數(shù)學(xué)分析講解數(shù)列極限

1、.Chap2 極限與連續(xù)極限與連續(xù)古希臘Archimede“窮竭法”；中國魏晉時(shí)代劉徽“割圓術(shù)”；Newton“雛形”，Cauchy，Bolzano，Weierstrass等“發(fā)展完善”。. Chap2 1 數(shù)列極限數(shù)列極限.1x2x3x4xnx一、數(shù)列定義1 函數(shù) f : NR稱為數(shù)列，記為xn. 即xnf (n), nN,或x1, x2,xn, xn稱為數(shù)列第n項(xiàng)，其表達(dá)式稱為數(shù)列的通項(xiàng)通項(xiàng)。 幾何意義：數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列， 可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取12,nx xx例例1 討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性2222nx （n重根號(hào)）.1( 1)1.nnn例2觀察數(shù)列當(dāng) 時(shí)的變化趨勢(shì)二、數(shù)列極

2、限定義.定義2 設(shè)有數(shù)列xn. 若存在常數(shù)A，使得0, NN, 當(dāng)nN時(shí)，|xnA|，則稱xn的極限極限為A，或稱xn收斂收斂于A，記為limnnxA()nxAn 或若A不存在，則稱數(shù)列xn無極限，或稱為發(fā)散發(fā)散(不收斂不收斂) 是用來刻劃xn與A的接近程度。首先，具有任意性任意性， 說明xn與A的接近程度可以任意?。黄浯?，具有相對(duì) 固定性固定性，一旦給出，就固定這個(gè)再去找N。 N的存在性存在性說明無論怎么小，第N項(xiàng)后的所有xn都滿足 |xnA|N成為 的充分條件即可. 這就是所謂的“適當(dāng)放大法”.|nxA適當(dāng)放大法：1|( )()nxAG nnN( )(1) lim( )0;(2)nG nG

3、 n其中適合形式簡(jiǎn)單，即由2( ).G nnN容易解出12max,|.nNN NnNxA最后取則時(shí)，.239lim0.79nnnn 例6證明lim1(0);(2) lim1.nnnnaan兩個(gè)結(jié)果：(1) 例7 設(shè)數(shù)列xn對(duì)常數(shù)A和0 q 0, 使得nN有|.nxM推論1 無界數(shù)列必發(fā)散。推論2 若數(shù)列,lim,lim.nnnnnnnxxyxAyBAB滿足且則定理3 （不等式性）若lim,lim,nnnnxAyBAB且，nnNnNxy則，當(dāng)時(shí),有N Nu 即使將“xn yn”換為“xn yn”, 結(jié)論也不能改為“A B”.推論4 若lim0,nnxANnN則當(dāng)時(shí),有N N|0.2nAx 推論3

4、 （保號(hào)性）若lim0,NnnxANnN則，當(dāng)時(shí),有0.2nAx u 若將“A0”換為“A 0, 且 , 則有l(wèi)imnnaa12limnnna aaa推論推論3 若an 0, 且 , 則有1limnnnaaalimnnnaa.例14 求極限22223312233limnnnnn13Ex. 求極限12limnnn n23五、數(shù)列收斂準(zhǔn)則1單調(diào)有界定理單調(diào)有界定理 設(shè)數(shù)列xn單調(diào)增加. 則當(dāng)xn有上界時(shí), xn收斂，當(dāng)xn 上無界時(shí), xn為正無窮大，且均成立limsup;nknkxxN Nu 若xn為單調(diào)數(shù)列. 則xn收斂 xn有界.u 想一想 數(shù)列xn單調(diào)減少時(shí)的情形？.2222nx (n重根

5、號(hào)), 例15 設(shè)1112.0, (1,2,),2nnnaaana例16 設(shè)lim.nnx求例17 證明數(shù)列.11收斂nnnxu e=2.7182818284是自然對(duì)數(shù)的底(lnx = logex), 是無理數(shù).1lim 1e.nnn記limnna證明 存在并求之.,11e111nnnnynnx且xn單調(diào)增加收斂于e, yn單調(diào)下降收斂于e.例18 設(shè)1111ln ,23ncnn 證明cn收斂.實(shí)際上, 我們還有.定義5 數(shù)列xn中依次取出下標(biāo)為n1 n2 nk 1時(shí)，an收斂；當(dāng)p 1時(shí)，an為正無窮大.3 Cauchy收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則 數(shù)列xn收斂的充要條件是：0,:|.nmNn mNxx N N 基本列(Cauchy列) 滿足上述必要性條件的數(shù)列！ 等價(jià)形式：0,:|.npnNnNpxx NNNN 否定形式：數(shù)列xn發(fā)散當(dāng)且僅當(dāng)0000000,:|.nmNn mNxxN N 問題：數(shù)列xn為基本列 與pN有 等價(jià)嗎？lim| 0npnnxx.例22 設(shè)1111,23nxn 證明xn發(fā)散.注 此例中，對(duì)pN有l(wèi)im|