學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)6 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用

1、.學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)六建議用時(shí)：45分鐘學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)1過(guò)橢圓1的左焦點(diǎn)引一條直線與橢圓自上而下交于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)FA2FB，求直線l的斜率【解】橢圓1中，a5，b3，c4，所以e，p.取橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸正方向，建立極坐標(biāo)系，那么橢圓的極坐標(biāo)方程為.設(shè)A1，、B2，由題設(shè)得122.于是2，解得cos ，所以tan ，即直線l的斜率為.2橢圓方程為，過(guò)左焦點(diǎn)引弦AB，AB8，求AOB的面積【解】如圖，設(shè)A1，、B2，所以12.因?yàn)锳B8，所以8，所以cos2，sin .由橢圓方程知e，那么c3.SAOBSAOFSBOFOF1sin OF2sin 8.3如圖424，過(guò)拋物線y22pxp0

2、的焦點(diǎn)F的弦AB與x軸斜交，M為AB的中點(diǎn)，MNAB，并交對(duì)稱(chēng)軸于N.圖424求證：MN2AFBF.【證明】取F為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系，那么拋物線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)A1，、B2，那么AFBF.不妨設(shè)0，那么MF12.所以MNMFtan tan .所以MN2AFBF.4如圖425，圓F：x2y24x0，拋物線G的頂點(diǎn)是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)是圓的圓心F，過(guò)圓心且傾斜角為的直線l與拋物線G、圓F從上至下順次交于A、B、C、D四點(diǎn)圖4251當(dāng)直線的斜率為2時(shí)，求ABCD；2當(dāng)為何值時(shí)，ABCD有最小值？并求這個(gè)最小值【解】圓F：x2y24x0的圓心坐標(biāo)為2,0，半徑為2，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的

3、間隔 為4.以圓心F為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系那么圓F的坐標(biāo)方程為2，拋物線G的極坐標(biāo)方程為.設(shè)A1，、D2，所以ABAF2，CDFD2，即ABCDAFFD41244444.1由題意，得tan 2，所以sin2.所以ABCD46.2ABCD4，當(dāng)sin21，即時(shí)ABF2的面積取到最小值4.5拋物線，過(guò)焦點(diǎn)作互相垂直的極徑FA、FB，求FAB的面積的最小值【解】設(shè)A1，、B，那么1，2.FAB的面積為S12.設(shè)tsin cos ，那么sin cos .所以1cos sin sin cos 1tt12.又tsin cos sin，所以當(dāng)t，即時(shí)，F(xiàn)AB的面積S有最小值.6橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦

4、點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，且F1PF290.1求橢圓C的離心率；2假設(shè)直線l過(guò)左焦點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且ABF2的面積的最大值為12，求橢圓C的方程【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990017】【解】1因?yàn)镕1PF290，所以PFPFF1F，即a2a24c2.所以e.2以橢圓的左焦點(diǎn)F1為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為.設(shè)A1，、B2，那么ABAFFB12.因?yàn)镕1F22c，所以ABF2的邊AB上的高h(yuǎn)為2c|sin |，ABF2的面積SABh.因?yàn)閨sin |2，所以當(dāng)|sin |1，即或時(shí)S取到最大值所以當(dāng)l過(guò)左焦點(diǎn)且垂直于極軸時(shí)，ABF2的面積取到最大值pc，所

5、以pc12，即b26.故a2c26.又，所以a212，c26.所求橢圓的方程為1.7橢圓1，直線l：1，P是l上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于R，又點(diǎn)Q在OP上，且滿足|OQ|OP|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上挪動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線【解】如圖，以O(shè)為極點(diǎn)，Ox為極軸，建立極坐標(biāo)系，那么：橢圓的極坐標(biāo)方程為2，直線l的極坐標(biāo)方程.由于點(diǎn)Q、R、P在同一射線上，可設(shè)點(diǎn)Q、R、P的極坐標(biāo)分別為，、1，、2，依題意，得，2.由|OQ|OP|OR|2得20將代入，得，那么0這就是點(diǎn)Q的軌跡的極坐標(biāo)方程，化為直角坐標(biāo)方程，得2x23y24x6y，即1x、y不同時(shí)為0點(diǎn)Q的軌跡為以1,1為中心，長(zhǎng)

6、軸平行于x軸，長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別為，的橢圓去掉坐標(biāo)原點(diǎn)才能提升8建立極坐標(biāo)系證明：半圓直徑|AB|2rr0，半圓外一條直線l與AB所在直線垂直相交于點(diǎn)T，并且|AT|2a2a假設(shè)半圓上相異兩點(diǎn)M，N到l的間隔 |MP|、|NQ|滿足|MP|：|MA|NQ|：|NA|1，那么|MA|NA|AB|.【證明】法一以A為極點(diǎn)，射線AB為極軸建立直角坐標(biāo)系，那么半圓的極坐標(biāo)方程為2rcos ，設(shè)M1，1，N2，2，那么12rcos 1，22rcos 2，又|MP|2a1cos 12a2rcos21，|NQ|2a2cos 22a2rcos22，|MP|2a2rcos212rcos1，|NQ|2a2rcos222rcos 2，cos 1，cos 2是方程rcos2rcos a0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理：cos 1cos 21，|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.法二以A為極點(diǎn)，射線AB為極軸建立直角坐標(biāo)系，那么半圓的極坐標(biāo)方程為2rcos ，設(shè)M1，1，N2，2，又由題意知，M1，1，N2，2在拋物