6、nt繼全國科技創(chuàng)新大會之后，黨的十六屆五中全會把著力自主創(chuàng)新提高到了實現(xiàn)科學(xué)發(fā)展，推動民族振興的戰(zhàn)略地位“立足科學(xué)發(fā)展，著力自主創(chuàng)新，完善體制機制，促進社會和諧”。走中國特色的自主創(chuàng)新之路，建設(shè)創(chuàng)新型國家，這是我們黨綜合分析國際形勢和國內(nèi)發(fā)展階段提出的重大指導(dǎo)方針，是推動我國經(jīng)濟社會發(fā)展轉(zhuǎn)入科學(xué)發(fā)展軌道的正確選擇。我國“神州”六號載人飛船試驗成功就是我國人民自強不息、自主創(chuàng)新的又一輝煌篇章。一個沒有創(chuàng)新能力的民族難以屹立于世界民族之林，創(chuàng)新的關(guān)鍵是人才，人才的成長靠教育。數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維不僅存在于數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造活動中，也存在于學(xué)生的學(xué)習(xí)活動中。這是因為學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識雖然是前人創(chuàng)造性思維的結(jié)果。

7、但學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體處于再發(fā)現(xiàn)的地位，學(xué)習(xí)生活實質(zhì)上仍然具有數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的性質(zhì)。因此，采用開放式教學(xué)方法。在教學(xué)中充分揭示思維過程是培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的重要途徑。在大學(xué)四年數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們應(yīng)努力培養(yǎng)自己的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)提高自主創(chuàng)新能力，因為創(chuàng)新能力是一個民族進步的靈魂，創(chuàng)造性思維是一切創(chuàng)新的核心。 本文結(jié)合大學(xué)5門專業(yè)課淺談了3種創(chuàng)造性思維：創(chuàng)新思維，逆向思維，發(fā)散思維。（一） 創(chuàng)新思維中共中央 國務(wù)院在深化教育改革，全面發(fā)展推進素質(zhì)教育中指出實施素質(zhì)教育，就是全面貫徹黨的教育方針，重點培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說：“數(shù)學(xué)就是對于模式的研究”。數(shù)學(xué)模型，對

8、于現(xiàn)實世界的某個特定的目的，在做了一些必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，并通過數(shù)學(xué)語言表達出來的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)中的各種基本概念。培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)建模解決實際問題的能力，關(guān)鍵把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題。在數(shù)學(xué)模型中，創(chuàng)優(yōu)機智的培養(yǎng)，是創(chuàng)新思維的體現(xiàn)，例如：優(yōu)化模型。例1 ： 建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存儲模型。設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)k，銷售速率為常數(shù)r，rk，在每個生產(chǎn)周期T內(nèi)，開始的一段時間（0tT0） 一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時間（T0tT）只銷售不生產(chǎn)，畫出儲存量q(t)的圖形，設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費為c1。單位時間每件產(chǎn)品貯存費為c2，以總費用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)期。討論：kr和kr的情況。

9、解：（1）貯存量q(t)的圖形如右圖： 則一個周期T內(nèi)總費用為： =c1+c2*s=c1+c2*=c1+c2*=c1+c2*故單位時間內(nèi)總費用c(t)= +c2*要c(t)達最小的最優(yōu)周期令=+c2* =0故=(1):當(dāng)kr時，=相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)情況(2)：當(dāng)kr時，因為產(chǎn)量被銷售抵銷，無法形成。例2：微分模型（經(jīng)濟增長模型）為了適用于不同的對象，可將產(chǎn)量函數(shù)Q(t)折算成現(xiàn)金，仍用Q(t)表示。考慮到物價上升因素我們記物價上升指數(shù)為P(t).（設(shè)P(0)=1）則產(chǎn)品表面價值y(t)，實際價值Q(t)和物價指數(shù)P(t)之間滿足y(t)= Q(t)*P(t)（1） 導(dǎo)出y(t)，Q(t)，P(t

10、)的相對增長率之間關(guān)系并作解釋（2） 設(shè)雇傭工人數(shù)目為L(t),每個工人工資W(t),企業(yè)的利潤簡化為從產(chǎn)品的收入y(t)中扣除工人工資和固定成本。利用道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)討論，企業(yè)應(yīng)雇傭多少人使利潤最大？解：（1）由y(t)= Q(t)*P(t)得： =* P(t)+*Q(t) 即=+則=+即表面價值y(t)的增長率等于實際價值增長率與物價指數(shù)增長率之和(2)解：設(shè)固定成本為C(t)則企業(yè)利潤R(t)=y(t)-L(t).W(t)-C(t)把y(t)= Q(t)*P(t)及Q(t)=a*代入即得R(T)關(guān)于L(t)的函數(shù).JL(t)=R(t)=a* *P(t)-L(t)*W(t)-C(t)兩邊對

11、L求導(dǎo)：=r*a* * *P(t)+(1-r)*a* *P(t)+a* * *-W(t)-L(t)*-而=0則=r*a* * * P(t)- W(t)令=0則 =K(t)=K(t)易驗證：L=0則J在利潤最大總之，在數(shù)學(xué)模型中，不少內(nèi)容是創(chuàng)新思維，大家不妨進一步探討。（二） 逆向思維逆向思維是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的一個重要組成部分，是進行思維訓(xùn)練的載體。加強從正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維的培養(yǎng)，能有效地提高學(xué)生思維能力和創(chuàng)新意識。一、 在教學(xué)中注意培養(yǎng)反方向的思考與訓(xùn)練 例1證明：在（-，+）上不存在可微函數(shù)f(x)滿足f(f(x)=-3x+3 證明：若存在可微函數(shù)f(x)滿足f(f(x)= -3x+3則=

12、2x-3（*）則從-3x+3=x可得x1=1,x2=3,即f(f(x)有且僅有兩個不動點x1=1,x2=3若f(1)=1,則由（*）可知=-1矛盾。因此由推論：若定義在（-，+）上f(x)，若f(f(x) 有且僅有兩個不動點a,b(ab)則只存在兩種情況：（1）a和b都是f(x)的不動點（2）f(a)=b,f(b)=a故f(1)=3,f(3)=1在由（*）可得(x=3)*(x=1)=-1 (x=1)* (x=3)=3矛盾，因而在（-，+）上不存在可微函數(shù)f(x)滿足f(f(x)= -3x+3 例2證明：不存在證明：若=A，因為-=2 所以2=（-）=A-A=0所以=0，所以=（1-）=1所以=

13、1。但=2取極限得A=0矛盾。從而不存在。例3設(shè)f(x)C0，1,=0, ,=1則x0(0,1),使4證明：若不然，x(0,1),有4，則 C0，1有1=4 =4+4 =2（2-2+1）取=得 1=1矛盾，所以則x0(0,1),使4二、 級數(shù)收斂逆向求極限例1 =0 證明： 令=則=* =* =*=01 收斂，故=0例2證明=0（a1）證明：取令=則=*= = =（相當(dāng)于=0） =01 收斂，從而=0 三、間接展開，逆向轉(zhuǎn)化 例1 f(x)= 展成冪級數(shù)的形式 解：因為當(dāng)1時，=1-+-+-+- 有冪級數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)1時， f(x)=f(0)+ = = =*即=*（*）易知冪級數(shù)（*）當(dāng)x=1

14、時收斂，故在x=1連續(xù)。從而當(dāng)x-1,1時，=*例2 f(x)=ln(1+x)展成冪級數(shù)展開式解：因為當(dāng)1時= =1- x+-+-+由冪級數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng)1時 f(x)=f(0)+= 即ln(1+x)= 易知冪級數(shù)（*）當(dāng)x=1時收斂，當(dāng)x=-1時發(fā)散，故 = 因此，當(dāng)x(-1,時 ln(1+x)= 四、加強逆定理教學(xué)例如：魯津定理、葉果洛夫定理等（三） 發(fā)散思維培養(yǎng)學(xué)生的教學(xué)發(fā)散性思維的必要性在于發(fā)散性思維的特性和教學(xué)的本質(zhì)所在。發(fā)散性思維是指從同一來源材料探索不同答案、從不同方面尋求答案的思維過程，它富于聯(lián)想，思路寬廣。善于分解組合和引申推廣，從不同角度尋求解決問題的各種可能的途徑，培養(yǎng)學(xué)生

15、的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的一個重要環(huán)節(jié)就是加強學(xué)生數(shù)學(xué)的發(fā)散性思維的訓(xùn)練。一、從不同角度分析問題例1 計算n級行列式= 解法1：三角化法 將第1行乘以（-1）加到其他各行上得=x+(n-1)a解法2：加邊法xa時= =（1+） =x+(n-1)a x=a時=0 解法3：遞推法 將的最后一列看成是兩個數(shù)的和，即 = =+ （x-a）+=(x-a)+a由此，得遞推公式=(x-a)+a以此遞推下去，得=（x-a）(x-a)+a+a=+2a=+3a=+(n-1)a=x+(n-1)a=x+(n-1)a 解法4：拆項法 將中的每一個元素均看成兩數(shù)之和，即= =+ =+na =x+(n-1)a 二、幾何旋轉(zhuǎn)，結(jié)論不同，發(fā)展學(xué)生發(fā)散思維例1 將橢圓L：，z=0分別繞長軸（即x軸）與短軸（即y軸）旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程解：因為旋轉(zhuǎn)軸是x軸，同各坐標(biāo)就是x，在方程中保留坐標(biāo)x不變，用代y，便得將橢圓L繞其長軸（即x軸）旋轉(zhuǎn)的曲面方程為=1（1）同樣將橢圓L繞其短軸（即y軸）旋轉(zhuǎn)的曲面方程為=1（2）曲面（1）叫長形旋轉(zhuǎn)橢球面，曲面（2）叫扁形旋轉(zhuǎn)橢球面例2 將雙曲線L：=1，x=0分別繞虛軸（即z軸）旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為=1（1）繞實